Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

Prof. Dr. P. Kaul 

Tel: 02241/865-515 

Fax: 02241/865-795 

Fachhochschule 

Bonn-Rhein-Sieg 

University 

of Applied Sciences 

Skript zur 

Vorlesung Physik 

Teil 1 (Sommersemester) 

und 

Fachbereich Biologie 

Chemie und 

Werkstofftechnik 

Teil 2 (Wintersemester) 

Email: peter.kaul@fh-rhein-sieg.de Stand: 03/00

Inhaltsverzeichnis 

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 2 

Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik, 

Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg 

1 EINFÜHRUNG ...................................................................................................................................5 

1.1 Allgemeines .......................................................................................................................................5 

1.2 Literaturangaben zu Standardwerken der Physik ................................................................................5 

1.3 Das griechische Alphabet ...................................................................................................................6 

1.4 Begriffsklärung: Was ist Physik ..........................................................................................................6 

1.5 Historischer Abriss..............................................................................................................................7 

1.6 Die Messung physikalischer Größen...................................................................................................8 

1.6.1 SI-Einheitensystem .........................................................................................................................8 

1.6.2 Umrechnung von Einheiten.............................................................................................................9 

1.6.3 Dezimale Vielfache und Teile und deren Kurzbezeichnungen .........................................................9 

1.6.4 Abgeleitete Einheiten (SI-System) ................................................................................................10 

1.7 Masse, Dichte, Stoffmenge ..............................................................................................................11 

1.7.1 Masse...........................................................................................................................................11 

1.7.2 Dichte ...........................................................................................................................................11 

1.7.3 Stoffmenge...................................................................................................................................11 

2 MECHANIK......................................................................................................................................13 

2.1 Der Begriff des Massenpunktes........................................................................................................13 

2.2 Geradlinige Bewegung .....................................................................................................................14 

2.2.1 Geradlinig gleichförmige Bewegung..............................................................................................14 

2.2.2 Ungleichförmige Bewegung ..........................................................................................................14 

2.2.3 Zusammenhang zwischen Weg und Beschleunigung: ...................................................................15 

2.2.4 Der freie Fall.................................................................................................................................17 

2.2.5 Zusammensetzung und Zerlegung von Bewegungen ....................................................................17 

2.2.6 Die Bewegung auf der schiefen Ebene..........................................................................................18 

2.2.7 Wurfbewegung..............................................................................................................................19 

2.3 Rotationsbewegungen ......................................................................................................................20 

2.3.1 Gleichförmige Drehbewegung.......................................................................................................20 

2.3.2 Ungleichförmige Drehbewegung ...................................................................................................22 

2.3.3 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung. .................................................................................23 

2.4 Vergleich zwischen geradliniger Bewegung und Kreisbewegung.......................................................23 

2.5 Dynamik der geradlinigen Bewegung: Newtonsche Axiome..............................................................24 

2.5.1 Newtonsche Axiome .....................................................................................................................24 

2.5.2 Lineares Kraftgesetz .....................................................................................................................25 

2.5.3 Reibungskräfte..............................................................................................................................25 

2.6 Gravitation .......................................................................................................................................27 

2.7 Arbeit, Leistung, Energie ..................................................................................................................28 

2.7.1 Arbeit............................................................................................................................................28 

2.7.2 Leistung........................................................................................................................................30 

2.7.3 Energie, Energieerhaltung.............................................................................................................30 

2.7.4 Impuls, Impulserhaltung................................................................................................................32 

2.8 Dynamik der Drehbewegungen.........................................................................................................36 

2.8.1 Zentripetal- und Zentrifugalkraft....................................................................................................36 

2.8.2 Kreispendel...................................................................................................................................36 

2.8.3 Starrer Körper...............................................................................................................................37 

2.8.4 Schwerpunkt .................................................................................................................................37 

2.8.5 Trägheitsmoment..........................................................................................................................38 

2.8.6 Drehmoment.................................................................................................................................40 

2.8.7 Drehimpuls ...................................................................................................................................41 

2.8.8 Vergleich zwischen geradliniger Bewegung und Kreisbewegung ...................................................43 

3 MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN UND GASE .............................................................................45 

3.1 Ruhende Flüssigkeiten und Gase .....................................................................................................45 

3.1.1 Ruhende Flüssigkeiten..................................................................................................................45 

3.1.2 Ruhende Gase..............................................................................................................................51 

4 THERMODYNAMIK .........................................................................................................................53 

4.1 Temperatur ......................................................................................................................................53 

4.1.1 Temperaturskalen.........................................................................................................................53 

4.1.2 Thermometer................................................................................................................................54




4.2 Verhalten von Körpern bei Temperaturänderungen ..........................................................................54 

4.2.1 Feste Körper.................................................................................................................................54 

4.2.2 Flüssigkeiten.................................................................................................................................55 

4.2.3 Gase.............................................................................................................................................56 

4.2.4 Die allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase: ..........................................................................57 

4.3 Kinetische Gastheorie ......................................................................................................................58 

4.3.1 Gasgleichungen............................................................................................................................58 

4.3.2 Mittlere kinetische Energie der Moleküle, Gleichverteilungssatz....................................................60 

4.3.3 Boltzmannfaktor:...........................................................................................................................61 

4.4 Die Hauptsätze der Thermodynamik.................................................................................................63 

4.4.1 Wärme und Innere Energie...........................................................................................................63 

4.4.2 Zustandsänderungen idealer Gase................................................................................................69 

4.4.3 Kreisprozesse ...............................................................................................................................72 

4.5 Zustandsgleichung realer Gase und Dämpfe ....................................................................................77 

4.5.1 Van-der-Waalsche Gasgleichung..................................................................................................77 

4.5.2 Phasenumwandlungen..................................................................................................................78 

4.5.3 Gleichgewicht zwischen den Phasen.............................................................................................79 

5 SCHWINGUNGEN UND WELLEN...................................................................................................82 

5.1 Wiederholung aus der Mechanik ......................................................................................................82 

5.2 Schwingungen..................................................................................................................................83 

5.2.1 Freie ungedämpfte Schwingung:...................................................................................................83 

5.2.2 Freie gedämpfte Schwingung:.......................................................................................................83 

5.2.3 Erzwungene Schwingung: .............................................................................................................83 

5.3 Mathematische Beschreibung von Schwingungen ............................................................................84 

5.3.1 Harmonische Schwingungen:........................................................................................................84 

5.3.2 Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung: .........................................................85 

5.3.3 Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung: .............................................................89 

5.3.4 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung......................................................................92 

5.4 Überlagerung von Schwingungen .....................................................................................................94 

5.4.1 Schwingungen gleicher Raumrichtungen und gleicher Frequenz...................................................95 

5.4.2 Schwingungen gleicher Raumrichtungen und verschiedener Frequenz .........................................96 

5.4.3 Schwingungen verschiedener Raumrichtungen und Frequenzen...................................................98 

5.5 Wellen..............................................................................................................................................98 

5.5.1 Allgemeines..................................................................................................................................98 

5.5.2 Harmonische Wellen.....................................................................................................................99 

5.5.3 Energietransport: ........................................................................................................................100 

5.5.4 Interferenz von Wellen................................................................................................................101 

5.5.5 Stehende Wellen ........................................................................................................................103 

6 OPTIK............................................................................................................................................106 

6.1 Dualismus Teilchen Welle..............................................................................................................106 

6.2 Huygenssches Prinzip ....................................................................................................................107 

6.2.1 Reflexion und Brechung..............................................................................................................108 

6.3 Geometrische Optik........................................................................................................................110 

6.3.1 Ebener Spiegel ...........................................................................................................................111 

6.3.2 Gekrümmte Spiegel ....................................................................................................................111 

6.3.3 Linsen.........................................................................................................................................114 

6.3.4 Optische Instrumente..................................................................................................................117 

6.4 Wellenerscheinungen von Licht......................................................................................................119 

6.4.1 Beugung .....................................................................................................................................119 

6.4.2 Kohärenz ....................................................................................................................................120 

6.4.3 Interferenz an dünnen Schichten.................................................................................................121 

6.4.4 Michelson Interferometer ............................................................................................................124 

6.4.5 Doppelspalt und Mehrfachspalt ...................................................................................................125 

6.4.6 Einzelspalt ..................................................................................................................................127 

6.4.7 Gitter ..........................................................................................................................................128 

6.4.8 Auflösungsvermögen ..................................................................................................................130 

6.4.9 Prisma ........................................................................................................................................131 

6.4.10 Polarisation.................................................................................................................................132 

7 ELEKTRIZITÄT .............................................................................................................................134 

7.1 Das elektrische Feld.......................................................................................................................134




7.1.1 Definitionen ................................................................................................................................134 

7.1.2 Elektrisches Feld von Punktladungen..........................................................................................135 

7.1.3 Bewegung von Ladungen in E-Feldern........................................................................................137 

7.1.4 Kontinuierliche Ladungsverteilungen...........................................................................................138 

7.1.5 Ladung und Feld auf leitenden Oberflächen................................................................................140 

7.2 Elektrisches Potential .....................................................................................................................141 

7.2.1 Definitionen ................................................................................................................................141 

7.2.2 Potential von Punktladungen ......................................................................................................142 

7.2.3 Feld und Potential, Poissongleichung..........................................................................................144 

7.3 Elektrischer Strom:.........................................................................................................................146 

7.3.1 Definitionen: ...............................................................................................................................146 

7.3.2 Elektronenleitung in Leitern.........................................................................................................147 

7.3.3 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz..........................................................................149 

7.3.4 Energie des elektrischen Stromes...............................................................................................151 

7.4 Gleichstromkreise...........................................................................................................................151 

7.4.1 Spannungsquellen ......................................................................................................................151 

7.4.2 Kirchhoffsche Regeln..................................................................................................................152 

7.4.3 RC-Kreise ...................................................................................................................................156 

8 MAGNETISMUS ............................................................................................................................161 

8.1 Das magnetische Feld....................................................................................................................161 

8.1.1 Allgemeines................................................................................................................................161 

8.1.2 Lorentzkraft.................................................................................................................................161 

8.1.3 Bewegung einer Punktladung im Magnetfeld...............................................................................162 

8.1.4 Energiefilter und Massenspektrometer ........................................................................................163 

8.2 Die Quellen des magnetischen Feldes............................................................................................164 

8.2.1 Bewegte Ladungen .....................................................................................................................164 

8.2.2 Magnetische Induktion ................................................................................................................166 

8.2.3 (Selbst)induktivität ......................................................................................................................167 

8.3 LR-Kreise .......................................................................................................................................168 

8.4 Magnetismus in Materie .................................................................................................................170 

8.4.1 Magnetische Momente................................................................................................................170 

8.4.2 Magnetisierung und magnetische Suszeptibilität .........................................................................171 

8.4.3 Paramagnetismus.......................................................................................................................172 

8.4.4 Diamagnetismus.........................................................................................................................173 

8.4.5 Ferromagnetismus......................................................................................................................173 

8.5 Wechselstromkreise .......................................................................................................................174 

8.5.1 Wechselspannung an einem Widerstand ....................................................................................174 

8.5.2 Wechselströme in Spulen ...........................................................................................................175 

8.5.3 Wechselströme in Kondensatoren...............................................................................................176 

8.5.4 LC-Kreise....................................................................................................................................178 

8.5.5 Transformator .............................................................................................................................179 

8.6 Elektromagnetische Wellen............................................................................................................180 

8.6.1 Die Maxwellschen Gleichungen ..................................................................................................180 

8.6.2 Elektromagnetische Wellen ........................................................................................................182

1 EINFÜHRUNG 

1.1 Allgemeines 




Das vorliegende Skript „Physik, Teil 1“ soll den Studierenden der Chemie und Werkstofftechnik als Hilfsmit- 

tel zur Vorlesung Physik dienen. Das Skript erhebt nicht den Anspruch auf Vollständigkeit, d.h. die Verwen- 

dung weiterer Fachliteratur zur Vorbereitung der Übungsaufgaben, Klausuren und Praktika wird dringend 

empfohlen! Das Skript dient lediglich zur Information über die in der Vorlesung vermittelten Inhalte. 

1.2 Literaturangaben zu Standardwerken der Physik 

• Experimentalphysik I - IV, (sehr ausführliche Darstellungen) 

Bergmann-Schaefer, 

Walter de Gruyter-Verlag 

• Physik für Ingenieure 

Dobrinski, Krakau, Vogel 

Teubner-Verlag 

• Einführung in die Physik 

Fleischmann 

Physik-Verlag 

• Physik 

Gerthsen, Vogel 

Springer 

• Physik (Empfehlung) 

Tipler 

Spektrum Akademischer Verlag 

• Physik für Ingenieure (Empfehlung) 

Hering, Martin, Stohrer 

Springer 

• Physik 

Gerlach, Grosse 

Teubner

• Physik für Mediziner 

Harten 

Springer 




1.3 Das griechische Alphabet 

Alpha α Α 

Beta β Β 

Gamma γ Γ 

Delta δ Δ 

Epsilon ε Ε 

Zeta ζ Ζ 

Eta η Η 

Theta ϑ (θ) Θ 

Jota ι Ι 

Kappa κ Κ 

Lambda λ Λ 

My μ Μ 

Ny ν Ν 

Xi ξ Ξ 

Omikron ο Ο 

Pi π Π 

Rho ρ Ρ 

Sigma σ Σ 

Tau τ Τ 

Ypsilon υ Υ 

Phi ϕ (φ) Φ 

Chi χ Χ 

Psi ψ Ψ 

Omega ω Ω 

1.4 Begriffsklärung: Was ist Physik 

1. Alle Naturwissenschaften (Chemie, Astrophysik, Biologie, Geologie) sind historisch gesehen ein Teilge- 

biet der Physik. Heute werden sie als eigenständige Wissenschaften betrachtet. Eine klare Trennung ist 

in den meisten Fällen nicht möglich. Die Physik beinhaltet viele wichtige Grundbegriffe, die in anderen 

Natur- und Ingenieurwissenschaften Verwendung finden. 

2. Historisch gewachsen ist die Unterteilung in: Mechanik, Akustik, Wärme, Elektrizität, Magnetismus, Op- 

tik, Atom- und Kernphysik. Diese "Klassische Physik" existiert in der Forschung in dieser Form nicht




mehr. Die willkürliche Aufspaltung unterteilt sich heutzutage in die Bereiche Quantenphysik und Elemen- 

tarteilchenphysik (Mikrophysik: Erforschung des Kleinen), Astrophysik (Makrophysik, Erforschung des 

Großen), Festkörperphysik (kondensierte Materie, Werkstofftechnik), Oberflächenphysik (Erforschung 

von Phasengrenzen), Theoretische Physik (streng mathematische Beschreibung. 

3. Sämtliche Teilbereiche sowohl der klassischen Physik als auch der modernen Physik gehen ineinander 

über (Optik/Elektromagnetismus, Wärmestrahlung/Licht, Festkörperphysik/Quantentheorie aber auch 

Marko-/Mikrophysik z.B. bei der Beschreibung des Urknalls). 

Begriffsbestimmung (Folie): 

Physik ist die Naturwissenschaft, die sich mit der Erforschung aller experimentell und messend erfassbaren 

sowie mathematisch beschreibbaren Erscheinungen und Vorgängen der unbelebten Natur befasst. 

Sie beschreibt Vorgänge, Zustände, Zustandsänderungen, Wechselwirkungen und Zusammensetzungen 

von Materie 

Die Physik hat große Auswirkungen auf die Technik und Wirtschaft sowie auf andere naturwissenschaftliche 

Zweige (Beispiele: Mikroelektronik, neue Materialien, Werkstofftechnik, chemische Verfahrenstechnik etc.) 

1.5 Historischer Abriss 

1. Erste Beschreibungen physikalische Phänomene finden sich bei Archimedes: um 285 v. Chr.: Integral- 

rechnung, Berechnung von π, Hebelgesetze und Auftrieb. 

2. Anfänge der klassischen Physik finden sich Anfang des 17. Jahrhunderts 

3. Tycho de Brahes (1546-1601) und Kepler (1571-1630): Beschreibung der Planetenbewegung, Kepler- 

sche Gesetze. 

Klassische Physik: 

Galilei 1564-1642 Pendel- und Fallgesetze 

Newton 1643-1727 Theoretische Mechanik, Gravitation 

Huygens 1629-1695 Wellentheorie des Lichts 

Faraday 1791-1867 Elektrolyse, Induktion 

Maxwell 1831-1879 Elektromagn. Lichttheorie, kinetische Gastheorie 

Helmholtz 1821-1894 Energieprinzip (Erhaltung) 

Hertz 1857-1894 elektrische Wellen 

Moderne Physik: 

Planck 1858-1947 Quantentheorie 

Einstein 1879-1955 Relativitätstheorie 

Bohr 1885-1962 Atomtheorie 

Heisenberg 1901-1976 Quantenmechanik




Schrödinger 1887-1961 Wellenmechanik 

1.6 Die Messung physikalischer Größen 

Definition: 

Eine physikalische Größe setzt sich zusammen aus einem Zahlenwert und einer Einheit: 

physikalische Größe = Zahlenwert * Einheit 

G = {G} * [G] 

Beispiel: Die Länge ist eine physikalische Größe 

In der Französischen Revolution (1790) wurde vereinbart, die lange Zeit gültigen Maße, die sich auf Kör- 

pergrößen bezogen (Schritt, Elle, Fuß, Daumenbreite = Zoll) auf Einheiten der unbelebten Natur zu 

beziehen: 

• 1790: 1 Längeneinheit entspricht dem 1/40000000 Teil des durch Paris gehenden Erdmeridians (Län- 

genkreises) --> schwierig nachzuvollziehen 

• 1875: Schaffung des Urmeters: Pt/Ir-Stab (beständige Legierung) mit Einkerbungen als Ur-Meter in Paris 

--> im kleinen Maßstab zu ungenau 

• Seit 1983: 1 Meter ist die Entfernung, die Licht im Vakuum während des Intervalls von 1/299792468 

Sekunden durchläuft: Sehr genaue Messung der Lichtgeschwindigkeit und der Zeit möglich! 

