Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

32 KAPITEL 2. VERALLGEMEINERTES FAVARD-PROBLEM
Strukturvoraussetzung (S):
(x, u) sei ein zulässiger Prozess des Steuerproblems (SP ω,L ) mit
N 1 = {0} ∪ {ϕ i /i ∈ J} ∪ [ω ′ , ω]
für gewisse ϕ i , ω ′ ∈ (0, ω] und eine höchstens abzählbare Menge J.
Zu solchen zulässigen Prozessen korrespondieren Sektorinbereiche B ω , die sich
aus einem Teilsektor S ω−ω ′ und einem Sektorinbereich B ω ′ mit höchstens abzählbar
vielen singulären Randpunkten auf dem Sektorbogen zusammensetzen.
Wir wenden nun die von KLÖTZLER in [70] hergeleitete distributionelle Version
des Pontrjagin’schen Maximumprinzips (siehe Anhang A.2) auf das Problem
(SP ω,L ) an, um notwendige Eigenschaften eines optimalen Prozesses zu bestimmen.
Die Voraussetzungen für die Anwendung dieses Prinzips sind erfüllt. Insbesondere
folgt die Existenz regulärer zulässiger Prozesse in der Nähe eines optimalen
Prozesses aus der Approximierbarkeit konvexer Figuren durch streng konvexe
Figuren gemäß Theorem1.2.
Die Pontrjagin-Funktion zur Aufgabe (SP ω,L ) ist gegeben durch
H(t, ξ, ν, η, λ 0 ) = − 1 2 λ 0
(
ξ
2
1 − ξ 2 2)
+ η1 ξ 2 + η 2 (−ξ 1 + ν) + η 3 ξ 1
mit t ∈ [0, ω], ξ ∈ R 2 , ν ∈ R, η ∈ R 3 . Um die Maximumbedingung (M), die kanonischen
Gleichungen (K) und die Transversalitätsbedingungen (T) auszuwerten,
unterscheidet man bez. λ 0 zwei Fälle. Zu beachten sind dabei stets auch die
Zustandsgleichungen sowie die Steuer- und Zustandsrestriktionen des Problems
(SP ω,L ).
Fall: λ 0 = 1.
Hier führt das Maximumprinzip auf folgende Bedingungen: Sei (x, u) ein optimaler
Prozess, der die Strukturvoraussetzung (S) erfüllt. Dann existieren Vektoren
l 0 , l 1 ∈ E 3 , eine linksstetige vektorwertige Funktion y : [0, ω] → E 3 von
beschränkter Variation und ein auf [0, ω] definiertes sowie auf der Menge N 1 konzentriertes
nichtnegatives reguläres Maß µ, so dass
die Maximumbedingung
sup
v≥0,
v∈L ∞(0,ω)∩D 0 (K)
〈v · y 2 , ψ〉 = 〈u · y 2 , ψ〉 für alle ψ ∈ K + , (M)