Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

14 KAPITEL 1. GEOMETRISCHE EXTREMALAUFGABEN
1.2 Charakteristische Parameter
Zu grundlegenden charakteristischen Parametern einer konvexen Figur B ∈ K 2
gehören Durchmesser, Dicke, Flächeninhalt, Umfang sowie Um- und Inkreisradius.
Eine Reihe ihrer Eigenschaften wurden von JAGLOM und BOLTYANSKII in
[60] zusammengestellt. Diese Größen definieren Funktionale auf K 2 . Sie lassen
sich mit Hilfe der in Polarkoordinaten gegebenen Stützfunktion h B aus (1.3) beschreiben
(vgl. etwa [15]).
Die Breite von B in Richtung ϕ wird durch die Funktion
w B (ϕ) := h B (ϕ) + h B (ϕ + π), (1.9)
die für jedes ϕ ∈ [0, π] den Abstand zweier zur Normalenrichtung u(ϕ) = ( )
cos ϕ
sin ϕ
gehörenden parallelen Stützhyperebenen von B angibt, beschrieben. Sie ist selbst
Stützfunktion eines zentralsymmetrischen Bereichs, und zwar des zu B gehörigen
Breitenbereichs (vgl. [54] und [101]).
Durchmesser bzw. Dicke von B sind durch
D(B) := max w B(ϕ) = w B ( ¯ϕ B ) (1.10)
ϕ∈[0,π]
∆(B) := min w B (ϕ) = w B (ϕ
ϕ∈[0,π]
B
) (1.11)
als größte bzw. kleinste Breite von B definiert. Außerdem ist der Durchmesser
gleich der Länge der größten Sehne dieser Figur. Eine Maximalstelle ¯ϕ B aus
(1.10) beschreibt eine Durchmesserrichtung und eine Minimalstelle ϕ B
aus (1.11)
eine Dickerichtung von B. Wir bezeichnen mit
Φ D (B) := {ϕ ∈ [0, 2π) / D(B) = w B (ϕ)} (1.12)
Φ ∆ (B) := {ϕ ∈ [0, 2π) / ∆(B) = w B (ϕ)}. (1.13)
die Menge der Durchmesser- bzw. Dickerichtungen einer konvexen Figur B.
Flächeninhalt bzw. Umfang von B lassen sich mittels Stützfunktion beschreiben
durch
F(B) := 1 2
L(B) :=
∫ 2π
0
∫ 2π
0
(h B (ϕ) 2 − ḣB(ϕ) 2 )dϕ (1.14)
h B (ϕ)dϕ. (1.15)