Es existiert eine internationale Einigung auf bestimmte Basisgrößen, mit denen alle anderen physikalischen 

Größen (abgeleitete Größen) festgelegt werden können: 

1.6.1 SI-Einheitensystem 

Definition: SI-System: Système International d'Unités 

Basisgröße Zeichen SI-Einheit Zeichen 

Länge s Meter m 

Masse m Kilogramm kg 

Zeit t Sekunde s 

elektrische Stromstärke I Ampere A 

thermodynamische Temperatur T Kelvin K 

Lichtstärke I Candela cd 

Stoffmenge n Mol mol 

Beispiel: 

Abgeleitete Größe Geschwindigkeit




(gleichförmige) Geschwindigkeit: v = s / t, Einheit: [v] = [l] / [t] = m/s 

elektrischer Widerstand R = U / I, Einheit [R] = [U] / [I] = V / A = Ohm 

Es existieren auch dimensionslose Größen, z.B. 

• Mach: Verhältnis von tatsächlicher Geschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit in Luft 

• Brechungsindex: Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten in verschiedenen angrenzenden Materialien 

1.6.2 Umrechnung von Einheiten 

Beispiel: 

Längeneinheiten 

Basiseinheit Länge 1 m 

geographische Entfernungen 1 km = 1000 m = 10 3 m 

Atomdurchmesser 1 A = 0,000 000 000 1 m = 10 -10 m 

Einheit Geschwindigkeit 1 1 10 

−3 

m km 

= = 3, 6 

s 1 

h 

3600 

km 

h 

1 1 10 

3 

km m 1 m 

= = ≈ 0, 277 

h 3600 s 3, 6 s 

1.6.3 Dezimale Vielfache und Teile und deren Kurzbezeichnungen 

Zehner-Potenz Bezeichnung Kurzzeichen 

10 18 Exa E 

10 15 Peta P 

10 12 Tera T 

10 9 Giga G 

10 6 Mega M 

10 3 Kilo k 

10 2 Hekto h 

10 0 --- --- 

10 -1 Dezi d 

10 -2 Zenti c 

10 -3 Milli m 

10 -6 Mikro µ 

10 -9 Nano n 

m 

s




1.6.4 Abgeleitete Einheiten (SI-System) 

Größe Formelzeichen 

10 -12 Piko p 

10 -15 Femto f 

10 -18 Atto a 

Definitionsgleichung Dimension Einheit 

Länge s Basisgröße L m Meter 

Masse m Basisgröße M kg Kilogramm 

Zeit t Basisgröße Z s Sekunde 

elektr. Strom I Basisgröße I A Ampere 

Temperatur T Basisgröße T K Kelvin 

Lichtstärke I Basisgröße S cd Candela 

Stoffmenge ν Basisgröße N mol Mol 

Fläche A A=s 2 L 2 m 2 

Volumen V V=s 3 L 3 m 3 

Geschwindigkeit v v=ds/dt LZ -1 m/s 

Beschleunigung a a=dv/dt=d 2 s/dt 2 LZ -2 m/s 2 

Kraft F F=m a MLZ -2 N=kg m/s 2 Newton 

Impuls p p=m v LZ -1 kg m/s 

Arbeit, Energie W W=F s ML 2 Z -2 J=N m Joule 

Leistung P P=dW/dt ML 2 Z -3 W=N m/s Watt 

Frequenz f f=1/t Z -1 Hz=1/s Hertz 

Brechkraft D D=1/Brennweite L -1 dpt=1/m Dioptrie 

Winkel ϕ ϕ=Bogenlänge/Radius L/L=1 rad Radiant 

Winkelgeschwindigkeit ω ω=dϕ/dt Z -1 rad/s=1/s (nicht Hertz) 

elektr. Ladung Q Q=I t IZ C=A s Coulomb 

elektr. Spannung U U=W/Q ML 2 Z -3 I -1 V=J/s Volt 

elektr. Feldstärke E E=F/Q MLZ -3 I -1 V/m=N/C 

elektr. Widerstand R R=U/I ML 2 Z -3 I -2 �=V/A Ohm 

elektr. Kapazität C C=Q/U M -1 L -2 Z 4 I 2 F=C/V Farad 

magn. Fluß Φ Φ=U t ML 2 Z -2 I -1 Wb=V s Weber 

magn. Induktion B B=E/v MZ -2 I -1 T=Wb/m 2 Tesla 

magn. Erregung H H=N I/l L -1 I A/m 

Wärme Q Q=Energie ML 2 Z -2 J Joule 

Wärmekapazität C C=dQ/dT ML 2 Z -2 T -1 J/K 

Entropie S S=Q/T ML 2 Z -2 T -1 J/K




Aktivität A A=Anzahl/t Z -1 Bq=1/s Bequerel 

Energiedosis D D=W/m L 2 Z -2 Gy=J/kg Gray 

Ionendosis J J=dQ/dm IZM -1 C/kg 

Äquivalentdosis D q D q =qD L 2 Z -2 Sv=J/kg Sievert 

1.7 Masse, Dichte, Stoffmenge 

1.7.1 Masse 

• Die Masse ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Materie. 

• Die Einheit der Masse ist Kilogramm (kg): Ein Pt/Ir-Zylinder der Masse 1 kg wird in Paris als internatio- 

nal gültiges "Massennormal" aufbewahrt. 

• Oft wird 1 dm 3 reines Wasser bei 4 °C als alternative Masseneinheit von 1 kg verwendet (Unterschied: 

Merke: 

Pt/Ir-Zylinder ist 0,028 g zu groß). 

Die Bestimmung (Messung) von Massen erfolgt durch Gewichtsvergleich 

Verwendung von Waagen, um über die Gewichtsmessung auf die Masse zurückzuschließen: 

• Balkenwaage 

• Federwaage 

• Ultramikrowaagen mit elektromagnetischer Kraftkompensation 

Bei sehr genauen Wägungen muss der Auftrieb der Masse im Umgebungsmedium berücksichtigt werden! 

1.7.2 Dichte 

Definition: 

Achtung, nicht verwechseln: 

ρ = m 

V 

Dichte = Masse/Volumen: [ kg m ] / 

3 

Die Dichte ist eine Stoffkonstante 

Dichte = Masse/Volumen, Wichte oder spezifisches Gewicht = Gewicht/Volumen 

1.7.3 Stoffmenge 

Definitionen: 

relative Atommasse A r : Sie gibt das Vielfache der Masse eines Atoms zu 1/12 der Masse des Koh- 

lenstoffnuklids 12 C an:




A 

r 

m 

= 

1 

m 

12 

Atom 

12 

C 

relative Molekülmasse M r : Sie gibt das Vielfache der Masse eines Moleküls zu 1/12 der Masse des 

Kohlenstoffnuklids 12 C an. Die Masse eines Moleküls ist die Summe der 

Massen der Molekülatome 

M m m 

Molekül 

r = = 

m m 

C 

∑ 

1 1 

12 12 

Molekülatome 

12 12 

Jede Stoffmenge, deren Masse in g der relativen Atommasse entspricht, enthält die gleiche Anzahl an Ato- 

men: 

1 Mol entspricht der relativen Atommasse bzw. der relativen Molekülmasse in Gramm 

Die Zahl der Teilchen in einem Mol ist gegeben durch die Avogadrokonstante 

23 

Avogadrokonstante: N A = 6 * 10 

C

2 MECHANIK 




2.1 Der Begriff des Massenpunktes 

Bewegungen können unterteilt werden in 

• gleichförmig 

• ungleichförmig 

• ruhend 

Bei einer Bewegung bewegt sich ein Körper relativ zu einem Bezugssystem, z.B. eine sitzende Person in 

einem fahrenden Zug bewegt sich nicht relativ zum Zug, aber sie bewegt sich relativ zum Erdboden. 

Bewegungen werden stets auf ein Bezugssystem bezogen! 

Ein Körper mit einer geometrischen Ausdehnung kann sich auf zwei Arten bewegen: 

• translatorisch 

• rotatorisch 

Im allgemeines ist die Bewegung des Körpers eine Überlagerung von translatorischen und rotatorischen 

Bewegungen (relativ zum Bezugssystem) 

Festlegung von Koordinatensystemen: 

Im Allgemeinen werden Koordinatensysteme zur Beschreibung der Lage von Körpern in einem Bezugssys- 

tem als kartesische (d.h. rechtwinklige und rechtshändige) Koordinatensysteme aufgebaut. 

Ein Körper nimmt ein Volumen innerhalb dieses Koordinatensystems ein. Es lässt sich unterteilen in eine 

Anzahl von Massenpunkten, die hinreichend klein sind, um ihre Lage durch einen Punkt auszudrücken. 

⎛x 

⎞ 1 

⎜ ⎟ 

Vektoren: r1 

= ⎜y 

1⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝z 

⎠ 

1 

, 

r 

2 

⎛x 

⎞ 2 

⎜ ⎟ 

= ⎜y 

2 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝z 

⎠ 

2 2 2 

2 2 

Längen: r = x + y + z , r = x + y + z 

1 1 

(skalare Größen) 

1 

1 

2 

2 2 

2 

2 

Abstand: d= [ x1 − x2 ] + [ y1 − y 2 ] + [ z1 − z2 

] 

Es lässt sich zeigen. dass es in jedem ausgedehnten 

Körper einen Punkt, den Schwerpunkt, gibt, der sich 

genau nach den Gesetzen eines Massenpunktes bewegt. 

Es ist zweckmäßig, zunächst die Beschreibung von Be- 

wegungen auf einen Punkt zu reduzieren. Die Bewegungen können dann nur rein translatorisch sein, da die 

Rotation eines Punktes dann keinen Sinn mehr macht. 

2 

2 

2 

2




2.2 Geradlinige Bewegung 

2.2.1 Geradlinig gleichförmige Bewegung 

Definition: 

Ein Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig, wenn er auf gerader Bahn in gleichen Zeiten gleiche Wege 

zurücklegt. 

Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass das Verhältnis aus Weg und Zeit konstant ist: (der Graph im s-t- 

Diagramm ist eine Gerade). 

Definition: 

Die Geschwindigkeit v ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit. Im Fall der 

geradlinig gleichförmigen Bewegung gilt 

Δs 

s − s 

v = = 

Δt 

t − t 

1 0 

1 0 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

m 

s 

⎤ 

⎥ const 

⎦ 

= . 

Falls die Proportionalität zwischen s und t nur auf einem Teil des Weg-Zeit Diagramms gegeben ist, so be- 

findet sich der Körper nur in diesem Teil in einer gleichförmig geradlinigen Bewegung 

Beispiel: 

2.2.2 Ungleichförmige Bewegung 

Im Zeitintervall [t 1 ,t 2 ] und [s 1 ,s 2 ] ist die Bewegung geradlinig 

und gleichförmig. Nur in diesem Intervall ist die Geschwindig- 

keit konstant, also 

Δs 

s − s 

v = = 

Δt 

t − t 

2 1 

2 1 

= const. 

Die Geschwindigkeit ist die Steigung der Geraden im s-t- 

Diagramm! 

Je kürzer die Intervalle werden, in denen das Verhältnis aus Weg und Zeit konstant ist, desto ungleichför- 

miger wird die Geschwindigkeit während der gesamten Bewegung des Massenpunktes. Die Geschwindigkeit 

ist keine Konstante mehr. Die konstante Geschwindigkeit wird ersetzt durch den Begriff der Momentange- 

schwindigkeit. 

Δs 

s( t + Δt) 

− s( t) 

Definition Mometangeschwindigkeit: v = lim = lim = 

Δt→0 Δt 

Δt→0 

Δt 

v ds 

= : = s& 

erste Ableitung (Differentialquotient) des Weges nach der Zeit 

dt 

ds 

dt




Δs 

ges gesamter Weg 

Definition Durchschnittsgeschwindigkeit: v = = 

Δt 

gesamtebenötigte Zeit 

Definition: 

ges 

Eine Bewegung heißt ungleichförmig geradlinig, wenn sich der Betrag der Momentangeschwindigkeit än- 

dert: 

Δv 

v − v 

a= 

= 

Δt 

t − t 

1 0 

1 0 

Analog zur Geschwindigkeit gilt 

⎡ m ⎤ 

≠ 0 ⎢ 2 

⎣s 

⎥ Die Größe a heißt Beschleunigung 

⎦ 

Δv 

a= 

= const. 

konstante Beschleunigung 

Δt 

a= 

lim 

Δt→0 

v 

a = 

t 

Δ 

Δ 

ges 

ges 

v( t + Δt) 

− v( t) 

= 

Δt 

dv 

dt 

momentane Beschleunigung 

mittlere Beschleunigung 

2.2.3 Zusammenhang zwischen Weg und Beschleunigung: 

Es war v ds 

= : = s& 

(1) und a 

dt 

dv 

= = v& 

(2). 

dt 

Wenn (1) eingesetzt wird in (2) dann gilt: 

a dv 

2 

d ⎛ ds⎞ 

d s 

= = ⎜ ⎟ = = s&& 

2 

dt dt ⎝ dt ⎠ dt 

Die Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit 

Berechnung des Weges bei bekannten Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (Sonderfälle): 

1. Es sei v = const. 

Dann folgt a = dv/dt = 0 

Mit v = ds/dt = const. folgt die Proportionalität von s und t, die Proportionalitätskonstante ist die Geschwin- 

digkeit v. Mathematisch gibt das Differential ds/dt die Steigung der Tangenten in einem bestimmten Punkt 

an. 

s = v ⋅ t + s0 

, wobei s0 konstant ist. 

Die Berechnung des Weges aus der Geschwindigkeit kann auch ausgedrückt werden durch das Zeitintegral 

über der Geschwindigkeit. Die Integration ist die Umkehrfunktion der Differentiation:




aus v ds 

ds 

= folgt durch Integration v dt 

dt 

∫ = ∫ dt = s 

dt 

wobei mit v = const. gilt: s = ∫ vdt = v ⋅ ∫ dt = v ⋅ t + s0 

(s0 ist die Integrationskonstante) 

2. Es sei a = const. 

Dann folgt aus a dv 

= = const. 

unmittelbar v = a⋅ t (1) entsprechend den Ausführungen unter Sonderfall 

dt 

1 durch Integration der Differentialgleichung 

Der Zusammenhang zwischen Weg und Beschleunigung lässt sich folgendermaßen ermitteln: 

1. Das Integral einer Funktion f(t) in den Grenzen [a,b] liefert die Fläche zwischen der Abszisse und der 

Funktion innerhalb der Grenzen (Riemannsches Integral). 

2. Der Zusammenhang zwischen Weg und Geschwindigkeit wird durch Integration der Differentialgleichung 

v ds 

= erhalten, wobei v hier keine Konstante ist! 

dt 

3. Aus dem Diagramm (links) folgt aus dem linearen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Zeit, 

dass sich die Fläche (Dreieck) unterhalb der Kurve berechnen lässt aus 

F = t v 

1 

⋅( ⋅ ) , (2) 

2 

wobei hier die Fläche dem zurückgelegten Weg s entspricht. 

4. Die Gleichungen (1) und (2) dieses Beispiels ergeben zusammen: s = 1 

2 

Verallgemeinerung: 

Mit a dv 

2 

d s 

= = 2 folgt durch einfache Integration 

dt dt 

∫ 0 , v 0 

v ds 

= = adt + v 

dt 

2 

⋅ a ⋅ t 

ds 

= const. Falls a = const: v = = a ⋅ t + v 0 

dt

∫ ∫ 

und s = v dt = dt adt + s 

2.2.4 Der freie Fall 




∫ 0 , s 0 

1 2 

= const. Falls a = const: s = a ⋅ t + v ⋅ t + s 

2 

0 0 

Als Beispiel einer geradlinigen beschleunigten Bewegung dient der freie Fall. Aus Erfahrungswerten ist be- 

kannt, dass ein Körper, der aus einer Höhe h losgelassen wird, in seiner Geschwindigkeit zunimmt. Das 

bedeutet, dass der Körper während des Fallens beschleunigt wird. In diesem Fall sei die Luftreibung ver- 

nachlässigt. Die Beschleunigung errechnet sich zu 

g = 9,81 m/s 2 Erdbeschleunigung 

Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt dann entsprechend 

1 2 

h= gt ⇒ t = 

2 

v = g⋅ t = 2 ⋅ g⋅ h 

2h 

g 

wobei h die Strecke ist, die der Körper senkrecht nach unten fällt. 

