Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

2.12 Menschen verschiedener Größe in zwei Reihen
Hierbei sei unser Problem:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 2n Menschen paarweise verschiedener
Größe in 2 Reihen von je n Menschen so aufzustellen, daß sie in jeder
der beiden Reihen der Größe nach geordnet (der Größte in einer Reihe stehe
jeweils an erster Stelle) stehen, und daß jede Person in der ersten Reihe
größer ist als die ihrer Position entsprechenden Person in der zweiten
Reihe?
Um diese Frage leichter behandeln zu können, wollen wir die 2n Menschen so von 1 bis
2n der Größe entsprechend durchnumerieren, daß der Kleinste die ”1” bekommt und
schließlich der Größte die Nummer ”2n”.
Somit haben wir das Problem also auf natürliche Zahlen umformuliert. Selbstverständlich
ließe sich dieses Problem auf jede andere geordnete Menge paarweise verschiedener
Elemente umformulieren.
Wir erhalten leicht für:
• n = 1:
1 Möglichkeit.
• n = 2:
1.Reihe: 2
2.Reihe: 1
4 3
2 1
4 2
3 1
Hier gibt es nur diese 2 Möglichkeiten.
• n = 3:
6 5 4
3 2 1
6 5 3
4 2 1
Dies sind alle 5 Möglichkeiten.
• n = 4:
8 7 6 5
4 3 2 1
8 7 5 3
6 4 2 1
8 6 5 3
7 4 2 1
8 7 6 4
5 3 2 1
8 7 5 2
6 4 3 1
8 6 5 2
7 4 3 1
6 5 2
4 3 1
8 7 6 3
5 4 2 1
8 7 4 3
6 5 2 1
8 6 4 3
7 5 2 1
6 4 3
5 2 1
8 7 6 2
5 4 3 1
8 7 4 2
6 5 3 1
8 6 4 2
7 5 3 1
6 4 2
5 3 1
8 7 5 4
6 3 2 1
8 6 5 4
7 3 2 1
Bei näherer Betrachtung erkennen wir, daß es in diesem Fall nur diese 14 Möglichkeiten
gibt.
Es ergibt sich wiederum die Catalan-Zahlenfolge (Beweis siehe 5.11).
27