Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

4 MOTIVATION UND ZIELE
dargestellt ist. Charakteristische Parameter konvexer Körper beschreiben spezielle
Funktionale auf diesem Raum. Von besonderem Interesse sind Stetigkeitsund
Konvexitätseigenschaften dieser Parameter. In Abschnitt 1.3 werden für den
ebenen Fall Extremalprobleme zu Flächeninhalt, Umfang, Durchmesser und Umkreisradius
und entsprechende Ungleichungssysteme diskutiert und zusammengestellt.
Das zweite Kapitel behandelt eine Verallgemeinerung des Favard’schen Problems.
Während FAVARD [28] nach flächenkleinsten isoperimetrischen Kreisinpolyedern
fragte, wird hier der Umkreis durch einen Kreissektor ersetzt. Diese Aufgabe kann
man zunächst als Optimalsteuerproblem mit Zustands- und Steuerrestriktionen, in
welchem die Steuerungen verallgemeinerte Funktionen sind, formulieren. Bei der
Lösungsdiskussion lässt sich die Wirksamkeit der von KLÖTZLER [70] ausgearbeiteten
distributionellen Version des Pontrjagin’schen Maximumprinzips demonstrieren.
Die Auswertung dieser notwendigen Bedingung an eine Lösung des
Problems führt auf die Bestätigung, dass Optimalfiguren polyedrische Struktur
besitzen. Flächenminimale Sektorinpolyeder vorgegebenen Umfangs lassen sich
nun als Lösung einer nichtlinearen Optimierungsaufgabe, deren notwendige und
hinreichende Optimalitätsbedingungen explizit auswertbar sind, bestimmen. Eindeutige
Optimalfiguren des verallgemeinerten Favard’schen Problems sind sogenannte
fastreguläre Sektorinpolyeder. Die zugehörige Optimalwertfunktion, welche
die Abhängigkeit des minimalen Flächeninhalts vom Umfang beschreibt, bezeichnen
wir als ’fonction penetrante’.
Diese Funktion ist stetig abhängig vom Umfang, stückweise implizit definiert sowie
auf jedem der abzählbar unendlich vielen Teilintervalle von [3D, πD], auf denen
die Seitenzahl der fastregulären Sektorinpolyeder konstant ist, jeweils streng
konvex–konkav und stetig differenzierbar. Gegenstand von Kapitel 3 ist eine Untersuchung
von Eigenschaften dieser Funktion, insbesondere ihrer Ableitungen
bis zur vierten Ordnung, des asymptotischen Verhaltens ihres Sekantenanstieges,
ihrer Konvexitätsdefekte und „groben“ Konvexitätsmerkmale. Letztere werden für
eine allgemeine Klasse streng konvex–konkaver Funktionen analysiert. Eine glatte
konvexe untere Einhüllende der ’fonction penetrante’ kann in impliziter Form
angeben werden.
Im vierten Kapitel werden Aufteilungsprobleme mit einem streng konvex–konkaven
partiellen Bewertungskriterium und einer Kopplungsnebenbedingung betrachtet.
Symmetrische Lösungen sind hier stets stationäre Lösungen. Von Interesse
ist das Strukturverhalten des globalen Minimums in Abhängigkeit vom Kopplungsparameter.
Da die Optimallösung hierarchisch zusammengesetzt ist, lässt