Catalan-Zahlen - bnv-bamberg

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1 Einführung der <strong>Catalan</strong>-<strong>Zahlen</strong> Im Jahre 1751 stellte Leonhard Euler dem Mathematiker Christian Goldbach folgende Aufgabe: Auf wieviele Arten läßt sich ein (ebenes konvexes) n-Eck durch Diagonalen in Dreiecke zerlegen? Diese Aufgabe erweckte damals sehr großes Interesse, weil sie trotz ihres relativ harmlosen Aussehens erhebliche Schwierigkeiten hervorruft, wenn wir versuchen, eine allgemeine Formel zur Antwort des Problems ohne weitere Hilfsmittel aufzustellen. Für die einfachsten Fälle n = 3, 4, 5, 6 erhalten wir eine Lösung leicht durch zeichnerische Darstellung (siehe Abbildung 1): E3 = 1, E4 = 2, E5 = 5, E6 = 14 wobei En die Anzahl der möglichen Zerlegungen eines n-Ecks ist (n ≥ 3 mit n ∈ IN). Mit zunehmender Eckenzahl n wird dieses zeichnerische Verfahren aber bald unausführbar. Euler entwickelte für En folgende Formel: En = 2 · 6 · 10 · ... · (4n − 10) (n − 1)! ”Die Induktion, die ich gebraucht, war ziemlich mühsam” sagte Euler selbst über seine Lösung (nach [1]). Somit erhalten wir folgende Zerlegungszahlenfolge: E3 = 1 E4 = 2 E5 = 5 E6 = 14 E7 = 42 E8 = 132 E9 = 429 E10 = 1430 E11 = 4862 E12 = 16796 E13 = 58786 E14 = 208012 E15 = 742900 E16 = 2674440 E17 = 9694845 E18 = 35357670 E19 = 129644790 E20 = 477638700 E21 = 1767263190 E22 = 6564120420 E23 = 24466267020 E24 = 91482563640 ... 6 (1)
Abbildung 1: zeichnerische Darstellung der Fälle n = 3, 4, 5, 6 der Polygonzerlegung in Dreiecke 7
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Seite 8 und 9: Obwohl Euler diese Zahlenfolge scho
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Seite 16 und 17: Für n = 1, 2, 3 erhalten wir die M
Seite 18 und 19: Für n = 1, 2, 3 ist die Antwort er
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Seite 22 und 23: 2.9 Sich nicht schneidende Verbindu
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Seite 26 und 27: An dieser Stelle sei darauf hingewi
Seite 28 und 29: 2.13 Vorwärts- und Rückwärtsschr
Seite 30 und 31: Es gibt noch viele andere Umformuli
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Seite 34 und 35: Abbildung 14: Der Pinch eines Flexa
Seite 36 und 37: Somit sehen wir also, daß aufgrund
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Seite 40 und 41: 4 Formeln für die Catalan-Zahlenfo
Seite 42 und 43: Somit haben wir C(z) = 1 − 1 −
Seite 44 und 45: Wie man schnell erkennt, ist es doc
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Seite 48 und 49: Abbildung 16: Bijektive Beziehung z
Seite 50 und 51: Wir gehen von einer Zerlegung eines
Seite 52 und 53: 5.4 2.5 ⇔ 2.8 Wir können jedem E
Seite 54 und 55: 5.5 2.5 ⇔ 2.7 Die Äquivalenz der
Seite 56 und 57:
Zurück zum trivalenten Wurzelbaum
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Verbindungslinien in m + 1 Teilflä
Seite 60 und 61:
Abbildung 26: Bijektive Beziehung z
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Dabei gehen wir so vor: Wir numerie
Seite 64 und 65:
5.13 2.6 ⇔ 2.13 Wir können jedem
Seite 66 und 67:
5.15 2.3 ⇔ 2.13 Diese Äquivalenz
Seite 68 und 69:
an ≤ 1 an−1 + an ≤ 2 an−2 +
Seite 70 und 71:
Diese Teilereigenschaft setzt sich
Seite 72:
5.19 Überblick für n = 1, 2, 3, 4
Seite 77 und 78:
6 Verallgemeinerte Catalan-Zahlen N
Seite 79 und 80:
Diese Catalan-Zahlen k-ten Grades s
Seite 81 und 82:
Diese seien O.B.d.A gegeben durch x
Seite 83 und 84:
Für k = 2 ergibt sich folgende Sit
Seite 85 und 86:
Kurz: φ(f) =: g ∈ M , da wir dab
Seite 87 und 88:
6.5 Allgemeine Entscheidungsbäume
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6.7 (k + 2)-valente ebene Wurzelbä
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Die Lösung von (40) ist nach Póly
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6.9 Sich nicht schneidende Verbindu
Seite 95 und 96:
6.11 Planare Reimschemata aus k-fac
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Abbildung 43: Vorwärts- und Rückw
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7.1 6.1 ⇔ 6.2 Dabei gehen wir gen
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7.3 6.1 ⇔ 6.5 Durch einfache Vera
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7.5 6.5 ⇔ 6.7 Wir können jedem (
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anbringen, daß zu jeder 1 Ast von
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Punkt 1 und dem Punkt (k + 1)n übe
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sind miteinander verbunden) auf ein
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7.12 6.5 ⇔ 6.12 Hier verallgemein
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Abbildung 56: Übersicht der Interp
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8.2 Höhere Catalan-Zahlen Nachdem
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In unserem Beispiel der Zerlegungen
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Explizit sehen diese Folgen ( m Cn)
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zu (12) und (15) nicht äquivalent.
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Anhand der Catalan-Zahlen (und ande
Seite 131 und 132:
[18] W. Chu: A new combinatorial in
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