2.2.5 Zusammensetzung und Zerlegung von Bewegungen 

Bisher wurden Bewegungen betrachtet, bei denen sich ein Körper nur in einer Richtung fortbewegt. In einer 

Verallgemeinerung muss jedoch stets die Richtung der Bewegung mit betrachtet werden. Mathematisch 

bedeutet dies, dass die Größen zur Beschreibung von Bewegungen Vektoren sind, d.h. es gilt: 

⎛s 

⎞ x 

⎜ ⎟ 

s = ⎜s 

y ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝s 

⎠ 

z 

⎛v 

⎞ x 

⎜ ⎟ 

v = ⎜v 

y ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝v 

⎠ 

z 

⎛a 

⎞ x 

⎜ ⎟ 

a = ⎜a 

y ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝a 

⎠ 

z 

Wegvektor imkartesischenKoordinatensystem 

GeschwindigkeitsvektorimkartesischenKoordinatensystem 

Beschleunigungsvektor imkartesischenKoordinatensystem 

Eine Bewegung im dreidimensionalen Raum kann beschrieben werden durch die Überlagerung der Bewe- 

gungen in den drei Raumrichtungen. Für die mathematische Beschreibung gelten die Gesetze der Vektor- 

analysis. 

• Es können nur gleiche physikalische Größen vektoriell überlagert werden (z.B. Wege s 3 = s1 + s 2 

oder Geschwindigkeiten v 3 = v1 + v 2 ). 

• Die Reihenfolge der Überlagerung von Vektoren ist beliebig: 

v = v + v + v = v + v + v 

ges 

1 2 3 3 1 2




• Die Zerlegung von Vektoren ist beliebig, z.B. in rechtwinklige Anteile entsprechend den kartesischen 

Koordinaten 

• Multiplikation mit einem Skalar: 

b = c ⋅a mitc ∈ℜ istgleichbedeutendmit: b = c ⋅ a , b = c ⋅ a , b = c ⋅a 

x x y y z z 

⎛s 

⎞ x v x t 

⎜ ⎟ 

Beispiel: geradlinig gleichförmige Bewegung: s = v⋅ t ↔ ⎜s 

y ⎟ vy t 

⎜ ⎟ 

⎝s 

⎠ v t 

= 

⎛ ⋅ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⋅ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⋅ ⎠ 

• Differential und Integral-Operationen werden komponentenweise durchgeführt, z.B. 

v ds 

ds 

d s 

x 

x 

⎛ v ⎞ dt 

a 

dt 

x 

x 

⎜ ⎟ ds y 

d s 

d s y 

= ↔ ⎜ v y⎟ 

oder a ay 

dt ⎜ ⎟ dt 

dt 

dt 

⎝ v z⎠ 

ds 

a 

z 

z d s z 

dt 

dt 

= 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

= ↔ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

= 

2 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 2 

⎜ ⎟ 

2 

2 

⎜ ⎟ 

2 

⎜ 2 ⎟ 

⎜ 2 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2.2.6 Die Bewegung auf der schiefen Ebene 

Die Resultate aus den Messwerten des freien Falls haben gezeigt, dass auf einen Körper auf der Erde eine 

konstante Beschleunigung wirkt, die ihn senkrecht nach unten fallen lässt. 

Welche Beschleunigung erfährt nun z.B. ein Wagen, der auf einer schiefen Ebene herunter rollt? 

Bekannt ist: 

• Die Beschleunigung senkrecht nach unten ist konstant. 

• Der Wagen kann sich nur in Richtung der schiefen Ebene bewegen. 

z 

z




Der Beschleunigungsvektor g kann zerlegt werden 

in einen Teil, der parallel zur schiefen Ebene ver- 

läuft und einen Teil, der senkrecht zur schiefen 

Eben verläuft. 

g = g⋅ sin α , g = g⋅ 

cosα 

p s 

Die Beiträge g p und g s sind über den gesamten 

Weg s hin konstant, d.h. der Wagen erfährt eine geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Die in der 

möglichen Bewegungsrichtung wirksame Beschleunigung ist (g sinα). 

Wenn sich der Wagen zu Anfang der Messung in Ruhe befindet, so gilt für die Zeit, die der Wagen zum 

Durchlaufen der Strecke s benötigt 

1 

2 

s = ( g⋅ sin α ) t bzw. t = 

2 

2s 

g⋅ 

sinα 

und für die Geschwindigkeit, die der Wagen nach Durchlaufen der Strecke s besitzt 

v = ( g⋅ sin α ) t bzw. v = 2 s ⋅ g⋅ 

sinα 

Wegen h = s ⋅ sinα ist dann auch v = 2 ⋅ g⋅ h , d.h. die Geschwindigkeit des Wagens ist dieselbe, die er 

erreichen würde, wenn er die Höhe h frei durchfällt. 

2.2.7 Wurfbewegung 

Eine Kugel werde zum Zeitpunkt t 0 mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 mit dem Winkel α gegen die Hori- 

zontale in x-Richtung losgeworfen. Zu bestimmen sind nun die Flugkurve und die Bewegungsgleichungen 

aus dem Prinzip der ungestörten Überlagerung. Die Schwerkraft (siehe freier Fall) wirke in z-Richtung nach 

unten. 

1. Zum Zeitpunkt t 0 besitzt die Kugel nur die Ge- 

schwindigkeit v 0 , d.h. die Flugbahn hat in t 0 einen 

Winkel α gegenüber der Horizontalen. 

2. Die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel lässt sich 

zerlegen in zwei Komponenten in x-Richtung und z- 

Richtung: 

v = v ⋅ cos α 

0, x 0 

v = v ⋅ sinα 

0, y 0 

3. In z-Richtung wird die Kugel wegen der Schwerkraft 

gleichmäßig nach unten beschleunigt. Zum Zeitpunkt t 0 ist die Größe der Geschwindigkeitskomponente 

Null, zum Zeitpunkt

t : v = −g⋅ t 

1 z, 

1 1 

t : v = −g⋅ t 

2 z, 

2 2 

t : v = −g⋅ t 

3 z, 

3 3 




Die Geschwindigkeiten in x-Richtung und z-Richtung überlagern sich, d.h. es gilt für jeden Zeitpunkt t i der 

Bahnkurve: 

v = v ; v = v − g⋅ t 

v 

x 0, x z 0, 

z i 

i 

⎛ v ⎞ 

0, 

x ⎜ ⎟ 

= ⎜ 0 ⎟ 

⎜ 

⎝ v − g⋅ t 

⎟ 

⎠ 

0, 

z i 

Die Bewegung setzt sich demnach zusammen aus einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung in x- 

Richtung und einer gleichförmig beschleunigten Bewegung in z-Richtung. Wegen der Anfangsgeschwindig- 

keitskomponenten v 0,z wird die Kugel sich zunächst nach oben bewegen, solange die durch die Beschleu- 

nigung hervorgerufene Geschwindigkeit nach unten noch kleiner ist. im Scheitelpunkt sind beide Geschwin- 

digkeiten gleich groß und die resultierende z-Komponente der Geschwindigkeit ist Null. 

Berechnung der Flugbahn: 

v = v ⇒ s = v ⋅ t 

x 0, x x 0, 

x 

1 

v z = v 0, z − g⋅ ti ⇒ s z = v0, z ⋅ t − g⋅ t 

2 

2 

Aus der ersten Gleichung lässt sich nach t auflösen und der entsprechende Ausdruck in der zweiten Glei- 

chung einsetzen: 

s v 

x 

0, 

z g 

t = ⇒ s z = ⋅ s x − 

v v 2 ⋅ v 

0, 

x 

2 

0, x 

0, 

x 

s 

2 

x 

Da alle Terme bis auf s x konstant sind, entspricht die obige Gleichung einer Parabelgleichung und kann 

durch entsprechende Umformungen in die Normalenform überführt werden, aus der sofort die Lage des 

Scheitelpunktes und der x-Achsen-Durchstoßpunkte errechnet werden können. 

2.3 Rotationsbewegungen 

2.3.1 Gleichförmige Drehbewegung 

Im Gegensatz zu einer geradlinigen Bewegung, bei der eine Beschleunigung auftritt, wenn sich der Betrag 

der Geschwindigkeit mit der Zeit ändert, muss bei einer dreidimensionalen Bewegung neben dem Betrag 

auch die Richtung der Geschwindigkeit beachtet werden. 

Fazit: wenn der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, die Richtung auf der zurückgelegten Bahn sich 

ändert, so ist die Beschleunigung ungleich Null. 

Definition:




Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Momentanwertes der Bahngeschwindigkeit 

2 2 

konstant: v = v + v = const. 

Die Bahngeschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegter Kreisbahn 

x y 

und der dazu benötigten Zeit. 

Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich jedoch laufend. Aus der allgemeinen Definition der Beschleu- 

nigung folgt dann: 

a dv d ⎛ v x⎞ 

= = ⎜ ⎟ . Da sich v 

dt dt ⎝ v 

x und vy mit der Zeit ständig ändern, gilt a ≠ 0 ! 

⎠ 

y 

Berechnung der Radialbeschleunigung: 

Die gesamte Geschwindigkeitsänderung kann unterteilt werden in eine Änderung der Bahngeschwindigkeit 

und eine Komponente, die nicht in der Bahnrichtung liegt: 

Da die Bahngeschwindigkeit des Körpers konstant ist (gleichförmige Drehbewegung) ist entsprechend die 

Bahnbeschleunigung Null. Unter der Bahnbeschleunigung wird die Beschleunigung in Richtung der Ge- 

schwindigkeit bezeichnet. 

Wie aus der Abbildung ersichtlich wird ist der Betrag der 

Geschwindigkeit konstant, es ändert sich jedoch die Rich- 

tung. Dies bewirkt, dass eine Geschwindigkeitskomponente 

zwischen den beiden Geschwindigkeitsvektoren entsteht. Deren zeitliche Änderung entspricht gerade der 

Beschleunigung, die ein Körper erfahren muss, damit er sich mit gleichmäßiger Bahngeschwindigkeit auf 

der Kreisbahn bewegt. Diese Beschleunigung wird Radialbeschleunigung genannt, da sie immer in Richtung 

des Kreismittelpunktes wirkt. 

Berechnung der Radialbeschleunigung: 

Annahme: Der Körper bewege sich in einem genügend kleinen Zeitintervall dt auf der Kreisbahn um die 

Strecke ds und schließe dabei den Winkel dϕ ein. Aus geometrischen Überlegungen (Strahlensatz der Ma- 

thematik) ergibt sich dann 

ds 

r 

dv 

dv v 

v 

ds 

≈ ⇒ = ⋅ 

r 

Die Differentiation nach der Zeit zur Berechnung der Beschleunigung ergibt: 

dv 

dt 

v ds 

≈ = 

r dt 

2 

v 

r 

Andererseits benötigt der Körper wegen seiner konstanten Bahngeschwindigkeit stets dieselbe Umlaufzeit T. 

Der Umfang des Kreises berechnet sich durch U=2πr. Das bedeutet 

2πr 

v = = ω ⋅ r [ 1rad / s = 1/ 

s] 

, 

T




wobei ω als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet wird. Auch hier gilt die allgemeine Definition der Winkelge- 

schwindigkeit durch: 

dϕ 

ω = [ 1rad / s = 1/ 

s] 

(momentane Winkelgeschwindigkeit) 

dt 

Damit ergibt sich für die Radialbeschleunigung: a 

r 

2 

v 

2 

= = ω ⋅ v = ω ⋅r 

r 

Die Richtung der Radialbeschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt. 

Vektorielle Herleitung 

Es wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem in den Ursprung des Kreises gelegt. Zum Zeitpunkt Null liege 

der Richtungsvektor zum Massenpunkt auf de x-Achse. Der Massenpunkt rotiert gleichförmig um den Mit- 

telpunkt, d.h. seine Winkelgeschwindigkeit ist konstant. 

senpunktes 

dr ⎛ sinω 

⋅ t ⎞ 

v = = r ⋅ ω⎜ 

⎟ 

dt ⎝− 

cos ω ⋅ t⎠ 

und für die Beschleunigung 

Wegen der konstanten Drehbewegung wird der Winkel gleichmäßig größer 

wobei 

α = ω ⋅ t gilt 

Der Vektor r kann beschrieben werden durch: 

( ω ) 

( ) 

( ω ⋅ t) 

( ) 

⎛r 

⋅cosα⎞ 

⎛r 

⋅cos ⋅ t ⎞ ⎛cos 

⎞ 

r = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = r⎜ 

⎟ 

⎝ r ⋅sinα 

⎠ ⎝ r ⋅sin ω ⋅ t ⎠ ⎝ sin ω ⋅ t ⎠ 

Wenn r = const und ω = const dann gilt für die Geschwindigkeit des Mas- 

und v = v = r ⋅ ω = const 

dv ⎛− 

cos ω ⋅ t⎞ 

2 

v 

a = = r ⋅ ω ⎜ ⎟ und a = ar = r ⋅ ω = = const 

dt ⎝ − sinω 

⋅ t ⎠ 

r 

2 

2 

Werden die Richtungen der Vektoren v und a betrachtet, so zeigt sich, dass a entgegengesetzt zu r gerich- 

tet ist und dass v senkrecht auf r und a steht, wie durch Bildung des Skalarproduktes leicht zu zeigen ist 

(r ⋅ v = 0 ). 

y 

α 

r 

v 

2.3.2 Ungleichförmige Drehbewegung 

x 

Wenn ein Körper aus dem Stillstand auf eine bestimmte Enddrehzahl gebracht wird, so bedeutet dies, dass 

sich seine Drehzahl bzw. seine Winkelgeschwindigkeit ändert. Analog zur geradlinigen Bewegung handelt 

es sich hierbei um eine ungleichförmige Drehbewegung. Mit der Änderung der Winkelgeschwindigkeit än- 

dern sich damit auch die Bahngeschwindigkeit und die Radialbeschleunigung:




2 

v = ω ⋅r ≠ const. 

a = ω ⋅r ≠ const. 

r 

Analog zur geradlinigen Bewegung können dann die folgenden Größen definiert werden: 

Definitionen: 

mittlere Bahnbeschleunigung: a 

momentane Bahnbeschleunigung: a 

t 

Δv 

= 

Δ t 

mittlere Winkelbeschleunigung: α = Δω 

Δt 

dv 

= = v& ,wobeistets a ⊥a 

dt 

t t r 

dω 

ω 

dt 

2 2 

momentane Winkelbeschleunigung: α = = & = [ 1rad / s = 1/ 

s ] 

Der Zusammenhang zwischen Tangential- bzw. Bahnbeschleunigung ergibt sich aus: 

a 

t 

v& 

r 

dv d 

( r) r 

dt dt 

d 

= = ⋅ = ⋅ = ⋅r 

dt 

ω 

ω 

α 

2.3.3 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung. 

Die gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung ist ein Sonderfall der ungleichförmigen Kreisbewegung. Für 

sie gilt: 

a = const. = const. 

α 

t 

Analog zu den Betrachtungen für gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegungen gilt: 

v = v + a ⋅ t ω = ω + α ⋅ t 

0 t 

0 

1 2 

1 

s = v0 ⋅ t + at ⋅ t ϕ = ω 0 ⋅ t + α ⋅ t 

2 

2 

wobei s der auf der Kreisbahn zurückgelegte Weg und ϕ der überstrichene Winkel sind. 

2.4 Vergleich zwischen geradliniger Bewegung und Kreisbewegung 

2 

, 

Geradlinige Bewegung Kreisbewegung

s 

v ds 

s 

dt 

a dv 

= = & 

= = v& = && s 

dt 

v = const. 

s = v ⋅ t 

a= const. 

v = v + a ⋅ t 

0 

1 

s = s0 + v0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t 

2 




2 

ϕ 

dϕ 

ω = = ϕ& 

dt 

dω 

α = = ω& = ϕ&& 

dt 

Bei gleichförmiger Bewegung 

ω = const. 

ϕ = ω ⋅ t 

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung 

α = const. 

ω = ω + α ⋅ t 

0 

1 

ϕ = ϕ0 + ω0 ⋅ t + ⋅ α ⋅ t 

2 

2.5 Dynamik der geradlinigen Bewegung: Newtonsche Axiome 

Die Dynamik ist die Lehre von Kräften. Kräfte sind in der Mechanik die Ursachen von Bewegungen, sie 

bilden jedoch auch die Grundlage für das Verständnis bei elektrischen, magnetischen und atomaren Vor- 

gängen. 

Für die Mechanik wurden von Isaac Newton Lehrsätze über Bewegungen von Körpern aufgestellt. Diese 

Lehrsätze (Axiome) sind nicht beweisbar, sie bilden jedoch die Grundlage des Verständnisses mechanischer 

Bewegungen. 

2.5.1 Newtonsche Axiome 

Erstes Newtonsches Axiom: 

Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder geradlinig gleichförmigen Bewegung, solange er nicht durch 

äußere Kräfte beeinflusst wird. 

Auf diese Weise wird der Kraftbegriff eingeführt: Ursachen für Änderungen des Bewegungszustandes eines 

Körpers werden Kräfte genannt. 

Träge Masse: 

• Jeder Körper widersetzt sich einer Änderung des Bewegungszustandes. Diese Eigenschaft wird Behar- 

rungsvermögen, Trägheit oder träge Masse genannt. 

