Zahlen und Mengen - arthur

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Zahlen und Mengen
Alle echten Vielfachen von Primzahlen sind keine Primzahlen. Sie heißen zusammengesetzte
Zahlen und sind als Produkt von Primzahlen darstellbar.
1.8 Gib die Primfaktorzerlegung von 150 an.
Lösung:
Wir zerlegen schrittweise und beginnen dabei
mit möglichst kleinen Primfaktoren:
150 = 2 · 75 = 2 · 3 · 25 = 2 · 3 · 5 · 5
Oft wird auch
folgende Schreib-
weise verwendet:
Einige Berechnungen lassen sich mithilfe der Primfaktorzerlegung leichter durchführen als mit
den ursprünglichen Zahlen, wie das Ermitteln von kgV und ggT.
ZB: Berechne kgV(420, 450) und ggT(420, 450).
kgV ... kleinstes gemeinsames Vielfaches; kleinste Zahl, in der sowohl 420 als auch 450 als
Teiler enthalten sind. Das kgV wird zB zur Ermittlung des gemeinsamen Nenners beim
Addieren und Subtrahieren von Brüchen verwendet.
ggT ... größter gemeinsamer Teiler; größte Zahl, die sowohl in 420 als auch in 450 ohne Rest
enthalten ist. Der ggT wird zB beim Kürzen von Brüchen verwendet.
Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren.
420 = 2 210 = 2 2 105 = 2 2 3 35 = 2 2 3 5 7
450 = 2 225 = 2 3 75 = 2 3 3 25 = 2 3 3 5 5
kgV(420, 450) = Das kleinste gemeinsame Vielfache enthält alle vorkommenden
= 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 = Primfaktoren (mehrfach vorkommen de Faktoren jeweils mit
= 6 300 ihrer größten Anzahl).
ggT(420, 450) = 2 · 3 · 5 = Der größte gemeinsame Teiler enthält alle Primfaktoren, die
= 30 sowohl in der einen als auch in der anderen Zerlegung vorkommen.
Ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, kann mithilfe von Teilbarkeitsregeln untersucht werden:
2 Alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar, sie haben die Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
3 bzw. 9 Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
ZB: 3 teilt 435, da 4 + 3 + 5 = 12 (durch 3 teilbar); 9 teilt 414, da 4 + 1 + 4 = 9
5 Alle Zahlen mit den Endziffern 0 oder 5 sind durch 5 teilbar.
4 bzw. 25 Eine Zahl ist durch 4 bzw. 25 teilbar, wenn die aus Einer- und Zehnerziffer
gebildete Zahl durch 4 bzw. durch 25 teilbar ist.
ZB: 4 teilt 23 916, da 16 durch 4 teilbar ist; 25 teilt 7 975, da 75 durch 25 teilbar ist.
8 bzw. 125 Eine Zahl ist durch 8 bzw. 125 teilbar, wenn die aus Einer-, Zehner- und
Hunderterziffer gebildete Zahl durch 8 bzw. durch 125 teilbar ist.
ZB: 8 teilt 23 808, da 808 durch 8 teilbar ist; 125 teilt 7 375, da 375 durch 125 teilbar ist.
Beachte: Ist eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, ist sie auch durch 6 teilbar, ist eine Zahl
durch 3 und durch 4 teilbar, ist sie auch durch 12 teilbar. ABER: Eine Zahl, die durch 2 und
durch 4 teilbar ist, muss nicht durch 8 teilbar sein, da 2 in 4 bereits als Teiler enthalten ist. Das
„Kombinieren“ der Teilbarkeitsregeln funktioniert also nur, wenn die jeweiligen Teiler keine
gemeinsamen Faktoren enthalten.
150
75
25
5
1
2
3
5
5