Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

2.3 Minimale Gitterwege ohne Überschreiten der Winkelhalbierenden
In der Kombinatorik tauchen oft Probleme auf, die mit der Frage nach der Anzahl der
Gitterwege in einem ebenen Gitter zu tun haben.
Ein beliebiges ebenes Gitter hat folgendes Aussehen:
Abbildung 3: ebenes Gitter
Wir betrachten die Gitterwege minimaler Länge vom Startpunkt (0,0) zum beliebigen
Endpunkt (n, m), wobei n, m ∈ IN0. Alle solchen Wege bestehen aus n horizontalen und
m vertikalen Schritten auf den Gitterlinien zum nächsten Gitterpunkt. Diagonalschritte
seien verboten.
Jeder minimaler Gitterweg hat also eine Länge n + m Schritten.
An jedem Verzweigungspunkt haben wir nur die zwei Möglichkeiten, entweder nach oben
(o) oder nach rechts (r) zu gehen.
Deshalb läßt sich jeder minimale Gitterweg als (n + m)-Tupel mit jeweils n Einträgen ”r”
und m Einträgen ”o” darstellen.
Jeder minimale Gitterweg entspricht deshalb einer Permutation mit Wiederholung vom
Typ (n, m) über der Grundmenge A = {r, o}.
Die Anzahl dieser Permutationen und somit die Anzahl der minimalen Gitterwege ist also:
(n + m)!
B(n, m) :=
n! · m! =
n + m n + m
=
(3)
n m
Eine systematische Anordnung dieser Binomialkoeffizienten n+m
ist bekanntermaßen
m
das Pascalsche Dreieck:
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