• Je träger eine Masse ist, desto größer ist die Kraft, um diesen Körper auf einen konstanten Wert zu be- 

schleunigen. 

2

Zweites Newtonsches Axiom: 




2 

[ 1 1 / ] 

F = m ⋅ a N= kg⋅ m s Newton 

• Greift eine Kraft an einem Körper an, so wird dieser beschleunigt. 

• Die Größe der Kraft ist proportional zur Beschleunigung. 

• Die Richtung der Kraft wirkt in Richtung der Beschleunigung. 

• Kräfte sind Vektoren: Greifen an einem Körper gleichzeitig mehrere Kräfte an, so ergibt sich die resultie- 

rende Kraft aus der Überlagerung der Einzelkräfte. 

Drittes Newtonsches Axiom: 

actio = reactio oder Kraft gleich Gegenkraft 

Jede Kraft besitzt eine gleich große entgegengesetzt gerichtete Gegenkraft oder Reaktionskraft. 

Das bedeutet: 

Die Gesamtsumme aller Kräfte in einem freien System ist gleich Null. D.h. wirken auf ein System keine 

äußeren Kräfte ein, so heben sich alle Kräfte innerhalb des Systems paarweise auf. 

2.5.2 Lineares Kraftgesetz 

2.5.3 Reibungskräfte 

Wenn eine Kraft an einem Körper angreift und der Körper innerhalb des 

Bezugssystems eine gleich große Gegenkraft ausübt, so ist die Summe der 

Kräfte Null und der Körper wird nicht beschleunigt. Die Krafteinwirkung auf 

diesen Körper kann jedoch zu einer Verformung des Körpers führen. Diese 

Verformung wird elastisch genannt, wenn der Körper stets dieselbe Form 

wieder annimmt, wenn die Krafteinwirkung aufhört. 

Die Feder als Kraftmesser. 

Die Auslenkung der Feder ist proportional zur Kraft die auf sie in Längsrich- 

tung wirkt. 

F ∝s 

F = D ⋅ s 

2 

[ ] 

D: Federkonstante N / m=kg / s 

s: Auslenkung der Feder




Bei jeder Bewegung eines Körpers in der Luft oder auf einer Fläche treten stets Reibungskräfte auf, die die 

Bewegung eines Körpers hemmen. Die Reibungskräfte sind stets der angreifenden Kraft entgegengesetzt, 

d.h. die angreifende Kraft wird durch die Reibungskraft stets gemindert. 

Reibungskräfte werden unterteilt in 

• Haftreibung 

• Gleitreibung 

• Rollreibung 

Eigenschaften von Haftreibung 

• Ab einer maximalen Kraft FH setzt sich ein Körper ruckartig in Bewegung. 

• Die Kraft ist unabhängig von der Größe der aufliegenden Fläche. 

• Die Kraft ist proportional zur Normalenkraft (Kraft senkrecht zur Auflagefläche). 

Haftreibung: F = μ ⋅F 

, der Haftreibungskoeffizient μH ist von der Beschaffenheit der Oberflächen ab- 

hängig 

H H N 

Eigenschaften von Gleitreibung 

• Die Gleitreibungskraft ist unabhängig von der Auflagefläche und der Geschwindigkeit. 

• Die Gleitreibungskraft ist proportional zur Normalenkraft 

Gleitreibung: F = μ ⋅F 

, der Haftreibungskoeffizient μ G ist von der Beschaffenheit der Oberflächen 

G G N 

abhängig und es gilt meist μ G < μH 

. 

Eigenschaften von Rollreibung 

Rollreibung tritt auf, wenn ein starres Rad auf einer deformierbaren Unterlage abrollt oder ein deformierba- 

res Rad auf starrer Unterlage abrollt bzw. wenn Rad und Unterlage deformierbar sind. 

Auch hier gilt die Proportionalität zur Normalenkraft: 

f 

Rollreibung: F F 

r F 

R = μ R ⋅ N = ⋅ N , der Haftreibungskoeffizient μ R ist von der Beschaffenheit der Oberflä- 

chen abhängig, f wird Rollreibungslänge genannt. Der Koeffizient f/r trägt der Tatsache Rechnung, dass 

Räder mit größerem Radius eine geringere Deformation hervorrufen, wodurch die Rollreibungskraft sinkt.

Beispiele: 

2.6 Gravitation 




Stoffpaar μ H μ G 

Stahl auf Stahl 0,15 0,1 - 0,05 

Stahl auf Messing 0,18 - 0,29 

Stahl auf Eis 0,027 0,014 

Leder auf Metall 0,6 0,4 

Messing auf Holz 0,62 0,6 

Bremsbelag auf Stahl 0,45 

Blockierter Autoreifen bei 50 km/h 

auf 

• Gussasphalt trocken 

• Gussasphalt nass 

• Glatteis 

0,8 

0,5 

0,05 

Eine der wichtigsten Kräfte, der wir uns täglich ausgesetzt sind, ist die Gravitationskraft oder Schwerkraft. 

Sie beruht auf einer Eigenschaft von Materie, der sogenannten Gravitation. Diese Eigenschaft bewirkt, dass 

sich zwei Körper mit jeweils einer eigenen schweren Masse gegenseitig anziehen. Die schwere Masse ist 

nicht grundsätzlich der trägen Masse gleichzusetzen. 

Eigenschaften: 

• Zwei Körper mit jeweils einer schweren Masse ziehen sich stets gegenseitig an bzw. üben eine Kraft 

aufeinander aus. 

• Für die schweren Massen gelten die Newtonschen Axiome. 

• Die Erfahrung zeigt, dass die schwere Masse der trägen Masse proportional ist. Der Proportionalitätsfak- 

tor ist Eins! Dies zeigen Fallversuche: Verschiedene schwere Massen erfahren im Gravitationsfeld der 

Erde die gleiche Beschleunigung ihrer trägen Massen. 

Gravitationsgesetz: 

Zwei Massen m 1 und m 2 im Abstand r 12 üben eine Anzie- 

hungskraft 

F 

12 

3 

m1 ⋅m 

2 

−11 

m 

= γ ⋅ 2 , γ = 6, 67 ⋅10 

2 aufeinan- 

r 

kg ⋅ s 

der aus. 

Mit Hilfe des Gravitationsgesetztes können die Planetenbewegungen in unserem Universum berechnet wer- 

den. Durch die Rotationsbewegungen der Planeten um die Sonne würden die Planten bei fehlender Anzie- 

hung zur Sonne hin ihre Umlaufbahn verlassen. Durch die Gravitationswirkung der Sonne werden sie je- 

doch auf elliptische Umlaufbahnen gezogen. 

Dieses Gravitationsgesetz gilt natürlich auch für die Erde. Sei M die Masse der Erde und R ihr Radius, dann 

lässt sich die Kraft auf einen Körper der Masse m, der sich auf der Erdoberfläche befindet, näherungsweise 

nach obiger Formel berechnen: 

12

F 

G 

M 

= ⋅ ⋅ m = g⋅ m 

R γ 2 




G wird die Gewichtskraft oder das Gewicht des Körpers der Masse m bezeichnet. Entsprechend dem zwei- 

ten Newtonschen Axiom ist g eine Beschleunigung, die sogenannte Erdbeschleunigung. Die Richtung der 

Erdbeschleunigung ist zum Erdmittelpunkt gerichtet, wenn die Erde als ideale Kugel angenommen wird. 


• Je weiter der Körper sich von der Erdoberfläche entfernt, desto geringer wird sein Gewicht. 

• Aufgrund von Unsymmetrien der Erdkugel (Elipsoid, Bergmassive etc.) ist die Erdbeschleunigung an 

verschieden Punkten der Erdoberfläche unterschiedlich. 

2.7 Arbeit, Leistung, Energie 

2.7.1 Arbeit 

Der Begriff der Arbeit besitzt im umgangssprachlichen Gebrauch eine vielfältige Bedeutung. Es ist daher 

notwendig, den physikalischen Begriff der Arbeit eindeutig zu definieren: 

Arbeit ist die Wirkung einer Kraft entlang eines Weges 

Arbeit W = F ⋅s [ N⋅ m = J] 

• Wichtig an dieser Definition ist, dass durch das Skalarprodukt nur der Anteil der Kraft berücksichtigt 

wird, der in Richtung des Weges s wirkt! 

• Die Arbeit ist kein Vektor sondern eine skalare Größe. 

Wenn sich der Weg nicht geradlinig ändert, so errechnet sich die Arbeit aus der Summe aller Produkte aus 

geraden Wegstücken und den zugehörigen Kraftanteilen. Ändert sich der Weg kontinuierlich, so kann die 

Arbeit als Wegintegral der Kraft dargestellt werden: 

lim ∑ ∫ 

W = F ⋅ Δs 

= Fds 

Δs 

→0 

i 

s 

i i 

i s 

2 

1 

• Die geleistete Arbeit, die aufgebracht werden muss, um einen Körper von Punkt 1 nach Punkt 2 zu be- 

wegen, ist unabhängig vom Weg, der dabei zurückgelegt wird. 

• Wird mit beliebigem Kraftaufwand ein Körper an seinen ursprünglichen Ort zurück bewegt, so ist die 

geleistete Arbeit Null! 

Hubarbeit: 

Wird ein Körper angehoben, so wirkt seine Gewichtskraft auf ihn. Die geleistete Arbeit beim Heben des 

Körpers auf eine Höhe h ist demnach (g=const.): 

WH = FG ⋅ h = m ⋅ g⋅ h




Hubarbeit im Schwerefeld der Erde 

Die oben gemachte Annahme, dass die Erdbeschleunigung konstant ist, gilt nur als Näherung. Korrekter ist 

der Ansatz über die Gravitationskraft. 

F 

G 

m ⋅m 

= γ ⋅ 2 

r 

1 2 

Wird ein Körper auf der Erde gegen die Schwerkraft angehoben, so ändert sich der relative Abstand. Die 

Hubarbeit berechnet sich dann aus: 

W = F dr = 

H 

r 

r 

2 

r 

∫ ∫ 

1 

Dehnungsarbeit: 

r 

2 

1 

m1 ⋅m 

2 

⎛ 1 1 ⎞ 

γ 2 dr = γ ⋅m1 ⋅m 2 ⎜ − ⎟ 

r 

⎝r 

r ⎠ 

1 2 

Ein Beispiel eines linearen Kraftgesetzes ist die elastische Verformung einer Feder. Welche Arbeit wird 

geleistet, um die Feder in eine Richtung um einen Betrag s auszulenken? 

Es galt: Für die Auslenkung einer Feder muss eine Kraft F = D s aufgewendet werden. Die Arbeit berechnet 

sich demnach auf einem kleinen Wegstück ds, auf dem die Kraft als konstant angenommen wird, zu dW E = 

F ds. Das Problem besteht darin, dass die Kraft bei weiterer Ausdehnung der Feder nicht konstant bleibt! Es 

muss also über alle Arbeitsanteile der kleinen Wegstücke ds aufsummiert werden. Mathematisch bedeutet 

dies 

∑ ∑ 

W = dW = D ⋅ s ⋅ ds 

E i 

i 

oder mit ds → 0 

s 

1 

1 

WE = ∫D 

⋅ sds = ⋅D ⋅s 

2 

0 

Beschleunigungsarbeit: 

i 

i 

i 

2 

i 

Wenn ein Körper aus der Ruhe heraus gleichmäßig geradlinig beschleunigt wird, so wirkt auf ihn eine Kraft 

m⋅ a in Richtung des Weges s. Für die Beschleunigungsarbeit gilt dann 

m ⋅ v 

WB = m ⋅ a ⋅ s ⎯⎯ ⎯ → WB = 

a= 

1 

2 

2 

Reibungsarbeit: 

2 

v 

s 

2 

Wird ein Körper gegen eine Reibungsarbeit gleichförmig bewegt, so ist dazu eine Zugkraft notwendig, die 

gleich groß aber entgegengesetzt wirkend wir die Reibkraft ist. Dann ist 

W = F ⋅ s = μ 

⋅F ⋅ s 

R R N

Wirkungsgrad: 




Unter dem Wirkungsgrad wird das Verhältnis aus Nutzarbeit und Gesamtarbeit verstanden 

Nutzarbeit 

Wirkungsgrad = 

Gesamtarbeit 

WN 

ηW 

= 

W 

Ges 

2.7.2 Leistung 

Unter Leistung wird der Quotient aus Arbeit und Zeit verstanden, d.h. die Leistung gibt an, in welcher Zeit 

die Arbeit verrichtet wird. 

mittlere Leistung: P W 

W 

t 

J 

Δ ⎡ ⎤ 

= ⎢1 

= 1 

Δ ⎣ s⎥ 

⎦ 

Momentanleistung: P dW 

dt W = = & 

2.7.3 Energie, Energieerhaltung 

Die Arbeit, die in einen Körper gesteckt wird, ist nicht verloren. Ein Körper an dem Hubarbeit verrichtet wur- 

de, würde beim Loslassen wieder herunterfallen und wäre imstande, die Hubarbeit als Beschleunigungsar- 

beit zu leisten. Die geleistete Beschleunigungsarbeit könnte wiederum in Hubarbeit umgewandelt werden, 

indem der herunterfallende Körper einen gleichen Körper über ein Katapult in dieselbe Höhe schleudern 

könnte. 

Die Fähigkeit einer Masse, Arbeit zu leisten, wird in der Physik als Energie bezeichnet. 

Es wird in der Mechanik unterschieden nach 

• potentieller Energie E pot 

• und kinetischer Energie Ekin, Erot 

Unter potentieller Energie wird die Energieform verstanden, die der Körper aufgrund seiner Masse und sei- 

ner Lage hat (z.B. er befindet sich 3 m über dem Erdboden), unter kinetischer Energie wird der Anteil an 

leistbarer Arbeit verstanden, die der Körper aus seiner Bewegung herausziehen kann. 

Wird eine Feder gespannt, so wird an ihr eine Dehnungsarbeit geleistet. Wird diese Feder losgelassen, so 

entspannt sie sich, wobei sie in der Lage ist, eine an ihr hängende Masse zu beschleunigen. Auch hier wird 

die gesamte potentielle Energie in Form der Spannung der Feder in kinetische Energie umgewandelt. 

Achtung: Bei Angabe eines Energiewertes muss das Bezugsniveau bekannt sein! 

Gravitationspotential: 

Die potentielle Energie im Schwerefeld einer Masse m 1 (z.B. der Erde) ist entsprechend des Gravitations- 

gesetzes gegeben durch

⎛ 1 1 ⎞ 

Epot = γ ⋅m 1 ⋅m 2 ⎜ − ⎟ 

⎝ r r ⎠ 




1 2 

und damit abhängig von beiden Massen und deren Abstand. Wird der Bezugspunkt ins Unendliche gelegt, 

so lässt sich diese Energie schreiben als 

1 

Epot = −γ ⋅m1 ⋅m 2 für r1 

→ ∞ 

r 

2 

Dies ist die Arbeit, die notwendig ist, um einen Körper von der Masse m 1 im Abstand r 2 unendlich weit weg 

zu bewegen. 

in diesem Fall: 

Die Linien, auf denen die potentielle Energie konstant ist, 

werden Äquipotentiallinien genannt. Bei einer Kugel sind 

die Kugelschalen um den Mittelpunkt der Kugel herum, die 

gleichen Abstand zur Oberfläche der Kugel haben. 

Die Wirkung, die eine Masse erfährt, wenn sie aus dem Un- 

endlichen in Richtung einer anderen Masse gebracht wird, 

kann beschrieben werden durch das Gravitationspotential 

E = Φ ⋅m 

pot Grav 

⎛ 1 1⎞ 1 

Φ Grav = γ ⋅M⎜ − ⎟ bzw. ΦGrav 

= −γ ⋅M für r1 

→ ∞ 

⎝ r r ⎠ 

r 

1 2 

Energieerhaltungssatz: 

Die sich bewegende Masse m erfährt das Potential, welches 

von der ruhenden Masse ausgeht. Der Potentialbegriff spielt 

in der Physik eine große Rolle. Das Gravitationspotential ist 

Beim freien Fall wurde die gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, d.h. die Energie 

ging nicht verloren. Es lässt sich sogar zeigen, dass an jedem Punkt der Fallkurve die Summe aus poten- 

tieller Energie und kinetischer Energie konstant ist. Hieraus folgt ein fundamentaler Satz in der Physik: 

Energieerhaltungssatz: 

In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aus potentieller und kinetischer Energie konstant. 

Ekin + Epot = Eges = const. 

Neben den mechanischen Energieformen gibt es noch andere Energieformen.

• elektrische Energie 

• magnetische Energie 

• Kernenergie 

• chemische Energie 

• Wärmeenergie 




Auch hier bleibt der Energiesatz bestehen. Die gesamte Energie bleibt konstant, es können nur Umwand- 

lungen von einer Energieform in die andere auftreten. In der Technik bestehen viele Anwendungen darin, 

Energiespeicher zur Verrichtung von Arbeit bereitzustellen. 

2.7.4 Impuls, Impulserhaltung 

Definition des Impulses, Kraftstoß: 

Um einen Körper zu beschleunigen, muss eine Kraft auf ihn ausgeübt werden. Wenn die Krafteinwirkung 

aufhört bewegt sich der Körper geradlinig gleichförmig weiter. Der Zeitraum der Krafteinwirkung kann dabei 

sehr kurz sein. Ein solcher Vorgang wird als Kraftstoß bezeichnet. 

