Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

2 MOTIVATION UND ZIELE
FLORIAN [32] keine Lösung des isoperimetrisch–isodiametrischen Problems erwähnt.
Im Jahre 1992 wies HANSEN [48] auf eine Lösung dieses Problems durch
HEMMI und KUBOTA hin. In ihren 1953 und 1954 in japanischen Zeitschriften publizierten
Artikeln [53, 54, 55, 56, 57] wurden die von SHOLANDER [115] 1952
aufgestellten Vermutungen zur Struktur der Optimalfiguren und Qualität der Ungleichungen
bestätigt.
Flächeninhalt, Umfang, Durchmesser, Dicke, Um- und Inkreisradius sind grundlegende
charakteristische Parameter konvexer Figuren. Beziehungen zwischen
solchen Parametern können durch Ungleichungen und Systeme von Ungleichungen
beschrieben werden. Die Frage, ob zu jeder Lösung eines derartigen Ungleichungssystems
auch eine passende konvexe Figur existiert, führt nach SANTA-
LO [110] auf den Begriff des vollständigen Ungleichungssystems. Die Herleitung
scharfer Ungleichungen entspricht hier der Lösung eines restringierten Extremalproblems
im Raum der konvexen Figuren. Klassisch ist im ebenen Fall das Dido’sche
Problem. Die Motivation, sich mit solchen Aufgaben zu befassen, resultiert
aus der Suche nach strukturellen Eigenschaften konvexer Figuren und Körper,
aus der Dynamik zwischen durchschaubarer Formulierung und anspruchsvoller,
oft auch ästhetischer Lösung des Problems sowie aus den vielfältigen Möglichkeiten,
geometrische Probleme zu behandeln und in allgemeinere Zusammenhänge
einzuordnen, durch sie Anregungen für weitergehende Untersuchungen zu erhalten
und nicht zuletzt daraus, sie auch in Anwendungen wiederzufinden.
Bei einer Diskussion des oben formulierten isoperimetrisch–isodiametrischen Problems
stehen folgende Fragen im Mittelpunkt:
• Existenz von Lösungen und charakteristische Merkmale des Problems
Aus der Theorie der konvexen Körper stehen grundlegende Sätze zur Verfügung,
um Stetigkeits- und Kompaktheitsaussagen zu treffen und damit die Existenz einer
Lösung zu sichern. Konvexitätsuntersuchungen liefern zusätzliche Informationen
zum einen über die Globalität lokaler Extrema, zum anderen über den Einsatz
geeigneter Variationsmethoden.
• Auswertung von notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen
Geometrische Methoden beruhen auf geeigneten Verfahren der zielgerichteten Variation
einer konvexen Figur unter Einhaltung der Forderungen an die fixierten Parameter.
Ein analytischer Zugang führt unter Verwendung der Stützfunktion auf
die Diskussion der Lösung eines entsprechendes Optimierungs- bzw. Optimalsteuerproblems.
Hierbei stellen sich u.a. Fragen nach einer adäquaten Zerlegung