Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

Nun möchte ich zurückkehren zu
3 Eulers Formel zur Polygonzerlegung
Für die Anzahl En der möglichen Zerlegungen eines n-Ecks fand Euler (siehe (1)):
En =
Wie können wir diese Formel herleiten?
2 · 6 · 10 · ... · (4n − 10)
(n − 1)!
Dazu möchte ich den Weg von Dörrie (siehe [1]) gehen und zuerst auf die Rekursionsformel
für En eingehen, die Segner 1758 aufstellte, nachdem ihm Euler die sieben ersten
Zerlegungszahlen 1, 2, 5, 14, 42, 132 und 429 mitgeteilt hatte.
Wir numerieren die Ecken eines beliebigen n-Ecks von 1 bis n durch. Die Seite n1 (d.h.
die Verbindungsstrecke zwischen den Eckpunkten ”1” und ”n”) nehmen wir als Grundlinie
her. Diese Grundlinie ist in jeder der En Zerlegungen in einem Dreieck ebenfalls
Grundlinie, dessen Spitze in einer der anderen Ecken 2, 3, ...., n − 1 liegt. Nehmen wir
an, die Spitze dieses Dreiecks liege im Eck r, so liegt links von diesem Dreieck n1r ein
r-Eck. Rechts davon bleibt ein (n − r + 1)-Eck. Das r-Eck hat Er mögliche Zerlegungen
in Dreiecke und das (n − r + 1)-Eck hat En−r+1 mögliche Zerlegungen. Somit bekommen
wir für die Wahl der Spitze r genau Er · En−r+1 verschiedene Zerlegungen des n-Ecks.
Jede Zerlegung des n-Ecks kann durch eine solche Aufteilung eindeutig erreicht werden,
indem r alle Ecken 2, 3, ..., n − 1 durchläuft. Die erhaltenen Zerlegungsanzahlen müssen
einfach aufsummiert werden, womit wir folgende Rekursionsformel hergeleitet haben:
wobei der Faktor E2 := 1.
En = E2En−1 + E3En−2 + ... + En−1E2
Um nun auf Eulers Formel zu kommen, gehen wir einen Umweg über ein anderes Problem,
das wir schon in 2.1 kennengelernt haben: das Catalansche Problem. Dabei sind im Prinzip
zwei Fragen zu beantworten:
1. Auf wieviele Arten läßt sich ein Produkt aus n verschiedenen Faktoren paarig berechnen?
2. Auf wieviele Arten läßt sich ein Produkt aus n verschiedenen Faktoren paarig berechnen,
wenn ihre Reihenfolge festgelegt ist?
Die erste Anzahl nennen wir Rn (nach Rodrigues, der 1838 eine Idee zur Lösung dieser
Frage veröffentlichte) und die zweite Anzahl C + n (nach Catalan; das Plus dient zur
Unterscheidung von der in Kapitel 1 definierten Catalan-Zahlenfolge (Cn)n∈IN0).
Mit Rodrigues Idee finden wir zuerst eine Formel für Rn:
Dazu denken wir uns die Rn n-gliedrigen Produkte, die zu Paaren geklammert sind. Diese
bestehen alle aus (n − 1) paarigen Multiplikationen der Form a · b. Nun nehmen wir einen
(n + 1)-ten Faktor f hinzu und können mit diesem alle Rn+1 (n + 1)-gliedrigen paarigen
Produkte bilden. Aus a · b entstehen dabei vier neue paarige Produkte:
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