Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

C + n = C + 1 C + n−1 + C + 2 C + n−2 + ... + C + n−1C + 1 (8)
Ausgehend von den ersichtlichen Startwerten C + 1 = 1 und C + 2 = 1 liefert diese Formel
C + 3 = 2, C + 4 = 5, C + 5 = 14, C + 6 = 42.
Natürlich stimmen diese Werte mit denen überein, die wir mit Formel (7) bekommen.
Aufgrund dieser Startwerte (vgl. Kapitel 1) und (4) und (8) folgt sofort:
En = C + n−1
Daraus folgt wiederum mit (7) sofort die Eulersche Formel
En =
aus welcher ersichtlich die Rekursionsformel
folgt.
2 · 6 · 10 · ... · (4n − 10)
,
(n − 1)!
En =
(9)
4n − 10
n − 1 · En−1 (10)
Mit der Definition der Catalan-Zahlen (2) C0 := 1 und Cn := En+2 für n ≥ 1 mit n ∈ IN
ergibt sich:
Cn = C + n+1 = En+2
für alle n ∈ IN0.
Somit hätten wir also bereits gezeigt, daß die Antwort auf das Catalansche Problem 2.1
auch tatsächlich die Catalan-Zahlenfolge ist.
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