Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

Aus (12) und (15) folgt eine kombinatorische Beziehung zwischen Binomialkoeffizienten:
1 2n
n + 1 n
= 1
2n − 2
+
n n − 1
1
2 1 2n − 4
·
+ ... +
2 1 n − 1 n − 2
1
2n − 2
= (21)
n n − 1
= 1
2n − 2
+
n n − 1
1
2n − 4 1 2n − 6
+ 2 ·
+ ... +
n − 1 n − 2 n − 2 n − 3
1
2n − 2
n n − 1
Wir können die n-te Catalan-Zahl Cn auch mit Hilfe der Gamma-Funktion ausdrücken
(siehe Catalan [3]), da Γ(n + 1) = n · Γ(n) = n! für n ∈ IN gilt:
Cn = 1
2n (2n)!
=
n + 1 n (n + 1) · n! · n! =
Γ(2n + 1)
(n + 1) · Γ(n + 1) · Γ(n + 1) =
Γ(2n + 1)
Γ(n + 2) · Γ(n + 1)
Cn =
Γ(2n + 1)
Γ(n + 2) · Γ(n + 1)
Hiermit stoßen wir auf eine Integraldarstellung der Catalan-Zahlen (siehe Catalan [3]
und Binet [4]):
Cn = 22n+1
π
1
0
(22)
1
n−
x 2 · (1 − x) 1
2 dx (23)
Beweis:
Für den Beweis brauchen wir noch einige Identitäten, die für die Gamma-Funktion gelten:
Γ( 3
√
π
) =
2 2
Damit gilt
Cn =
Γ(2n)
Γ(n)
Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q) =
Γ(2n + 1)
Γ(n + 2) · Γ(n + 1) =
= 22n
1 Γ(n + 2 √ ·
π )
Γ(n + 2)
=
2 2n
√ π · √ π
2
= 22n+1
π
1
0
·
1
0
= 22n
√ π ·
= 22n−1
√ π · Γ(n + 1
2 )
1
0
x p−1 · (1 − x) q−1 dx
1 2n · Γ(2n)
·
Γ(n + 2) n · Γ(n) =
1 3
Γ(n + ) · Γ( 2 2 )
Γ(n + 2) · Γ( 3
2
1
n−
x 2 · (1 − x) 1
2 dx =
) =
2 Γ(2n)
·
Γ(n + 2) Γ(n) =
1
n−
x 2 · (1 − x) 1
2 dx q.e.d.
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