F ⋅ τ = m ⋅ a ⋅ τ 

τ : Zeitdauer desKraftstosses 

Die obige Formel gilt nur dann, wenn die Kraft innerhalb der Zeitdauer � konstant ist. Dann ist die Be- 

schleunigung a die Geschwindigkeitsänderung im Zeitintervall �, d.h. es gilt: 

a ⋅ τ = v − v 

undsomit 

2 1 

F ⋅ τ = m ⋅( v − v ) 

2 1 

Die Bewegungsgröße m⋅ v wird Impuls genannt 

Im allgemeinen ist die Krafteinwirkung zeitlich nicht konstant. Das Produkt F 

� muss dann ersetzt werden durch das Integral über den zeitlichen Verlauf 

der Kraft: 

Verallgemeinerter Kraftstoß: 

t 

t 

2 

1 

t 

( ( ) ( ) ) 

F dt = m ⋅ adt = m ⋅ v t − v t = p − p 

t 

2 

∫ ∫ 

1 

2 1 2 1 

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t 1 Null ist, 

dann gilt: 

t 

2 

∫ 

t1 

p = F dt = m ⋅ v




Der Impuls ist derjenige Kraftstoß, der eine Masse m aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit v bringt. 

Aus der obigen Integralgleichung folgt durch Differenzieren nach der Zeit: 

d 

dt p 

t 

d 

dt Fdt 

2 

d 

= = ⋅ 

dt 

∫ 

t1 

( m v) 

Die Differentiation des Produktes wird nach der Produktregel durchgeführt. Daraus ergibt sich dann: 

d 

F 

( ) 

dt p 

d d d 

m v m v v 

dt dt dt m 

= = ⋅ = + 

Der zweite Term in obiger Gleichung verschwindet nur dann, wenn die Masse zeitlich konstant bleibt. Ein 

Beispiel dafür, wo die Masse nicht konstant bleibt ist die Rakete! 

Impulserhaltungssatz 

Zu untersuchen ist nun, wie sich die Impulse bei einer Wechselwirkung zweier Körper verhalten. 

Beispiel: 

Zwei Massenpunkte der Massen m 1 und m 2 bewegen sich in derselben Richtung mit zwei unterschiedlichen 

Geschwindigkeiten v 1 und v 2 aufeinander zu. Die Es gelte: v 2 > v 1 . Dies führt dazu, dass sich die beiden 

Massenpunkte zu einem Zeitpunkt t 0 treffen und aufeinander einen Kraftstoß ausüben. 

Gesamtimpuls vor dem Stoß: 

p = p + p = m ⋅ v + m ⋅ v 

ges 

Stoßvorgang 

1 2 1 1 2 2 

Im Zeitintervall Δt findet ein Kraftstoß statt, der zu einer Beschleunigung beider Massen führt. Da keine 

weitere äußere Kraft auftritt, gilt das 3. Newtonsche Axiom "actio = reactio", d.h. es gilt 

F12 = −F21 ⇔ m1 ⋅ a1 = −m 2 ⋅ a2 

Die Kraft F 12 , die Masse 1 auf Masse 2 während des Stoßvorganges ausübt, bewirkt eine gleich große, 

aber entgegengesetzt wirkende Kraft F 21 , die Masse 2 auf Masse 1 ausübt (Die Gesamtsumme alle inneren 

Kräfte ist Null). 

Annahme: Die Beschleunigung während des Stoßvorganges sei konstant (die mittlere Beschleunigung sei 

konstant). Dann gilt mit 

1.

v 

a 

t 

m 

v 

Δ i 

i = 

Δ 

Δ 1 Δv 

⇒ 1 ⋅ = −m2 ⋅ 

Δt 

Δt 

⇒ m ⋅ Δv = −m ⋅ Δv 

1 1 2 2 




2 

,wobei Δv 1 und Δv 2 die Geschwindigkeitsänderungen beider Massen sind, die durch den Kraftstoß verur- 

sacht wurden. Die Geschwindigkeiten beider Massen nach dem Kraftstoß sind demnach 

Geschw. nach dem Stoß: v + Δv bzw. v + Δ v 

1 1 2 2 

Daraus folgt für den gesamten Impuls nach dem Stoß 

( Δ ) ( Δ ) 

1 ( 1 1) 2 

⎛ 

⎜ 2 

m ⋅ v + v + m ⋅ v + v 

1 1 1 2 2 2 

m v v m v m 

m v m v m v p 1 ⎞ 

= ⋅ + Δ + ⋅ − Δ 1⎟ = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 = ges 

⎝ 

⎠ 

Das bedeutet, dass der Gesamtimpuls beim Stoß konstant bleibt. 

Impulserhaltungssatz: 

2 

In einem abgeschlossenen System (keine Einwirkung von äußeren Kräften) bleibt der Gesamtimpuls (vekto- 

rielle Summe aller Einzelimpulse) konstant. 

Impulserhaltungssatz: 

p 

i 

pges = ∑ pi = const. 

: Impulse innerhalb des abgeschlossenen Systems 

i 

Impuls und Energieerhaltungssätze sind fundamentale Sätze in der Physik. Sie haben nicht nur eine Bedeu- 

tung in der Mechanik, sondern gelten auch für andere Bereiche der Physik und anderer Naturwissenschaf- 

ten. Viele Probleme in der Physik lassen sich durch Aufstellen der Impuls- und Energieerhaltungssätze lö- 

sen. 

Der zentrale elastische Stoß: 

Der zentrale elastische Stoß zeichnet sich dadurch aus, dass beim Stoßvorgang keine kinetische Energie 

durch Umwandlung in potentielle Energie bzw. Rotationsenergie verloren geht. Der Stoß erfolgt weiterhin 

zentral, d.h. die Stoßrichtung liegt auf einer Geraden. Damit gelten für zwei Körper die folgenden Erhal- 

tungssätze: 

Impulserhaltungssatz: m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 

(I) 

Energieerhaltungssatz: 1 2 1 2 1 2 1 2 

m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 

(II) 

2 2 2 2 

wobei




v1 , v 2 Geschwindigkeiten vor dem Stoß 

u1 , u 2 Geschwindigkeiten nach dem Stoß 

aus (I): m1 ( v1 u1) m 2 ( u 2 v 2 ) 

1 

2 

⋅ − = ⋅ − (III) 

1 

⋅ − 1 = 2 ⋅ 2 − 2 

(IV) 

2 

2 2 

2 2 

aus (II): m ( v u ) m ( u v ) 

1 1 

Aus dem 3. binomischen Lehrsatz folgt dann aus (III) 

1 

( ) ( ) ( ) ( ) 

1 

m1 ⋅ v1 − u1 ⋅ v1 + u1 = m2 ⋅ u2 − v 2 ⋅ u2 + v 2 (V) 

2 

2 

(III) in (V): v1 + u1 = v 2 − u 2 

Die Auflösung nach u i und einsetzen in (I) liefert dann 

u 

1 

bzw. 

u 

2 

2 ⋅ m2 

= 

m + m 

1 2 

2 ⋅ m1 

= 

m + m 

Spezialfälle: 

2 1 

m m 

v 

m m v 

1 − 2 

2 + 

+ 

1 2 

m m 

v 

m m v 

2 − 1 

1 + 

+ 

2 1 

1. m1 = m 2 

: u1 = v 2 undu 2 = v1 

1 

2 

Beide Körper tauschen Ihre Geschwindigkeiten. Ist insbesondere einer der Körper vorher in Ruhe, so bleibt 

der erste stehen und der zweite bewegt sich mit der Geschwindigkeit des ersten weiter 

2. m 

m − m 

m + m 

2 

>> m 1 

: dann wird 

1 2 


1 2 

≈ − 1 u = − v 

1 1 

Dieser Fall tritt z.B. auf, wenn eine Kugel senkrecht auf eine Wand trifft. Die Kugel fliegt mit entgegenge- 

setzt gleicher Geschwindigkeit wieder zurück. Aus der Impulserhaltung folgt: 

' ' 

' 

p + p = p + p ⎯⎯⎯⎯⎯ ' →p 

= 2⋅ p = 2 ⋅m ⋅ v 

1 2 1 2 p = 0, p =−p 

2 1 1 1 

2 1 1 

d.h. die Wand nimmt einen Kraftstoß 2 m 1 v 1 auf, jedoch keine Energie, da ihre Geschwindigkeit Null 

bleibt. 

Nichtelastische Stöße: 

Bei den nichtelastischen Stößen wird ein Teil der kinetischen Energie in andere Energieformen (Wärme, 

Deformation etc.) überführt. Der Ansatz (im Zweikörperproblem) lautet dann:




Impulserhaltungssatz: m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 

Energieerhaltungssatz: 1 2 1 2 1 2 1 2 

m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 + Δ Ekin 2 2 2 2 

Wobei ΔE kin der Anteil der umgewandelten kinetischen Energie ist. Wenn ΔE kin unbekannt ist, lassen sich 

u 1 und u 2 nicht mehr berechnen. Als Spezialfall gilt für den vollständig unelastischen Stoß, bei dem beide 

Stoßpartner nach dem Stoß zusammenhängen und sich mit gleicher Geschwindigkeit weiterbewegen: 

u = u = u ⇒ 

1 2 

m 

u 

m m v 

m 

m m v 

1 

2 

= ⋅ 1 + ⋅ 

+ 

+ 

1 2 

1 2 

2 

Aus der Bestimmung von u lässt sich dann der Verlust an kinetischer Energie bestimmen (Anwendung z.B. 

im ballistischen Pendel). 

2.8 Dynamik der Drehbewegungen 

2.8.1 Zentripetal- und Zentrifugalkraft 

Bei der Herleitung der Gesetze der Drehbewegungen wurde gezeigt, dass 

ein Körper der Masse m, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, in Richtung 

des Kreismittelpunktes beschleunigt wird. Nach dem 2. Newtonschen Axi- 

om muss demnach auch eine Kraft auf ihn wirken. Diese Kraft ist notwen- 

dig, um den Körper auf eine Kreisbahn zu zwingen, da er sich sonst ge- 

radlinig, gleichförmig bewegen würde (erstes Newtonsches Axiom). 

Die Kraft die auf den Körper wirkt wird Zentripetalkraft genannt. 

Die Richtung der Kraft weist zum Kreismittelpunkt, die Größe lässt sich 

errechnen aus: 

Zentripetalkraft: Fzp = m ⋅ ar = m ⋅ ω ⋅r 

2 

Nach dem dritten Newtonschen Axiom muss eine Gegenkraft zur Zentripetalkraft vorhanden sein. Diese 

Kraft wird Zentrifugalkraft genannt 

Zentrifugalkraft: Fzf = − Fzp 

2.8.2 Kreispendel




Eine Kugel hängt an einem Faden und führt eine Kreisbewegung aus. Die 

hierzu notwendige Zentripetalkraft wird durch das Gewicht der Kugel erzeugt. 

Zentripetalkraft: F = m ⋅ g⋅ 

tan( α ) 

r 

Da die Kugel auf der Kreisbahn umläuft, wirkt an ihr zusätzlich die Zentrifu- 

2 

galkraft: F = m ⋅ ω ⋅r 

z 

mit ω π 

= 2 T und r l ( ) 

( ) 

l ⋅cos 

α 

T = 2π ≈ 2π 

g 

= ⋅sin α lässt sich der Ausdruck umformen zu 

l 

g 

für kleine Winkel. Die Umlaufzeit des Pendels 

hängt bei kleinen Winkeln somit nur von der Länge des Fadens und der Erdbeschleunigung ab. 

2.8.3 Starrer Körper 

Bisher wurde bei den durchgeführten Betrachtungen die Beschreibung der Bewegung eines Körpers nur auf 

einen Punkt, den Schwerpunkt reduziert. Ein realer Körper besitzt dagegen eine endliche Ausdehnung in 

drei Dimensionen. Die verwendeten Modelle müssen daher erweitert werden. Zunächst werden Eigenschaf- 

ten eines starren Körpers untersucht. Im Gegensatz dazu stehen Untersuchungen an Flüssigkeiten und Ga- 

sen. 

Starrer Körper: 

Ein starrer Körper ist zusammengesetzt aus einer Anzahl von Mas- 

senpunkten, deren relative Lage zueinander unverändert bleibt. 

Masse des Körpers: m = ∑ Δ mi i 

Translatorische Bewegung: Alle Massenpunkte bewegen sich mit 

derselben Geschwindigkeit v. Dann berechnet sich die kinetische 

1 

Energie eines Massenpunktes zu: Ei, kin = Δ mi ⋅ v 

2 

1 1 

1 

Kinetische Energie des Körpers: Ekin = ∑Ei, kin = ∑ Δmi ⋅ v = ⋅ v ∑ Δ mi = m ⋅ v 

2 2 

2 

∑ i ∑ Δ 

i i 

Impuls des starren Körpers: p = p = m ⋅ v = m ⋅ v 

i 

i 

i 

2 2 2 

Die Gesetze der translatorischen Bewegung eines starren Körpers lassen sich auf die Gesetze des Massen- 

punktes zurückführen. Ohne Beweis: Der Massenpunkt ist der Schwerpunkt des Körpers. 

2.8.4 Schwerpunkt 

i 

2




Die Schwerpunktkoordinate eines starren Körpers kann berechnet werden durch 

r 

s 

∑r ⋅ Δm 

= 

i 

m 

i i 

ges 

bzw. bei kontinuierlicher Verteilung der Masse durch 

r 

s 

= 

m 

∫ 

ges 

m 

r dm 

ges 

Die Schwerpunktkoordinaten (nicht jedoch der Schwerpunkt des Körpers) hängen nach obiger Definition von 

der Wahl des Bezugsystems ab. 

• Wenn eine Drehachse durch den Schwerpunkt verläuft, so heben sich alle inneren Drehmomente ge- 

genseitig auf. Ein ruhender Körper befindet sich somit in jeder Stellung im Gleichgewicht. 

• Bei beliebigen Aufhängungspunkten dreht sich der Körper solange um die Drehachse, bis sich der 

Schwerpunkt senkrecht unter den Aufhängungspunkt gedreht hat. 

2.8.5 Trägheitsmoment 

Bei der Berechnung der Energie eines rotierenden Körpers müssen zusätzlich die Abstände der Massen- 

punkte vom Drehpunkt berücksichtigt werden. Für das obige Beispiel gilt daher: 

1 1 

, = ⋅ = ⋅ ⋅ 

2 2 

2 

Kinetische Energie eines Massenpunktes um den Drehpunkt: E Δm v Δm ( ω r ) 

i kin i i i i 

Jeder Massenpunkt beschreibt eine Kreisbahn um den Rotationsmittelpunkt. Die Geschwindigkeit der ein- 

zelnen Massenpunkte ist nicht mehr konstant! 

Die gesamte Bewegungsenergie errechnet sich somit aus: 

1 2 1 

Ekin = ∑Ei, kin = ∑ Δmi ⋅ vi = ∑ Δmi ⋅ ω ⋅ri 

2 

2 

i 

1 

bzw. Ekin = ω ∑ Δ mi ⋅ri 

2 

i 

2 2 

i 

i 

( ) 

Die Summe ist eine charakteristische Konstante des starren Körpers und bestimmt den Energieinhalt des 

Körpers bei seiner Rotation um eine Achse. Diese Konstante ist das sogenannte Trägheitsmoment des 

Körpers: 

∑ Δ 

2 2 

Trägheitsmoment: J = mi ⋅ri [ kg⋅ m ] 

i 

2 2 

2 

Kontinuierliche Massenverteilung: J = Δm 

⋅ r = r dm = ρ 

r dV 

2 

m V 

lim∑ 

Δmi 

→o 

i 

i i ∫ 

0 

∫ 

0 

ges ges 

2

1 

Rotationsenergie: Erot = Jω 

2 




2 

Die Berechnung des Trägheitsmomentes für starre Körper ist i.a. sehr schwierig und oft analytisch nicht 

mehr durchführbar. (Zur Berechnung des Trägheitsmomentes einfacher Körper siehe z.B. Berg- 

mann/Schäfer) Es lassen sich jedoch grundsätzliche Aussagen treffen: 

• Je weiter die Massenpunkte von der Drehachse entfernt sind, desto größer ist ihre Geschwindigkeit und 

desto größer ihre Rotationsernergie. 

• Das Trägheitsmoment eines Körpers ist von der Lage der Drehachse abhängig. 

Hauptträgheitsachsen, Hauptträgheitsmomente 

Jeder Körper besitzt eine Drehachse durch den Schwerpunkt mit einem größten und einem kleinsten Träg- 

heitsmoment. Diese beiden Achsen stehen immer senkrecht aufeinander. Es lässt sich dann stets eine dritte 

Achse mit einem mittleren Trägheitsmoment finden, die senkrecht auf den beiden anderen steht. Diese 

Achsen heißen Hauptträgheitsachsen, die zugehörigen Trägheitsmomente Hauptträgheitsmomente. 

Jede Rotation eines Körpers um eine Schwerpunktachse lässt sich zerlegen in drei voneinander unabhängi- 

ge Rotationen um die drei Hauptachsen. 

