Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

6 MOTIVATION UND ZIELE
Optimalfiguren des isoperimetrisch–isodiametrischen Problems setzen sich aus
Tripeln flächenminimaler fastregulärer Sektorinpolyeder zusammen. Wir bezeichnen
sie als Hemmi–Polyeder. Diese Figuren sind spezielle Inpolyeder des Reuleaux–Dreiecks.
Verzweigungsparameter der Lösungsstruktur ergeben sich aus
Nullstellen von Konvexitätsdefektfunktionen der ’fonction penetrante’. Sie werden
mit einem auf dem Newton–Verfahren basierenden Algorithmus berechnet.
Bemerkenswert ist die Tatsache, dass für kleinere Umfangswerte gewisse Verzweigungen,
also einige Lösungsstrukturen, nicht auftreten. Dieser Effekt beruht
auf dem asymptotischen Verhalten der ’fonction penetrante’.
Die isoperimetrisch–isodiametrischen Ungleichungen lassen sich aus der Lösung
des geometrischen Extremalproblems herleiten und stückweise implizit für die jeweiligen
Stabilitätsbereiche formulieren. Mit Hilfe der konvexen unteren Einhüllenden
dieser Funktion lässt sich darüber hinaus eine einzige, dafür etwas schwächere,
aber für reguläre Hemmi–Polyeder immer noch scharfe Ungleichung in
impliziter Form angeben. Diese spiegelt das Verhalten des Flächeninhalts für größere
Umfangswerte gut wider.
Insgesamt können die Ungleichungen von HEMMI aus [56, 57] bestätigt und hier
nun auch quantitativ über die Berechnung der Verzweigungsparameter ausgewertet
werden. Offen bleibt noch die Frage, ob und wie sich mit Methoden der Optimierung
und Optimalen Steuerung die Maximalitätseigenschaft vom Umkreisradius
der Optimalfiguren des isoperimetrisch–isodiametrischen Problems nachweisen
lässt.