Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

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ii bemerkten BONNESEN und FENCHEL [15], dass dadurch bei vielen dieser Probleme die klassischen Zugänge der Variationsrechnung nur in bescheidenem Maße wirksam werden. Außerdem sind polyedrische Lösungen nicht mittels Stützfunktion im klassischen Funktionenraum erfassbar. Mit dem von KROTOV [85] 1973 und KLÖTZLER [67, 68] 1977 entwickelten verallgemeinerten Dualitätskonzept der Steuerungstheorie und der von KLÖTZLER [70] 1988 bewiesenen distributionellen Version des Pontrjagin’schen Maximumprinzips standen schließlich Instrumentarien zur Verfügung, mit welchen sich eine Reihe ebener geometrischer Extremalaufgaben nun erfolgreich analytisch behandeln ließen (siehe etwa [3, 75, 76, 77] und [31, 71]). Diese Entwicklung verleitete uns zum Versuch, das isoperimetrisch–isodiametrische Problem analytisch zu lösen. Dabei musste mit einer verzweigten Lösung gerechnet werden. Die Ursachen hierfür waren letztendlich darin zu sehen, dass es sich bei dieser Aufgabe um die Suche nach der globalen Lösung eines konkaven parametrischen Minimierungsproblems handelt. Es war deshalb auch nicht zu erwarten, das Optimum allein mit lokalen Methoden zu finden. Das Problem ließ sich in verschiedene Teilprobleme aufspalten, an deren Diskussion und numerischer Auswertung auch Diplomanden beteiligt waren [18, 19, 92]. Die Aufgabe schien gelöst, bis sich noch ein entscheidender Fehler in den Überlegungen herausstellte. Die auftretende Lücke konnte bislang mit unseren Methoden nicht geschlossen werden. In der Literatur stießen wir schließlich auf Veröffentlichungen der japanischen Geometer KUBOTA und HEMMI, die nach längeren Bemühungen eine Lösung des obigen isoperimetrisch–isodiametrischen Problems in den Jahren 1953 und 1954 gefunden haben [53, 54, 55, 56, 57]. Gestützt auf ihr Resultat aus [54], dass optimale Figuren unter denjenigen mit maximalem Umkreisradius zu suchen sind, konnten wir die von ihnen hergeleiteten, stückweise gültigen scharfen Ungleichungsrelationen zwischen Flächeninhalt, Umfang und Durchmesser einer konvexen Figur bestätigen. Optimale Figuren bezeichneten wir als Hemmi–Polyeder. Unser Zugang ermöglichte mit der Berechnung von Verzweigungspunkten der Lösungsstruktur auch eine numerische Auswertung der Ergebnisse. Die überaus aufgeschlossene, anregende und fruchtbare Atmosphäre in der Leipziger Optimierungsgruppe waren für mich die wichtigste Erfahrung bei der Beschäftigung mit dieser Thematik. Sehr dankbar bin ich hierbei den Professoren JOACHIM FOCKE und ROLF KLÖTZLER, die mich mit ihren Ideen und Vorarbeiten zur Beschäftigung mit dieser Thematik anregten und meine Arbeiten mit kritischer Aufmerksamkeit begleiteten. Mein besonderer Dank gilt Prof. KLÖTZ-
LER für sein stets anspornendes Interesse und seine nimmermüde Diskussionsbereitschaft. Für ihren ermunternden Zuspruch bedanke ich mich stellvertretend bei Prof. A. GÖPFERT (Halle), Prof. H. MARTINI (Chemnitz), Prof. OPFER (Hamburg), Prof. H. X. PHU (Hanoi), Prof. S. PICKENHAIN (Cottbus) und Prof. W. SCHMIDT (Greifswald). Darüber hinaus bedanke ich mich bei Frau Karla Rietz für ihre große Hilfe bei der technischen Fertigstellung dieser Arbeit und bei meinem Mann Jochen für seine umfangreiche Unterstützung. iii Leipzig, den 20. August 2002 Anita Kripfganz
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Literaturverzeichnis [1] Alexandrow
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LITERATURVERZEICHNIS 125 [25] Duzaa
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LITERATURVERZEICHNIS 129 [78] Kripf
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Index Auswahlsatz von Blaschke, 13
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