Beispiele für Trägheitsmomente um die Hauptträgheitsachse: 

2 

Hohlzylinder mit Wanddicke D >> Radius R: J = mR 

Vollzylinder: J = mR 

1 2 

2 

Kugel: J = mR 

2 2 

5 

Stab mit Durchmesser D

2.8.6 Drehmoment 




Bei der translatorischen Bewegung war eine Kraft notwendig, um einen Körper aus der Ruhe heraus in ei- 

nen Bewegungszustand zu setzen. Nach den Newtonschen Axiomen muss der gleiche Sachverhalt für die 

Erzeugung einer Drehbewegung gelten. 

um so stärker, je mehr sich der Winkel an 90° annähert. 

Drehmoment: 

Ein Körper sei um einen Drehpunkt D herum 

gelagert und eine Kraft F greife im Punkt A an. 

1) Wenn F in Richtung der Verbindungslinie 

zwischen D und A wirkt, kann der Körper 

nicht gedreht werden. 

2) Wenn die Kraft im Punkt A in einem Winkel 

ϕ gemessen zur Verbindungslinie wirkt, wird 

der Körper in Rotation versetzt. Diese ist 

Das Produkt aus Abstand zum Drehpunkt und dem dazu senkrechten Anteil F M einer angreifenden Kraft 

wird Drehmoment M genannt. 

Zur Beschreibung der Drehrichtung hat M einen vektoriellen Charakter. Die Richtung ist parallel zur Dreh- 

achse. Sie wird festgelegt durch das rechtshändige System. (Schraubenrichtung, wenn r in Richtung der 

Kraft gedreht wird). Die Drehrichtung entspricht derselben Vereinbarung wie bei der Festlegung Winkelge- 

schwindigkeitsvektors ω . 

Größe des Drehmomentes: M = r ⋅F ⋅sin ( r, F) 

Verallgemeinerung: Das Vektorprodukt aus r und F liefert Richtung und Größe des Drehmomentes: 

M = rxF ⎡kg⋅ 

m 

⎢ 2 

⎣ s 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

• Analog zur Translation, bei der die Gesamtkraft die vektorielle Summe der Einzelkräfte war, ist da Ge- 

samtdrehmoment die vektorielle Summe der Einzeldrehmomente. 

• Analog zur Translation, bei der eine Kraft eine Beschleunigung des Körpers verursacht hat, führt ein 

Drehmoment zu einer beschleunigten Rotation: 

Es gelte: verschiedene Kräfte greifen in der Drehebene an einem starren Körper an. Dann gilt für das ge- 

samte Drehmoment: 

∑ 

M = r ⋅F 

i 

i i 

wobei F i senkrecht auf den Radiusvektoren stehen. Daraus folgt:




∑ ∑ ∑ 

2 

M = ri ⋅ Fi = ri ⋅ Δmi ⋅ ai = { ri ⋅ Δmi 

⋅α 

i 

i 

a= α⋅r 

i 

Mit der Definition des Trägheitsmomentes und mit der Tatsache, dass die Winkelbeschleunigung � diesel- 

be Richtung hat wie die Winkelgeschwindigkeit und damit des Drehmomentes lässt sich obige Gleichung 

ausdrücken durch: 

M = J ⋅α 

Arbeit bei Drehbewegungen: 

Es wirke ein konstantes Drehmoment M. Damit wird auch die Winkelbeschleunigung � konstant. Die Arbeit 

wurde definiert als Produkt aus Weg und dazu in Richtung des Weges aufgewendete Kraft. W = F ⋅ s . Bei 

der Drehbewegung ist der zurückgelegte Weg die Kreisbahn, somit s = r ⋅ ϕ . Wegen M = r ⋅ F folgt insge- 

samt 

W = M⋅ϕ 

, M=const bzw. W = ∫Mdϕ , M≠const 

Leistung bei Drehbewegungen: 

Aus P dW 

P M 

dt 

d 

dt M 

ϕ 

= ⇒ = ⋅ = ⋅ ω 

2.8.7 Drehimpuls 

ϕ 

ϕ 

2 

1 

Aus den Betrachtungen der Translation ist bekannt, dass jedem 

Körper, der sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt ein Bahnim- 

puls p = m ⋅ v zugeordnet werden kann. Von einem festen 

Standpunkt aus führt i.a. ein sich geradlinig bewegender Körper 

relativ zum Beobachter auch eine Drehbewegung aus: 

Vom Standpunkt des Beobachters setzt sich die Geschwindigkeit 

zusammen aus einem Anteil, der den Körper in der Verbindungs- 

linie von ihm fortbewegt und einem Anteil v s , der senkrecht auf 

der Verbindungslinie steht und den Körper in diesem Punkt auf 

eine Kreisbahn zwingt. 

Für den momentanen Impuls des Massenpunktes gilt:




p m v m r m r 

r r J 

1 2 1 

= ⋅ = ⋅ω ⋅ = ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ⋅ ω 

Wie bei der Definition des Drehmomentes hängt auch hier der momentane Impuls eines Massenpunktes 

vom Abstand zum Drehmittelpunkt ab. Durch Multiplikation der Gleichung mit r folgt wird die Größe p⋅ r als 

Drehimpuls bezeichnet. 

Definition des momentanen Drehimpulses: L = r ⋅ p = J⋅ω 

Diese Definitionen gelten jedoch nur für einen bestimmten Punkt während der Bewegung von m und bezie- 

hen sich auf einen festen Bezugspunkt. 


Wie bei der Herleitung des Drehmomentes ist derjenige Teil des Bahnimpulses wirksam, der senkrecht auf 

dem Radius zum Massenpunkt steht. Ausgedrückt werden kann dies durch die verallgemeinerte Definition 

des Drehimpulses:: 

Drehimpuls L = rxp ⎡kg⋅ 

m 

⎢ 

⎣ s 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Aus der translatorischen Bewegung ist bekannt, dass sich die Kraft auf einen Körper aus der zeitlichen Ab- 

leitung des Impulses errechnet, d.h. F dp 

= 

dt 

Die analoge Betrachtung beim Drehimpuls liefert in obigem Beispiel: 

dL 

dt 

r m dv 

= ⋅ ⋅ = r ⋅m ⋅ a = r ⋅ F = M 

dt 

Diese Beziehung lässt sich Verallgemeinern und gilt analog zum Bahnimpuls: M ( ) 

dL d 

= = rx p 

Mathematischer Beweis: 

M ( r F) r dp 

= = 

dt 

⎛ ⎞ 

x ⎜ x ⎟ 

⎝ ⎠ 

Produktregel: 

( r p) 

d dr dp 

p r 

dt dt dt 

Wegen dr 

parallel zup ist 

dt 

dr 

dt p 

x = x + x 

x = 0 

dt 

dt

Aus M ( ) 

dL d 

r p 




= = x = 0 folgt unmittelbar, dass der Drehimpuls konstant sein muss. Dies ist der Fall, 

dt dt 

wenn sich der Körper kräftefrei bewegt oder wenn die Kraft nur in radialer Richtung wirkt (Zentripetalkraft). 

Die bisherigen Betrachtungen eines Massenpunktes lassen sich auf ein System bestehend aus vielen Mas- 

senpunkten, bzw. einem starren Körper verallgemeinern. Formal gilt dabei: Der Gesamtdrehimpuls ist die 

Summe der vektoriellen Einzel-Drehimpulse: L = ∑ Li i 

Satz von der Erhaltung des Drehimpulses: (ohne Beweis) 

Wenn auf ein System von N Körpern keine äußeren, sondern nur innere Kräfte wirken, so bleibt der 

Gesamtdrehimpuls erhalten: L = ∑ Li = const. 

i 

Wenn an dem System zusätzlich äußere Kräfte wirken, so ändern sich die Drehimpulse. Das Gesamtdreh- 

moment berechnet sich dann aus der vektoriellen Summe der Einzeldrehmomente: 

M M d 

= ∑ i = ∑ Li 

= 

dt 

i 

i 

dL 

dt 

1. Rotation um Schwerpunktachse: Bei der Rotation um eine Schwerpunktachse gilt stets, dass Dreh- 

achse und Drehimpulsachse parallel liegen, L = J⋅ω 

. Stabile Rotationsachsen sind dabei insbesonde- 

re die Schwerpunktachsen mit größtem und kleinsten Trägheistmoment (z.B. Rotation eines Quaders, 

Auswuchten der Räder zur Kompensation der Fliehkraft). 

2. Drehimpulsvektor und Drehmomentvektor liegen parallel: Erhöhung bzw. Erniedrigung der Winkel- 

geschwindigkeit 

3. Es wirkt kein äußeres Drehmoment: Ein rotierender Körper ist bestrebt, sein Drehmoment zu erhal- 

ten. Anwendungen z.B. beim Kreiselkompass. 

4. Drehmoment und Drehimpuls stehen senkrecht aufeinander: Z.B. frei aufgehängter Kreisel mit nur 

einem Aufhängepunkt. Gewichtskraft bewirkt Drehmoment am Kreisel, wodurch sich der Drehimpuls 

ändert. Der Kreisel weicht zu einer Seite aus (Präzession). Anwendung z.B. beim Fahrrad fahren. 

2.8.8 Vergleich zwischen geradliniger Bewegung und Kreisbewegung 

Translation Rotation 

Weg s Winkel ϕ 

Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω 

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung α 

Träge Masse m Massenträgheitsmoment J 

Kraft F = m ⋅ a Drehmoment M = rxFJ ⋅α




Arbeit (F=const) W = F ⋅ s Arbeit (M=const) W = M⋅ 

ϕ 

Leistung (F=const) P = F ⋅ v Leistung (M=const) P = M ⋅ ω 

Translationsenergie 

1 

Ekin = m ⋅ v 

2 

2 

Rotationsenergie 

1 

Erot = J⋅ 

ω 

2 

Bahnimpuls p = m ⋅ v Drehimpuls L = rx p 

2




3 MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN UND GASE 

Bei den bisherigen Betrachtungen der Mechanik wurden starre Körper betrachtet. Jeder Massenpunkt eines 

starren Körpers behält relativ zum Körpers stets dieselben Koordinaten, unabhängig davon, welche Kräfte 

auf ihn wirken. Bei Flüssigkeiten und Gasen sind die einzelnen Massenpunkte gegeneinander verschiebbar, 

d.h. ihre relative Lage ändert sich bei Einwirken verschiedener Kräfte. 

Unterscheidung von Flüssigkeiten und Gasen: 

• Bei Flüssigkeiten und Gasen üben die Moleküle aufeinander anziehende Kräfte aus. Die Kräfte bei Gas- 

molekülen sind um einige Größenordnungen kleiner. 

• Gase haben das Bestreben, den Raum vollständig auszufüllen (Diffusion, Strömung). Wegen der größe- 

ren Anziehung von Flüssigkeitsmolekülen bleiben Flüssigkeiten ohne äußere Kräfte als Gesamtheit vor- 

handen (Oberflächenspannung). 

• Die Moleküle von Flüssigkeiten und Gasen führen die sogenannte Brownsche Molekularbewegung aus. 

Gase stärker als Flüssigkeiten 

• Flüssigkeiten weisen in Abhängigkeit äußerer Bedingungen und der Art der Moleküle verschiedene Zä- 

higkeiten auf. Flüssigkeiten besitzen eine innere Reibung . Dagegen werden ideale Flüssigkeiten nähe- 

rungsweise ohne innerer Reibung und inkompressibel beschrieben. 

3.1 Ruhende Flüssigkeiten und Gase 

Eine wichtige Größe bei der Behandlung von Flüssigkeiten und Gasen ist der Druckbegriff: 

Druck p F ⎡ N ⎤ 

= = Pa 

A ⎢1 

2 1 

⎣ m 

⎥ 

⎦ 

F: Kraft, die senkrecht auf die Fläche wirkt 

A: Fläche 

Umrechnung: 

1 bar = 10 5 Pa = 10 3 hPa oder 1 hPa = 10 -3 bar = 1 mbar 

Normaldruck: 1013 mbar = 1013 hPa 

• p wird hydrostatischer Druck genannt. 

• Der Druck verteilt sich gleichmäßig über die gesamte Flüssigkeit (bei Vernachlässigung der Schwer- 

kraft, die ihrerseits auch eine Kraft ausübt!). 

3.1.1 Ruhende Flüssigkeiten

Kompressibilität: 




Flüssigkeiten passen sich den Gefäßformen an, in denen sie aufbewahrt werden. Sie besitzen keine Form- 

oder Volumenelastizität. Wird innerhalb eines Gefäßes ein Druck auf sie ausgeübt, so lassen sich Flüssig- 

keiten zusammendrücken. Wenn der Druck wieder auf Null sinkt, stellt sich auch wieder das Ausgangsvo- 

lumen ein. 

Es gilt: Eine Druckerhöhung dp bewirkt eine Volumenverkleinerung dV 

dp K dV 

= − 

V 

1 1 

χ = = − 

K V 

dV 

dp 

K: Kompressionsmodul, χ: Kompressibilität, Minuszeichen wegen negativem Quotienten dV 

dp 

Die Kompressibilität von Flüssigkeiten ist um den Faktor 10 ... 100 größer als bei Festkörpern, jedoch im- 

mer noch sehr klein, so dass nur sehr große Drücke merkbare Volumenänderungen bewirken. 

Anwendungen: 

Wenn ein Stempel der Fläche A 1 mit der Kraft F 1 in einen flüssigkeitsgefüllten Kolben (Kompressibilität sei 

vernachlässigbar) gedrückt wird und dabei den Weg s 1 zurücklegt, so wird die Arbeit F 1 s 1 verrichtet. Ein 

zweiter beweglicher Stempel am gleichen Kolben wird soweit herausgedrückt, dass die Volumina durch die 

Stempelbewegungen sich ausgleichen. Die Bewegung des zweiten Stempels mit der Fläche A 2 um den 

Weg s 2 kann dabei eine Kraft ausüben, sodass die an der Flüssigkeit geleistete Arbeit wieder frei wird. 

F1 

Druck: 

A1 

F 

= p = 

A 

Arbeit: F1 ⋅ s1 = F2 ⋅s 

2 

Volumen: A ⋅ s = A ⋅s 

1 1 2 2 

2 

2 

< 0 

Mit einer kleinen Kraft, die auf einen kleinen Stempel wirkt, 

kann demnach eine große Kraft erzeugt werden, die von einem 

großen Stempel aufgebracht wird. Dafür ist der Weg, den 

Stempel 1 zurücklegen muss, entsprechend größer. 

Dieses Prinzip wird bei hydraulischen Pressen, Wagenhebern, Bremsanlagen im Kfz, Druckmessern etc. 

angewandt. 

Schweredruck




Auf jede Flüssigkeit wirk auf der Oberfläche die Schwerkraft, d.h. die oberen Flüssig- 

keitsschichten einer Flüssigkeitssäule üben auf die unteren Schichten eine zusätzliche 

Kraft aus. 

Kraft auf A: F = m⋅ g = A ⋅h ⋅ρ ⋅g 

Berechnung des Schwerdruckes: 

Die Flüssigkeit habe die Dichte ρ, die Dichte sei überall gleich! 

Volumen über der Fläche A: V = A ⋅ h 

Schweredruck in der Tiefe h: p = ⋅g ⋅h 

ρ 

s 

Der Schweredruck addiert sich zu dem Druck, der auf die Flüssigkeitsoberfläche wirkt. 


• Der Schweredruck hängt nur von der Tiefe h ab und nicht von der Gefäßform 

• Der Schweredruck wirkt in alle Richtungen gleich, auch nach oben 

• Der Schweredruck erzeugt auf Gefäße Boden- und Seitenkräfte. Bei der Konstruktion von Gefäßen sind 

diese zu beachten. Beispiel Staudamm: Durch die Höhe der Dämme wirken auf die Staumauern enorme 

Seitenkräfte durch den Schweredruck des Wassers 

Archimedisches Prinzip: 

Ein in einer Flüssigkeit schwimmender Körper erfährt durch den Schweredruck eine nach oben gerichtete 

Auftriebskraft. Durch die dreidimensionale Ausdehnung des Körpers erfährt der untere Teil des Körpers 

größere nach oben gerichtete Kräfte als der obere Teil, bei dem kleinere Kräfte nach unten wirken. Horizon- 

tal angreifende Kräfte heben sich auf. Die resultierende Gesamtkraft ist nach oben gerichtet und der 

Schwerkraft entgegengesetzt. 

Die Grundfläche des Körpers sei A, die Dichte der Flüssigkeit sei ρ 

Schweredrücke: p = ρ⋅ g⋅ h , p = ρ⋅ 

g⋅ h 

s1 1 s2 

2 

Auftriebskräfte: F = p ⋅ A , F = p ⋅ A 

resultierende Gesamtkraft: 

Nun ist aber ( ) 

1 s1 2 s2 

A ⋅ h2 − h1 = V das Volumen des Körpers und ρ ⋅ g⋅ V die Ge- 

wichtskraft, die auf die Flüssigkeit mit dem Volumen V wirkt. Die Auftriebskraft wirkt der Gewichtskraft auf 

den Körper entgegen, d.h. der Körper besitzt in der Flüssigkeit Gewicht, welches um den Betrag des Ge- 

wichtes der verdrängten Flüssigkeit vermindert ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, lässt sich dieses 

Prinzip auf beliebige Körper übertragen. Es wird das Archimedische Prinzip genannt: 

Gesetz des Archimedes (220 v. Chr.)




