Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

10 KAPITEL 1. GEOMETRISCHE EXTREMALAUFGABEN
Stützhyperebene , positiver und negativer Stützhalbraum bzw. Stützmenge von K
bez. des äußeren Normalenvektors u. Es gilt stets K ⊆ H − K
(u) für alle u.
Die Stützfunktion H K ist genau dann in u ≠ 0 differenzierbar, wenn F K (u) einelementig
ist. In diesem Fall gilt
∇H K (u) = x u
mit F K (u) = {x u }. In jeden Randpunkt von K ∈ K n gibt es wenigstens eine
Stützhyperebene, und zu jedem Richtungsvektor u ∈ E n \{0} existiert genau
eine Stützhyperebene. Jeder konvexe Körper ist gleich dem Durchschnitt seiner
ihn umfassenden Stützhalbräume H − K . Die Stützhyperebene H K(u) heißt regulär,
falls F K (u) einelementig ist. Sonst heißt sie singulär. Ist K ein Polytop, also
konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge, dann heißt F K (u) Seite bzw. Facette
von K. Ein Polytop ist durch seine endlich vielen Seiten charakterisiert. Jeder
konvexe Körper, dessen Stützhyperebenen alle regulär sind, heißt streng konvexer
Körper. KLÖTZLER [3] bezeichnete diese Körper auch als rund. Insbesondere
enthält der Rand einer streng konvexen Figur keine Streckenstücke. Dual hierzu
heißt ein Randpunkt x des konvexen Körpers K regulär oder auch glatt, falls in
x eine eindeutige Stützhyperebene existiert. Sonst heißt der Randpunkt singulär.
Ein konvexer Körper mit ausschließlich regulären Randpunkten heißt regulärer
oder auch glatter konvexer Körper.
Die Abbildung H (·) : K n → C(R n ), die jedem konvexen Körper seine Stützfunktion
zuordnet, ist Minkowski–linear. Aus der Minkowski–Additivität von H (·) gemäß
H K+M (u) = H K (u) + H M (u) ∀ u ∈ R n
mit K, M ∈ K n folgt insbesondere die Kürzungsregel in K n . Außerdem ist H K ≤
H M in C(R n ) genau dann erfüllt, wenn K ⊆ M in K n gilt.
Wegen der positiven Homogenität ist die Stützfunktion H K aus (1.1) eindeutig
durch ihre Werte auf der Oberfläche S n−1 der Einheitskugel B n 1 des E n bestimmt.
Bezeichnet man durch
¯H K (u) := H K (u) für u ∈ S n−1 (1.2)
die Stützfunktion des konvexen Körpers K auf S n−1 , so beschreibt die Zuordnung
K → ¯H K eine isomorphe Abbildung ¯H (·) des abstrakten konvexen Kegels K n in
den Vektorraum C(S n−1 ) der auf S n−1 stetigen Funktionen.