Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

2.14 Zahlensequenz, in der jede Zahl Teiler der Summe ihrer
beiden Nachbarn ist
Wir wollen Sequenzen der Art 1, a1, a2, a3, ..., an, 1 betrachten, wobei für die ai gelten soll:
ai ∈ IN, ai > 1 und ai|(ai−1 + ai+1) ∀i ∈ {1, ..., n} (a0 := 1, an+1 := 1)
Jedes ai muß also Teiler der Summe seiner beiden Nachbarn sein.
Wir stellen uns die Frage:
Wieviele verschiedene Sequenzen natürlicher Zahlen dieser Art gibt es ?
Für n = 1 erhalten wir nur die eine Sequenz
1, 2, 1
Für n = 2 finden wir zwei mögliche Sequenzen
1, 2, 3, 1 1, 3, 2, 1
Für n = 3 wird es schon etwas schwieriger, die fünf Sequenzen
1, 2, 3, 4, 1 1, 4, 3, 2, 1
1, 2, 5, 3, 1 1, 3, 5, 2, 1
1, 3, 2, 3, 1
zu finden.
Bei n = 4 fühlt man sich beim experimentellen Suchen nicht ganz sicher, ob diese 14
Sequenzen
1, 2, 3, 4, 5, 1 1, 5, 4, 3, 2, 1
1, 4, 3, 2, 3, 1 1, 3, 2, 3, 4, 1
1, 2, 5, 3, 4, 1 1, 4, 3, 5, 2, 1
1, 3, 5, 2, 3, 1 1, 3, 2, 5, 3, 1
1, 2, 3, 7, 4, 1 1, 4, 7, 3, 2, 1
1, 3, 5, 7, 2, 1 1, 2, 7, 5, 3, 1
1, 3, 8, 5, 2, 1 1, 2, 5, 8, 3, 1
wirklich alle möglichen sind.
Es ergeben sich also scheinbar wieder die Catalan-Zahlen (Beweis siehe 5.17).
Diese Interpretation der Catalan-Zahlen ist weniger bekannt als die vorhergehenden und
scheint auf den ersten Blick auch keinerlei Zusammenhang mit den anderen zu haben.
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