Ein Körper, der in einer Flüssigkeit eintaucht, erfährt eine nach oben gerichtete Auftriebskraft, deren 

Betrag gleich demjenigen der Gewichtskraft ist, die auf das verdrängte Flüssigkeitsvolumen wirkt. 

Fallunterscheidung: 

• F A > F G : Der Körper steigt solange nach oben, bis er weit genug aus der Oberfläche herausragt, dass 

gerade Gleichheit der Kräfte herrscht. 

• F A = F G : Der Körper schwebt 

• F A < F G : Der Körper sinkt 

Anwendungen und Beispiele: 

• Schiffe schwimmen, da das verdrängte Wasservolumen schwerer ist als das Gewicht des Schiffes 

• Eisberge ragen aus dem Wasser heraus, da die Dichte des Eises kleiner ist als die Dichte von Wasser 

• U-Boote regulieren ihre Schwimmhöhe dadurch, dass Wasser in die Schwimmtanks eingelassen bzw. 

ausgeblasen wird. Dadurch ändert sich das Gewicht des Bootes, während die Menge des verdrängten 

Wassers konstant bleibt. 

• Aräometer: In der Chemie wird dieses Gerät zur Bestimmung der Dichte von Flüssigkeiten verwendet. 

Das Aräometer taucht soweit in die Flüssigkeit ein, bis das verdrängte Volumen der Flüssigkeit gerade 

das Gewicht des Aräometers kompensiert. 

Oberflächenspannung und Oberflächenenergiedichte 

In einer Flüssigkeit übt ein Molekül auf das andere innerhalb einer gewissen Reichweite Kräfte aus (Moleku- 

larkräfte), die sich im Innern der Flüssigkeit gegenseitig aufheben. Je näher ein Molekül an die Oberfläche 

gelangt, desto weniger wird die Kraft auf der Seite der Oberfläche kompensiert. Ein Molekül, welches sich 

direkt an der Oberfläche befindet, erfährt nur noch Kräfte aus dem Innern der Flüssigkeit. Diese Moleküle 

haben demnach eine resultierende Kraftkomponente zum Inneren der Flüssigkeit. 

Um ein Molekül aus dem Innern der Flüssigkeit an die Oberfläche zu bringen, ist demnach eine Arbeit zu 

verrichten, da das Molekül einen Weg gegen eine wirkende Kraft zurücklegen muss. Umgekehrt erfährt ein 

Molekül einen Gewinn an Energie, wenn es sich von der Oberfläche weg in das Innere der Flüssigkeit be- 

wegt. Die Moleküle wandeln dabei potentielle Energie in Bewegungsenergie um. Diese potentielle Energie 

wird Oberflächenenergie genannt. 

Je mehr Moleküle an der Oberfläche sind, desto größer wird sie. Ein stabiles Gleichgewicht zwischen Mole- 

külen die sich zur Oberfläche bewegen und Molekülen, die in das Innere wandern bedeutet eine minimale 

potentielle Energie (ähnlich wie ein Stein immer nach unten fallen wird). 

Wenn die Oberfläche eine Flüssigkeit vergrößert werden soll, so ist dazu Arbeit notwendig. Das Leisten von 

Arbeit an der Flüssigkeit bedeutet aber eine Erhöhung der potentiellen Energie bzw. Oberflächeenergie. Das 

Verhältnis aus der Änderung der Oberflächenenergie und Vergrößerung der Oberfläche wird Oberflächen- 

energiedichte oder Oberflächenspannung genannt.

Oberflächenenergiedichte: 




Änderungder Oberflächenernergie dW ⎡ J 

σ = = = 

Änderungder Oberfläche dA ⎢ 2 

⎣m 

Wegen dem Drang der Flüssigkeit, ihre Oberfläche möglichst klein zu halten, bilden Flüssigkeiten ohne 

Wirkung äußerer Kräfte Kugeln aus, da diese das größte Volumen bei kleinster Oberfläche besitzen (z.B. 

bei Regentropfen). Da aber meist äußere Kräfte wirken (Schwerkraft, Reibungskräfte bei Regen), tritt meist 

eine Verformung der Kugelgestalt auf. 

Überdruck in einer Flüssigkeitskugel: 

Ein Flüssigkeitstropfen habe die Gestalt einer Kugel mit dem Radius r. Die Arbeit, die notwendig ist, den 

Radius der Kugel um dr zu erhöhen berechnet sich durch 

2 

dW = F ⋅ dr = p⋅ A ⋅ dr = p⋅ 4π 

⋅r ⋅dr 

Andererseits gilt auch 

dW = σ ⋅ dA = σ ⋅8 ⋅ π ⋅r ⋅dr 

( ) 

2 

A = 4 ⋅ π ⋅ r , A + dA = 4 ⋅ π ⋅ r + dr 

⇒ dA ≈ 8 ⋅ π ⋅r ⋅ dr 

Daraus folgt für den Überdruck in einer Flüssigkeitskugel: p = 

r 

⋅ 2 σ 

Je größer die Kugel, desto kleiner der Überdruck innerhalb der Kugel 

Grenzflächenspannung, Kapillarität 

2 

An Gefäßwänden wirken auf Flüssigkeitsmoleküle zusätzliche Adhäsionskräfte, die durch die Moleküle der 

Gefäßwand aufgebracht werden. 

Ist die Adhäsionskraft größer als die Köhäsionskraft der Flüssigkeitsmoleküle, so schmiegt sich die Flüssig- 

keit an die Wände an (Benetzung). 

Sind beide Kräfte miteinander vergleichbar, so können folgende Fälle auftreten: 

N ⎤ 

m⎥ 

⎦




F 

F A 

α 

Randwinkel 

α 

Randwinkel 

F K 

F A F K 

F 

Flüssigkeit 

Adhäsion größer als Kohäsion 

2R 

α 

Randwinkel 

Adhäsion kleiner als Kohäsion 

Flüssigkeit 

2R 

h 

h 

2 σ cos( α) 

h = 

ρ g R 

2 σ cos( α) 

h = 

ρ g R 

Durch die Bestimmung des Kontakt- oder Randwinkels und der Steighöhe einer Kapillare kann die Oberflä- 

chenspannung gemessen werden. 

Beispiele für Oberflächenspannungen: 

• Quecksilber (18°C): 50 10 -2 N/m 

• Wasser (20°C): 7,25 10 -2 N/m 

• Äthyläther (18°C): 1,7 10 -2 N/m 

Beispiele für Einflüsse von Oberflächenspannungen: 

• Tropfenbildung bei Auslaufen einer Küvette: Bei Verwendung von Wasser läuft die Küvette niemals leer. 

Der letzte sich bildende Tropfen kompensiert sein Gewicht und den Schweredruck durch die noch vor- 

handene Wassersäule durch die Kohäsionskräfte. Die Hinzugabe von z.B. Äther vermindert die Oberflä- 

chenspannung, wodurch der restliche Teil des Wassers ausläuft. 

• Verminderung der Oberflächenspannung durch Lösungsmittel. Je nach Wechselwirkung der Moleküle 

untereinander bleiben diejenigen Moleküle an der Oberfläche, die die geringere Oberflächenspannung 

ausüben (Minimierung der potentiellen Energie). 

• Wichtig ist stets die Wechselwirkung der Randschichten untereinander. Z.B. hat eine ölbedeckte Ober- 

fläche eine geringere Oberflächenspannung gegenüber Luft als Wasser. Das Durchbrechen dieser 

Oberfläche würde daher einen Arbeitsaufwand bedeuten, da die Oberflächenspannung steigt. Eine 

Grenzschicht mit einer Monolage des Öls reicht dabei aus! 

Fahrwasserspur hinter Motorschiffen durch den Ölfilm auf der Wasseroberfläche, der eine geringere 

Wellenbewegung aufweist. Die Energie wird aus der kinetischen Energie Wellenbewegung gebildet, um 

den Ölfilm aufzureißen. Dadurch wird die Wellenbewegung gemindert. 

Herabsetzung der Oberflächenspannung des Wassers durch Seifen zur besseren Benetzung des Ge- 

schirrs.




• Kavitation: Bildung von Hohlräumen in Flüssigkeiten bei schnell rotierenden Schrauben (Schiffen) oder 

in Ultraschallbädern oder in kochenden Flüssigkeiten. Die Blasen besitzen die potentielle Energie durch 

die Oberfläche und Oberflächenspannung, welche durch den Energieeintrag durch die Bewegung bzw. 

den Ultraschall erzeugt wird. Durch das erneute Zusammendrücken der Bläschen wird diese Energie 

wieder frei, wobei die frei werdende Energie an nur wenige Moleküle abgegeben werden kann. Die führt 

zu lokalen Erhitzungen, zu Leuchterscheinungen, chemischen Reaktionen oder Materialabtrag bei den 

Schiffsschrauben (Korrosion). 

3.1.2 Ruhende Gase 

Gase nehmen im Gegensatz zu Flüssigkeiten den ihnen zur Verfügung stehenden Raum vollständig ein. 

Die Wechselwirkung der Moleküle untereinander ist um einige Größenordnungen geringer als bei Flüssig- 

keiten. Sie besitzen z.B. keine Oberflächenspannung. 

Gase üben in einem abgeschlossenen Volumen einen Druck auf die Gefäßwände aus, der gerade den 

Druck, der durch die Gefäßwände erzeugt wird, kompensiert. 

Dieser Zusammenhang wird im Boyle- Mariottschen Gesetz (ca. 1660) wiedergegeben: 

p const m 

= . ⋅ , T = const. 

V 

Die Konstante hängt von der jeweiligen Temperatur und von der Gasart ab. Wenn ein Gas dieses Gesetz 

streng erfüllt, wir es ideales Gas genannt. 

Es ist m V = ρ die Dichte des Gases, d.h. es gilt auch 

p = const. ⋅ ρ, 

T = const. 

p ⋅ V = const. 

s 

wobei 1 ρ = V s das spezifische Volumen genannt wird. 

Kompressibilität eines idealen Gases bei konstanter Temperatur: 

Mit der Definitionsgleichung für die Kompressibilität folgt: 

1 1 dV 1 

χ = = − = 

K V dp p 

dV 

dp 

d ⎛ m⎞ 

= ⎜c 

⋅ ⎟ = −c ⋅ 2 = − 

dp ⎝ p ⎠ 

m V 

p p 

Die Kompressibilität eines idealen Gases bei konstanter Temperatur hängt nur vom Druck und nicht von der 

Gasart ab! 

Luftdruck 

Analog zum Schweredruck bei Flüssigkeiten übt die Gashülle der Erde durch das Gewicht der Moleküle 

einen Druck auf die unteren Schichten aus. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten ist die Dichte der Luft jedoch




vom Druck abhängig. Daher nimmt die Luftdichte mit zunehmender Höhe ab, was bei der Berechnung des 

Luftdruckes berücksichtigt werden muss. 

Annahmen 

• Die Temperatur bleibe konstant. 

• Die Lufthülle verhält sich wie ein ideales Gas, dann gilt: 

In der Höhe h 0 herrsche der Druck p 0 mit der Dichte ρ 0 . 

In der Höhe h herrsche der Druck p mit der Dichte ρ. 

Dann gilt: ρ ρ0 = p p 0 

• In einer kleinen Luftschicht dh herrsche eine konstante Dichte ρ 

Die Druckabnahme in der Luftschicht lässt sich berechnen 

als: 

p 

dp = −ρ ⋅ g⋅ dh = −ρ0 ⋅ ⋅ g⋅ dh 

p 

p0 

⇒ dh = − 

ρ ⋅ g 

0 

dp 

p 

Die Summation über alle Luftschichten liefert dann: 

h 

h 

p0 

1 p0 

p 

h = ∫ dh = − 

= − ⋅ 

⋅ g ∫ dp ln 

ρ p ρ ⋅g 

p 

Die Auflösung der Gleichung nach p h liefert dann die barometrische Höhenformel: 

Barometrische Höhenformel: p = p ⋅e 

h 

ρ0 

⋅g⋅h − 

p 

• Der Luftdruck beträgt in Meereshöhe 1013 hPa (Normaldruck) 

0 

0 

0 

0 

p 

p 

0 

0 

h 

0 0 

• Die Formel liefert einen Schätzwert, da weder Temperatur noch Erdbeschleunigung konstant über der 

Höhe sind

4 THERMODYNAMIK 




Die Thermodynamik beschäftigt sich mit Eigenschaften von festen Körpern, Flüssigkeiten und Gasen, de- 

nen Energie zugeführt bzw. abgeführt wird. Die Hintergründe dieser Eigenschaften finden sich in der atomis- 

tischen Deutung der Thermodynamik, in der die Eigenschaften der einzelnen Bausteine der Materien (Ato- 

me und Moleküle) sowie deren Wechselwirkungen untereinander eine Rolle spielt. Hierzu werden oft statis- 

tische Methoden zur Ableitung von Gesetzmäßigkeiten verwandt. 

4.1 Temperatur 

Der menschliche Körper besitzt in seiner Haut Zellen, die bei Berührung von Körpern ein Kälte- oder Wär- 

meempfinden erzeugen. Als Begriff für dieses Empfinden wird die Temperatur verwendet. 

Die Temperatur ist eine Basisgröße 

Die Definition der Temperatur ist bisher noch nicht festgelegt. Eine Möglichkeit, eine Temperaturskala fest- 

zulegen besteht in der Eigenschaft von Körpern, ihr Volumen bei Zufuhr von Wärme zu vergrößern. Wird 

die gleiche Wärme wieder abgeführt, so nehmen die Körper wieder das ursprüngliche Volumen ein. (Alle 

anderen Umgebungsparameter bleiben konstant!) Dieser Prozess ist reversibel! 

4.1.1 Temperaturskalen 

Zur quantitativen Festlegung der Temperatur bedarf es der Festlegung von Fixpunkten und einer willkürli- 

chen Einteilung der Skala zwischen diesen Fixpunkten: 

thermodynamische 

Temperaturskala 

373,2 

273,2 

Kelvin- 

Skala 

0 

Celsius- 

Skala 

0 °C 

37,7 °C 

-17,8 °C 

Fahrenheit- 

Skala 

100 °C 212 °F 

100 °F 

0 °F 

-273,2 °C -459 °F 

32 °F 

Kelvin Skala: unterer Fixpunkt: niedrigste erreichbare Temperatur 0K, Unterteilung 1K = 1/100 

der T-Differenz zwischen Siedepunkt des Wassers und Schmelzpunkt des Eises 

Celsius-Skala: 0°C Schmelzpunkt des Eises, 100 °C Siedepunkt des Wassers bei 1013 hPa 

Fahrenheit-Skala: 0°F niedrigste erreichbare Temperatur aus Wasser und Salz 

100 °F Temperatur des menschlichen Blutes 

Die heute in der Wissenschaft gebräuchliche Temperaturskala ist die Kelvin-Skala oder thermodynamische 

Temperaturskala. Ihr Nullpunkt - 0K - ist der kleinste, theoretisch erreichbare Temperaturwert. Der theoreti- 

sche Wert leitet sich aus der statistischen Physik bzw. der idealen Gasgleichung ab. Die thermodynamische 

Temperaturskala wird heute allgemein als Grundlage aller Temperaturmessungen verwendet. 

Die Messung der Fixpunkte der Celsiusskala hat gewisse Unsicherheiten. Die Unsicherheit bei der Messung 

des Schmelzpunktes liegt heute bei ca. ±0,002K. Dagegen lässt sich die Temperaturmessung bei der Be-




stimmung des Tripelpunktes von Wasser auf 0,0098±0,00005K genau bestimmen, weswegen dieser heute 

als Fixpunkt verwendet wird. 

4.1.2 Thermometer 

Es existieren verschiedene Möglichkeiten, Temperaturen zu messen. Ausgenutzt werden bei allen Verfah- 

ren die thermischen Eigenschaften der Körper, Flüssigkeiten und Gase. 

Beispielhaft seien hier die folgenden Thermometerarten aufgeführt: 

Ausdehnungsthermometer Hier wird die Volumenausdehnung verschiedener gasförmiger, flüssiger oder 

fester Körper ausgenutzt. Gebräuchlich sind hier Alkohol- und Quecksilberthermometer. 

Thermoelemente Werden zwei verschiedene Metalle miteinander in Kontakt gebracht, so entsteht an der 

Berührungsstelle eine temperaturabhängige Kontaktspannung. 

Widerstandsthermometer Die Abhängigkeit des elektrischen Widerstandes kann zur Messung von Tempe- 

raturen genutzt werden. 

Dampfdruckthermometer Der Dampfdruck ist von der Temperatur abhängig. Diese Verfahren wird oft bei 

niedrigen Temperaturen angewandt (flüssig Stickstoff, Flüssig Helium) 

Strahlungsthermometer Die Intensität der Strahlung (IR oder Licht) sowie das Emissionsspektrum des 

Körpers ist von der Temperatur abhängig. Dieses verfahren wird meist bei höheren Temperaturen einge- 

setzt. 

Farbumschlag chemischer Stoffe Einige chemische Stoffe (Thermocolore) weisen bei Temperaturände- 

rung einen reversiblen Farbumschlag auf. 

4.2 Verhalten von Körpern bei Temperaturänderungen 

4.2.1 Feste Körper 

Feste Körper dehnen sich - bis auf wenige Ausnahmen - bei Temperaturerhöhungen aus. 

