Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

Einleitung
Manche Erkenntnisse aus einem Teilgebiet der Mathematik haben oft unmittelbare Auswirkungen
auf ein ganz anderes Gebiet und tragen manchmal sogar dazu bei, dieses besser
und leichter zu verstehen. Durch Forschung an einem bestimmten mathematischen Thema
stößt man oft auf ungeahnte Zusammenhänge, die eine ganz neue Sicht- und Denkweise
ermöglichen, welche wiederum zu weiterem Forschen anregt.
Die Catalan-Zahlen stellen ein sehr gutes Beispiel dafür dar. Die Catalan-Zahlen - eine
Zahlenfolge, die immer mehr an Bedeutung gewinnt - sind bei weitem nicht so bekannt
wie die Fibonacci-Zahlen oder die Binomialzahlen, aber in ihrem Reichtum an Anwendungsmöglichkeiten
sind sie diesen ebenbürtig.
Ausgehend von dem Polygonzerlegungsproblem Eulers werde ich in dieser Arbeit die
Catalan-Zahlen definieren, ihre Berechnungsmöglichkeiten aufzeigen und vor allen Dingen
versuchen anhand von 14 weiteren - zum Teil aus ganz Gebieten stammenden - Problemen,
die alle die Catalan-Zahlenfolge als Lösung besitzen, ihre ungeheuere Vielfalt zu
demonstrieren.
Dem Leser soll ein möglichst großer Überblick über die Catalan-Zahlen und deren Anwendungen
und den Beziehungen zwischen diesen verschiedensten Anwendungen gegeben
werden.
Deswegen folgt im zweiten Teil der Arbeit eine Verallgemeinerung der Catalan-Zahlen.
Wieder versuche ich die Vielfalt auch dieser Verallgemeinerung vorzustellen, indem ich
die verschiedenen Interpretationen der Catalan-Zahlen verallgemeinere, soweit dies einfach
möglich ist. Verschiedene Berechnungs- und Beweismöglichkeiten werden vorgestellt.
Besonderen Wert lege ich dabei stets auf die Beziehungen zwischen den verschiedenen
Interpretationen.
Um den Überblick zu vervollständigen, gebe ich auch noch weitere Verallgemeinerungen
der Catalan-Zahlen aus der neueren mathematischen Forschung an, um damit den Leser
zum Weiterforschen anzuregen.
Am Schluß widme ich mich noch der Didaktik der Catalan-Zahlen.
Mein Bestreben beim Erstellen der Arbeit war es vor allen Dingen, so leicht verständlich
wie möglich und anhand von sehr vielen nachvollziehbaren Beispielen zu erklären. Ich habe
bewußt viele Zeichnungen eingefügt, um die Sachverhalte besser zu veranschaulichen und
vor allen Dingen um die Arbeit interssanter, abwechslungsreicher und übersichtlicher zu
gestalten.
Und nun viel Vergnügen mit den Catalan-Zahlen!
5