Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

12 KAPITEL 1. GEOMETRISCHE EXTREMALAUFGABEN
zweite Ableitung ḧB, d.h. es gilt h B
dann durch die Ungleichung
∈ W 2 1 [0, 2π]. Die Konvexität von B wird
ϱ B (ϕ) := h B (ϕ) + ḧB(ϕ) ≥ 0 f.ü. auf [0, 2π] (1.5)
mit dem Krümmungsradius ϱ B von B beschrieben. Umgekehrt ist jede Funktion
f ∈ W 2 1 [0, 2π], für die f + ¨f ≥ 0 f.ü. auf [0, 2π] gilt, Stützfunktion einer streng
konvexen Figur. Dies folgt aus der eineindeutigen Beschreibung der konvexen
Figur B durch eine sublineare Funktion H B und der Auswertung der positiven
Semidefinitheit der Hessematrix dieser Funktion (vgl. auch [26], [90], [113]). Im
Kapitel 2 treten einige spezielle Stützfunktionen auf:
(1) h B (ϕ) = 1 für ϕ ∈ [0, 2π]
ist Stützfunktion des Einheitskreises B = B 2 1.
(2) h B (ϕ) = x 1 cos ϕ + x 2 sin ϕ
ist Stützfunktion des Punktes B = { ( x 1
)
x 2
}.
{ x
1
1 cos ϕ + x 1 2 sin ϕ für ϕ ∈ [0, ϕ 0 ) ∪ [ϕ 0 + π, 2π]
(3) h B (ϕ) =
x 2 1 cos ϕ + x 2 2 sin ϕ für ϕ ∈ [ϕ 0 , ϕ 0 + π)
ist Stützfunktion der Strecke B = [x 1 , x 2 ] mit Normalenrichtung u(ϕ 0 ).
⎧
1 für ϕ ∈ [0, π)
⎪⎨
(4) h B (ϕ) = − cos ϕ für ϕ ∈ [π, 3π 2
⎪⎩
)
cos ϕ für ϕ ∈ [ 3π , 2π] 2
ist Stützfunktion des Halbkreises B = B 2 +.
Ist die konvexe Figur B nicht streng konvex, dann können ḧB und ϱ B nur im Sinne
verallgemeinerter Funktionen (Distributionen) erklärt werden. Eine Distribution χ
ist dabei ein lineares stetiges Funktional über einem Grundraum K. Wir wählen als
Grundraum den Sobolev–Raum W ◦
p m [0, 2π]. Den Raum der Distributionen über K
bezeichnen wir mit D(K). Grundlegende Begriffe und Rechenregeln hierzu sind
im Anhang A.1 zusammengestellt.
Der Begriff der Konvergenz konvexer Körper, wie er von BLASCHKE [10] benutzt
wurde, führt auf die Hausdorff–Metrik δ in K n . Sie ist definiert durch
δ(K, M) := Max {Max x∈K Min y∈M ‖x − y‖ R n, Max x∈M Min y∈K ‖x − y‖ R n}