Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

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1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ..... Wenn wir nun das Pascalsche Dreieck ”drehen”, so daß es genau in unser ebenes Gitter (Abbildung 3) ”paßt”, erhalten wir für jeden Punkt im Gitter die Anzahl der möglichen minimalen Gitterwege von (0, 0) zu diesem Punkt (siehe Abbildung 4). Wir erkennen sofort - genauso wie beim Pascalschen Dreieck, daß sich diese Anzahlen symmetrisch zur Winkelhalbierenden des Gitters (d.h. die Gerade durch (0, 0) und (1, 1)) ergeben. Außerdem erhalten wir die Anzahl der Gitterwege zu einem bestimmten Punkt einfach durch Addition der Anzahl für den direkt darunterliegenden Punkt und der Anzahl für den links benachbarten Punkt. Fordern wir nun zusätzlich, daß die Gitterwege die Winkelhalbierende nicht überschreiten dürfen, dann sieht diese Situation wie in Abbildung 5 aus. Uns interessieren nun im folgenden in erster Linie die Anzahlen der minimalen Gitterwege zu den Punkten auf der Winkelhalbierenden. Es scheint sich hier wieder die <strong>Catalan</strong>-<strong>Zahlen</strong>folge zu ergeben. Dies ist tatsächlich der Fall (Beweis siehe 5.15). Statt von der Winkelhalbierenden zu sprechen, können wir auch einfach ihre Geradengleichung angeben: y = x Somit wollen wir also folgendes Problem betrachten: Wieviele minimale Gitterwege vom Punkt (0, 0) zum Punkt (n, n), welche die Gerade g : y = x nicht überschreiten, gibt es ? Diese Problemstellung läßt sich auch ganz leicht etwas anders formulieren: Stellen wir uns vor, wir hätten zwei Spieler A und B, die zusammen irgendein beliebiges Spiel des öfteren hintereinander durchführen und pro Spiel einen Punkt an den Gewinner vergeben. Der Verlierer erhält keinen Punkt. Nach 2n Spielen steht es unentschieden: Spieler A hat n Punkte und Spieler B hat auch n Punkte. Eine völlig äquivalente Fragestellung zu unserem obigen Problem der Gitterwege, die die Winkelhalbierende nicht überschreiten ist nun die folgende Frage: Wieviele Möglichkeiten des Verlaufs der 2n Spiele gibt es, so daß Spieler A zu jeder Zeit nicht weniger Punkte als Spieler B hatte? 12
Abbildung 4: ebenes Gitter mit Angabe der Anzahl der minimalen Gitterwege von (0, 0) zu jedem Punkt des Gitters Abbildung 5: ebenes Gitter mit Angabe der Anzahl der minimalen Gitterwege, die die Winkelhalbierende nicht überschreiten 13
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5.13 2.6 ⇔ 2.13 Wir können jedem
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Diese Catalan-Zahlen k-ten Grades s
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8.2 Höhere Catalan-Zahlen Nachdem
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Anhand der Catalan-Zahlen (und ande
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