Hemmi–Polyeder - Mathematisches Institut - Universität Leipzig

22 KAPITEL 1. GEOMETRISCHE EXTREMALAUFGABEN
W
W’ V’
V
U
Abbildung 1.3: Beweisskizze
W ′ innerhalb dieser Ellipse. Mit der Optimalität von B ∗ in der Menge K 2 (R, D)
ergibt sich hieraus die Ungleichung
L(B ∗ ) ≤ L( ¯B) ≤ L( ˜B). (1.24)
Betrachtet man nun andererseits eine Ellipse durch den Punkt V mit den Brennpunkten
U und W , so liegt der Punkt V ′ innerhalb dieser Ellipse. Es gilt also die
Ungleichung
L( ˜B) ≤ L(△ R ). (1.25)
Aus den Ungleichungen (1.23), (1.24) und (1.25) folgt schließlich mit L(B ∗ ) =
L( ¯B) = L(△ R ) die Behauptung.
Gleichschenklige Dreiecke sind damit umfangskleinste konvexe Figuren gegebenen
Durchmessers und Umkreises. Für 2D ≤ L ≤ 3D folgt aus diesem Lemma
die Äquivalenz der Minimierungsaufgabe (P L,{D;R} ) zum konvexen Maximierungsproblem
(P R,{L,D} ) : R(B) → Max!
B ∈ KD 2 (L, D)
mit zulässigem Bereich
K 2 D(L, D) = {B ∈ K 2 D / L(B) = L, D(B) = D} (1.26)
und KD 2 aus (1.18), d.h. mit Minkowski–linearen Restriktionen.