Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

Seien a1a2...ar und b1b2...bs Permutationen der natürlichen Zahlen 1, 2, ...r bzw. 1, 2, ...s,
so daß sie einen Pat der Ordnung r bzw. der Ordnung s ergeben.
Ein Pat der Ordnung m ist dann eine Permutation
(ArAr−1...A2A1|bsbs−1...b2b1)
wobei Ai := ai + s
Somit haben wir einen Pat beliebiger Ordnung induktiv definiert. Mit Hilfe dessen kommt
jetzt:
Definition eines abstrakten Flexagons:
Seien P, Q Pats der Ordnung p bzw. q (p, q ∈ IN)
Dann heißt F := (P, Q) Flexagon der Ordnung N, wobei N := p + q.
Anhand dieser Definitionen stellen wir uns nun die Fragen:
1. Wieviele Pats der Ordnung m = n + 1 gibt es ?
2. Wieviele Flexagone der Ordnung N = n + 1 gibt es ?
Zur ersten Frage:
• n = 1: =⇒ m = 2 :
2 = 1 + 1. Hier gibt es nur den Pat (2|1).
Laut Definition ist ein Pat der Form (1|2) nicht möglich, obwohl wir ohne weiteres
einen solchen basteln könnten. Dies liegt daran, daß in unserer Definition die
Windungsrichtung beim Basteln eines Flexagons automatisch mit festgelegt ist.
Wir haben die Windungsrichtung für alle Flexagone so festgelegt, daß sie sich - von
oben betrachtet - so winden, wie ein Rad, daß auf uns zu rollt.
• n = 2: =⇒ m = 3 :
Induktiv ergeben sich 2 mögliche Pats:
Für 3 = 1 + 2 (3|12) und für 3 = 2 + 1 (23|1)
• n = 3: =⇒ m = 4 :
Für 4 = 1 + 3 (4|213) und (4|132).
Für 4 = 2 + 2 (34|12) und
für 4 = 3 + 1 (324|1) und (243|1).
Hier gibt es also diese 5 Möglichkeiten.
• n = 4: =⇒ m = 5 :
Für 5 = 1 + 4 (5|3124) (5|2314) (5|2143) (5|1423) (5|1342).
Für 5 = 2 + 3 (45|213) (45|132).
Für 5 = 3 + 2 (435|12) (354|12).
Für 5 = 4 + 1 (4235|1) (3425|1) (3254|1) (2534|1) (2453|1).
Wir erkennen, daß es in diesem Fall nur diese 14 Pats gibt.
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