Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

24 KAPITEL 1. GEOMETRISCHE EXTREMALAUFGABEN
Optimalfigur ist eine Linse vom Durchmesser D = 2R. FAVARD [28] löste die
zugehörige Minimierungsaufgabe:
(P F,{L,R} ) : F(B) → Min! .
B ∈ K 2 (L, R)
Sie wird als Favard–Problem bezeichnet. Lösung dieser Aufgabe ist ein eindeutig
bestimmtes fastreguläres Inpolyeder des Kreises vom Radius R. Die Seiten eines
solchen Polyeders sind alle gleich lang bis auf eine, höchstens kürzere Seite. Das
Problem (P F,{L,R} ) ist äquivalent zur konkaven Minimierungsaufgabe
√
F(B) → Min!
L(B) = L
R(B) ≤ R.
In beiden Aufgaben sind die Optimalwertfunktionen in Abhängigkeit von R nur L
implizit gegeben. Für das Tripel (F, L, R) erhält man die scharfen Abschätzungen
( n − 1
R 2 sin α + 1 )
2 2 sin(2π − (n − 1)α) ≤ F ≤ cos ϕ L(L − 4R) (1.29)
8ϕ
mit L ∈ [4R, 2πR] und implizit gegebenen Werten n, α und ϕ. Der Linsenwinkel
ϕ berechnet sich aus
L sin ϕ = 4Rϕ. (1.30)
Die Seitenzahl n ∈ N, n ≥ 2, und der charakteristische Winkel α ∈ [ 2π n , 2π
n−1 ) des
fastregulären Kreis–Inpolyeders sind eindeutig durch
2(n − 1) sin
π
n − 1 < L R ≤ 2n sin π n
(1.31)
und durch
L
R = 2(n − 1) sin α 2π − (n − 1)α
+ 2 sin (1.32)
2 2
bestimmt. Eine Verallgemeinerung des Favard–Problems wird in Kapitel 2 behandelt.
In der Klasse
K 2 (L, D)) = {B ∈ K 2 / L(B) = L, D(B) = D}, (1.33)
2D ≤ L ≤ πD, besitzt ebenfalls die Linse mit D = 2R maximalen Flächeninhalt.
Die zugehörige Extremalaufgabe