Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

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Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Einführung der Catalan-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Interpretationen der Catalan-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Das Catalansche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Eulers Problem der Polygonzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Minimale Gitterwege ohne Überschreiten der Winkelhalbierenden . . . . 11
2.4 Anzahl der Terme beim Ausmultiplizieren eines bestimmten Produkts 14
2.5 Entscheidungsbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Ebene Wurzelbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Trivalente ebene Wurzelbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Binäre Suchbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9 Sich nicht schneidende Verbindungen von 2n Punkten auf einem Kreis 22
2.10 Sich nicht schneidende Verbindungen von 2n Punkten auf einer Linie 23
2.11 Planare Reimschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Menschen verschiedener Größe in zwei Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.13 Vorwärts- und Rückwärtsschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.14 Zahlensequenz, in der jede Zahl Teiler der Summe ihrer beiden
Nachbarn ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.15 Flexagone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Eulers Formel zur Polygonzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Formeln für die Catalan-Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Äquivalenz der Interpretationen der Catalan-Zahlen . . . . . . . . . . . . 47
5.1 2.1 ⇔ 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 2.2 ⇔ 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 2.1 ⇔ 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 2.5 ⇔ 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 2.5 ⇔ 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.6 2.7 ⇔ 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 2.6 ⇔ 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.8 2.9 ⇔ 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.9 2.10 ⇔ 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.10 2.10 ⇒ 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.11 2.12 ⇔ 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.12 2.13 ⇔ 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.13 2.6 ⇔ 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.14 2.5 ⇔ 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.15 2.3 ⇔ 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.16 2.3 ⇔ 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.17 2.13 ⇔ 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.18 2.2 ⇔ 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.19 Überblick für n = 1, 2, 3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72