Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

16 KAPITEL 1. GEOMETRISCHE EXTREMALAUFGABEN
Theorem 1.3 (Satz von Brunn-Minkowski) Die n-te Wurzel aus dem Volumen
eines konvexen Körpers ist ein konkaves Funktional auf K n .
Folglich ist √ F ein konkaves Funktional auf K 2 . BRUNN [20, 21] hat diese Aussage
für n ≤ 3 formuliert und bewiesen, MINKOWSKI [97] führte erstmalig den
Beweis für den allgemeinen n-dimensionalen Fall. Dieser Satz war Ausgangspunkt
für eine reichhaltige Theorie der geometrischen Ungleichungen und entsprechender
Anwendungen (vgl. [15], [113]).
Für Um- und Inkreisradius gelten folgende Aussagen.
Lemma 1.1 Die Funktionale R und r sind stetig. Insbesondere ist R sub- und r
superlinear auf K 2 .
Beweis:
Für beliebige konvexe Figuren B, B 1 , B 2 ∈ K 2 seien U, U 1 , U 2 die zugehörigen
Umkreise mit den Umkreisradien R(B), R(B 1 ), R(B 2 ) und I, I 1 , I 2 zugehörige
Inkreise mit den Inkreisradien r, r 1 , r 2 . Aus der Definition von Um- und Inkreis
folgt unmittelbar λI ⊆ λB ⊆ λU für alle λ ≥ 0, also die positive Homogenität
von R und r. Außerdem gilt I 1 + I 2 ⊆ B 1 + B 2 ⊆ U 1 + U 2 , wobei U 1 + U 2 ein
Kreis mit Radius R(B 1 ) + R(B 2 ) und I 1 + I 2 ein Kreis mit Radius r(B 1 ) + r(B 2 )
ist. Hieraus folgt mit
r(B 1 ) + r(B 2 ) ≤ r(B 1 + B 2 ) ≤ R(B 1 + B 2 ) ≤ R(B 1 ) + R(B 2 )
die Subadditivität von R und die Superadditivität von r auf K 2 .
Um die Stetigkeit von R und r zu zeigen, betrachten wir eine beliebige konvexe
Figur B 0 ∈ K 2 und ε > 0 hinreichend klein. Für jedes B ∈ K 2 mit δ(B 0 , B) < ε
gelten dann wegen (1.6) die Relationen
B ⊆ B 0 + ε · B 2 1 , B 0 ⊆ B + ε · B 2 1 (1.20)
mit der Einheitskugel B 2 1 des E 2 . Aus der Definition von Um- bzw. Inkreisradius
ergibt sich R(B + ε · B 2 1) = R(B) + ε bzw. r(B + ε · B 2 1) = r(B) + ε. Zusammen
mit (1.20) folgt hieraus die Stetigkeit von R und r.
Für konvexe Körper K ∈ K n lassen sich Funktionale D und ∆ mit Hilfe der
Stützfunktion ¯H K analog zu (1.10) und (1.11) definieren. Ein konvexer Körper K
mit D(K) = D = ∆(K) heißt Körper konstanter Breite oder auch Gleichdick.
Die Stützfunktion des zugehörigen Differenzkörpers K − K ist dann konstant.
Gleichdicke lassen sich wie die Kugel allseitig tangierend zwischen parallelen