Die Ausdehnung der Körper ist von der Art des Stoffes abhängig. 

In erster Näherung ist die Ausdehnung eines festen Körpers linear von der Temperatur abhängig. 

Linearer Ausdehnungskoeffizient: 

Die relative Längenausdehnung eines Stabes mit der Länge l ist proportional zur Temperaturerhöhung, d.h. 

α ( ) 

( 1 α Δ ) 

Δl 

= l − l = ⋅ l ⋅ T − T 

2 1 1 1 2 1 

⇒ l = l ⋅ + ⋅ T 

2 1 1 

α wird linearer Längenausdehnungskoeffizient genannt. Die obige Beziehung gilt relativ genau in gewissen 

Temperaturbereichen.




Bei genaueren Messungen können statt des linearen Zusammenhangs zusätzlich noch quadratische Terme 

berücksichtigt werden. Diese Gesetzmäßigkeit ist genauer, wenn ein Temperaturbereich von mehreren hun- 

dert Grad Celsius abgedeckt werden soll. 

2 

( ) 

l = l 1+ α ⋅ T + β ⋅ T + ... , T = 0° 

C 

0 

0 

β ist gegenüber α sehr klein, z.B. gilt für Platin: α = 9 10 -6 1/K, β = 4,9 10 -9 1/K 2 . 

Volumenausdehnungskoeffizient: 

Unter der Annahme, dass sich der Körper in allen drei Raumrichtungen in gleicher Weise bei Temperaturer- 

höhung ausdehnt, kann für die drei Raumrichtungen angesetzt werden: 

( 1 α Δ ) , ( 1 α Δ ) , ( 1 α Δ ) 

X = X + ⋅ T Y = Y + ⋅ T Z = Z + ⋅ T 

0 0 0 

Dann berechnet sich das Volumen des Körpers zu 

( ) ( ) ( ) 

V = X ⋅ Y ⋅ Z = X 1+ α ⋅ ΔT ⋅ Y 1+ α ⋅ ΔT ⋅ Z 1+ 

α ⋅ ΔT 

0 0 0 

3 

( ) ( ) 

= V 1+ α ⋅ ΔT ≈ V 1+ 3α 

⋅ ΔT 

0 

0 

wenn die höheren Terme in α vernachlässigt werden. 

Die Ausdehnung fester Körper bei Temperaturerhöhung muss bei der Konstruktion technischer Anlagen 

berücksichtigt werden, z.B. 

• Lücken in den Betonplatten bei Autobahnbelägen 

• Ausgleichskurven bei Rohranlagen chemische Anlagen oder bei der Erdölproduktion 

• Maßnahmen bei der Verlegung von Eisenbahnschienen 

• Lösen von ineinander gesteckten Verbindungen durch Erwärmen der einen Verbindung 

Bimetallstreifen: 

Zwei Metallstreifen mit unterschiedlichen Ausdehnungskoeffizienten werden aufeinandergewalzt. Eine Tem- 

peraturänderung führt dazu, dass die Streifen sich unterschiedlich ausdehnen, wodurch sich der Streifen 

krümmt. Anwendungen z.B. als elektrische Temperaturschalter bzw. Temperaturregler. 

4.2.2 Flüssigkeiten 

Bei Flüssigkeiten tritt bei Erwärmung stets eine Volumenänderung auf, da Flüssigkeiten keine Vorzugsrich- 

tung besitzen. Es gilt daher: 

( 1 γ Δ ) 

V = V + ⋅ T 

0 

wobei γ der Volumenausdehnungskoeffizient ist. 

Temperaturabhängigkeit der Dichte 

Wegen der Volumenausdehnung bei Temperaturerhöhung ändert sich auch die Dicht der Flüssigkeit:




m m 

ρ0 

ρ = = 

= 

V V T T 

0 

( 1+ γ ⋅ Δ ) ( 1+ 

γ ⋅ Δ ) 

• Eine Ausnahme dieses Verhaltens bildet Wasser. Nur bei Temperaturen über 8°C entspricht die Dichte- 

änderung dem obigen Gesetz. Dagegen zeigt Wasser bei 4°C die größte Dichte von ca. 1 g/cm 3 , die zu 

kleineren Temperaturen hin wieder abnimmt. Aus diesem Grunde schwimmt Eis auf dem Wasser und 

Gewässer frieren nicht bis zum Grund des Bodens durch. 

• Da der Volumenausdehnungskoeffizient von Flüssigkeiten um einige Größenordnungen größer ist als 

von Festkörpern ist bei der Lagerung von Flüssigkeiten darauf zu achten, dass bei Temperaturerhöhung 

das Gefäß nicht platzt. Bei der Lagerung von Wasser gilt dies auch beim Abkühlen! 

4.2.3 Gase 

Bereits bekannt ist das Gesetz von Boyle und Mariotte, welches die Proportionalität zwischen Druck und 

dem Kehrwert des Volumens beinhaltet 

Boyle-Mariotte: p m 

∝ , T = const. 

V 

Die Abhängigkeit des Volumens von der Temperatur wird ausgedrückt durch das Gesetz von 

Gay-Lussac: V( ϑ) = V ( + γ ⋅ ϑ) 

0 1 

wobei hier ϑ die Temperatur in °C darstellt. Dieses Gesetz besitzt in einem weiten Temperaturbereich sei- 

ne Gültigkeit. Die Proportionalitätskonstante γ ist für die meisten Gase nahezu identisch. Die Konstante 

berechnet sich aus der Steigung der Geraden im (V,ϑ )-Diagramm. 

Substitution: absolute Temperatur: T = 27315 , ° C + ϑ 

V 0 ist das Volumen des Gases bei ϑ = 0°C. Die Gerade 

kann extrapoliert werden bis zu dem Punkt, an dem sie 

die ϑ -Achse schneidet. Der Schnittpunkt ist die Tempe- 

ratur, bei der theoretisch das Volumen zu Null wird. Die- 

ser Schnittpunkt errechnet sich zu ϑ = -273,15 °C. 

Umformung: 

Dann lässt sich das Gesetz von Gay-Lussac auch schreiben als : 

T T 

V( T) = V0 

= V0 wennp = const. 

27315 , K T 

mit T = 27315 , 

K 

0 

0 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 273, 15° 

C + ϑ⎞ 

V( ϑ) = V0 

⎜1+ 

⋅ ϑ⎟ 

= V0 

⎜ 

⎟ 

⎝ 27315 , ° C ⎠ ⎝ 273, 15° 

C ⎠




Weitere Untersuchungen bezüglich der Abhängigkeit von Druck und Temperatur werden ebenso durch das 

Gesetz von Gay-Lussac ausgedrückt: 

p( T) p T 

= 0 wenn V = const. 

T 

0 

4.2.4 Die allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase: 

1. Ein Gas mit konstanter Menge werde bei konstantem Druck von T 0 auf T erwärmt: 

Gay-Lussac liefert V V T 

1 = 0 , p0 = const. 

T 

0 

2. Anschließend wird es bei konstanter Temperatur komprimiert: 

Boyle-Mariotte: V ⋅ p = V ⋅ p , T = const. 

1 0 

V0 ⋅ T ⋅p 0 V ⋅ p V0 ⋅p 0 p⋅ V 

⇒ V ⋅ p = ⇒ = ⇒ = const., m = const. 

T T T T 

0 

0 

Verschiedene Gase nehmen bei gleichem Druck und gleicher Temperatur entsprechend ihrer Dichte ver- 

schiedene Volumina ein, d.h. das Volumen ist der Masse proportional. Es gilt demnach: 

p ⋅ V 

= Rs ⋅m oder p⋅ V = Rs ⋅m ⋅ T 

T 

Dies ist die allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase. R s ist eine charakteristische Gasgröße und kann 

folgendermaßen ermittelt werden: 

p ⋅ V p ⋅ V 

= 

T T 

0 0 

0 

p ⋅ V 

= 

T 

m p V 

m T m m 

0 ⋅ 0 

⋅ = ⋅ 

⋅ 

p0 ⋅ V0 

⇒ p ⋅ V = ⋅m ⋅ T = RS ⋅ T 

T ⋅m 

p0 ⋅ V0 

⇒ RS 

= 

T ⋅m 

0 

0 

0 0 

0 

0 

Eine gebräuchlichere Form der allgemeinen Zustandsgleichung ergibt sich, wenn die Masse m des Gases 

durch die Anzahl der Atome bzw. Moleküle ausgedrückt wird. Dann gilt: 

p ⋅ V = N⋅ mM ⋅R S ⋅ T 

N: Anzahl der Moleküle, m M : Masse eines einzelnen Moleküls 

Gesetz des Avogadro: 

( 1) 

( ) 

N M 

N M 

2 

( ) 

( ) 

V M 

= 

V M 

0 1 

0 2




Gleiche Volumina verschiedener Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur eine 

gleiche Anzahl von Molekülen. 

Zurück zur allgemeinen Gasgleichung: p ⋅ V = N⋅ mM ⋅R S ⋅ T 

R 

p0 ⋅ V0 

p0 ⋅ V0 

p0 ⋅ V0 

= ⇒ m ⋅ R = m ⋅ = 

T ⋅m T ⋅m 

T ⋅N 

S M S M 

0 

0 

Da der Ausdruck V0 

nicht mehr von der Gasart abhängig ist, ist mM ⋅ RS 

konstant. 

N 

Boltzmannkonstante: k = m ⋅ R = 138065 ⋅10 

23 

, 

M S 

Zustandsgleichung: p ⋅ V = N ⋅ k ⋅ T 

0 

Bezogen auf molare Größen lässt sich die Anzahl der Teilchen durch die Stoffmenge und die Avogadro- 

konstante ausdrücken: 

N 

ν = = ⋅ 

N N , A 6, 022 10 

A 

23 

1 

mol 

Dann ergibt sich durch Einsetzen in die Gasgleichung: 

Zustandsgleichung: p⋅ V = ν ⋅N ⋅k ⋅ T = ν ⋅R ⋅ T 

Nm 

allgemeine Gaskonstante: R = NA ⋅ k = 8, 314 

molK 

4.3 Kinetische Gastheorie 

A 

Bisher wurden die thermodynamischen Größen wie Druck und Temperatur als phänomenologische Größen 

bzw. Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen betrachtet. Über Ihren Ursprung ist bisher jedoch noch 

nichts bekannt. 

Brownsche Molekularbewegung: 

Nm 

K 

Erste Hinweise über die Herkunft der Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten kamen von dem Biologen 

Brown (1827) mit der Entdeckung, dass sich in Flüssigkeiten befindliche größere Stoffe in Zick-Zack- 

Bewegungen durch die Flüssigkeit bewegen. Daraus ist zu folgern, dass diese Teilchen von anderen Teil- 

chen angestoßen werden. Diese Zitterbewegung verstärkt sich, je höher die Temperatur ist. 

4.3.1 Gasgleichungen 

Die Herleitung der Gasgleichungen kann mit Hilfe der kinetischen Gastheorie geschehen. Hier wird die fol- 

genden Annahmen gemacht 

• das Gas oder Flüssigkeit besteht aus einer Anzahl von gleichartigen Atomen oder Molekülen




• Die räumliche Ausdehnung der Moleküle ist klein gegenüber dem Gefäßvolumen, d.h. sie können wie 

Massenpunkte behandelt werden 

• Die einzigen Wechselwirkungen zwischen den Molekülen sind elastische Stöße 

Jedes Molekül, das auf eine Wand stößt, übt entsprechend dem Impulserhaltungssatz einen Kraftstoß auf 

diese Wand aus. Der Kraftstoß ist um so größer je größer die Geschwindigkeit des Moleküls senkrecht zur 

Wand ist. 

Δt 

a 

= 

v1 

Annahme: es befindet sich ein Molekül der Masse m M im Würfel mit 

der Kantenlänge a. Das Molekül fliege parallel zu einer Seite mit der 

Geschwindigkeit v 1 und treffe auf eine Wand. Der Impulsübertrag 

auf die Wand ist gemäß den Stoßgesetzen: 

Δp = 2 ⋅m ⋅ v 

1 M 1 

Nach dem Stoß gegen die Wand bewegt sich das Molekül in entge- 

gengesetzte Richtung und stößt auf die gegenüberliegende Wand. 

Die Zeit zum durchqueren des Würfels beträgt 

An dieser Wand wird das Molekül wieder reflektiert. Die Anzahl der Stöße pro Zeit an einer Wand ist dem- 

nach: 

1 v1 

= 

2 ⋅ Δt 2 ⋅ a 

Die von diesem Molekül auf die Wand ausgeübte Kraft ist somit 

F 

1 

p 2 m v v 

= = 

2⋅ 

t 2 a 

⋅ ⋅ ⋅ 

Δ 

Δ ⋅ 

m ⋅ v 

= 

a 

M 1 1 M 

2 

1 

Wenn sich nun N Moleküle im Würfel befinden so bedeutet dies, dass alle N Moleküle unterschiedliche 

Geschwindigkeiten haben. Ferner bewegen sich im Mittel nur 1/3 der Moleküle in der gleichen Richtung wie 

das erste Molekül. Somit berechnet sich die Gesamtkraft auf eine Wand: 

1 mM 

F = 1 + 2 + + 

3 a 

2 2 2 

( v v ... v ) 

N 

Mit der Definition des mittleren Geschwindigkeitsquadrates 

v 

2 

wird 

= 

2 2 2 

( v + v + ... + v ) 

1 

1 N ⋅ m 

F = 

3 a 

M 

2 

N 

v 

2 

N




Der Druck berechnet sich aus der Kraft F, die auf eine Fläche wirkt. Der Druck ist auf alle Flächen gleich 

F 1 N⋅ m 

p = 2 = 3 

a 3 a 

v 

N m 

V v 

1 ⋅ 

= 

3 

M 2 M 2 

N m M ist gerade die Gesamtmasse des Gases. Die Gleichung lässt sich somit umformen zu 

1 

1 

p⋅ V = m⋅ v ⇔ p = ρ ⋅ v 

3 

3 

2 2 

Dies ist aber nichts anderes als das Boyle-Mariottsche Gesetz. 

Dieser Zusammenhang ermöglicht die Berechnung mikroskopischer Größen aus makroskopischen Größen. 

Die mittlere Geschwindigkeit von identischen Molekülen in einem Volumen lässt sich errechnen aus: 

2 

vm = v = 

Beispiel: 

3 ⋅p 

ρ 

Im Normalzustand (1013 hPa, T=0°C) hat Stickstoff die Dichte ρ = 1,25 kg/m 3 . Dann ist die mittlere Ge- 

schwindigkeit der Stickstoffmoleküle: 

v 

m = 

3 ⋅1013 , ⋅10 

125 , 

5 

N 

m 

2 

3 

m 

kg 

= 493 

m 

s 

4.3.2 Mittlere kinetische Energie der Moleküle, Gleichverteilungssatz 

Aus der obigen Beziehung 

1 

p⋅ V = m⋅ v 

3 

2 

folgt durch Einsetzen in die allgemeine Gasgleichung: 

1 2 

p⋅ V = m ⋅ v = N⋅ k ⋅ T 

3 

Die Gleichung lässt sich umformen zu 

1 2 2 m⋅ v 2 N⋅m M ⋅ v 

m⋅ v = = 

3 3 2 3 2 

2 2 

= N⋅ k ⋅ T 

Hieraus folgt für die kinetische Energie eines Moleküls: 

E 

kinM , = 

mM ⋅ v 

2 

2 

3 

= k ⋅ T 

2 

Die kinetische Energie der Moleküle ist der absoluten Temperatur proportional. Die Energie hängt nicht von 

der Molekülart ab.




Verallgemeinerung: Die Bewegung der Moleküle setzt sich aus drei Koordinaten zusammen. Im Mittel trägt 

also jede Raumrichtung einen Energieanteil von 1 

2 

namik: 

1 

Pro Freiheitsgrad erhält ein Molekül eine Energie von Wf = k ⋅ T 

2 

f: Anzahl der Freiheitsgrade. 

k ⋅ T. 

Dies ist eine allgemeine Regel in der Thermody- 

Besteht ein Gas aus einatomigen Molekülen, so besitzt ein Molekül drei Freiheitsgrade, nämlich die drei 

Raumrichtungen. Bei mehratomigen Molekülen kommen noch weitere Freiheitsgrade hinzu. 

Beispiel: Wasserstoffmolekül: 

Ein Wasserstoffmolekül kann sich zusätzlich um die Achsen 1 und 2 dre- 

hen. Diese Drehung kann beim Stoßvorgang angeregt werden. Eine Dre- 

hung um Achse 3 kann durch reine elastische Stöße nicht angeregt werden. 

Hierzu ist weitere kinetische Energie notwendig. Das Molekül erhält hier- 

durch zwei weitere Freiheitsgrade. 

mit mehr als zwei Atomen haben i.a. auch mehr Freiheitsgrade. 

4.3.3 Boltzmannfaktor: 

Eine Funktion der Art 

e 

ΔE 

− 

k T 

pot ⎛ ΔEpot 

⎞ 

⋅ = exp ⎜− 

⎟ 

⎝ k ⋅ T ⎠ 

5 

Die Gesamtenergie des Moleküls ist demnach Eges = k ⋅ T . Moleküle 

2 

Gleichverteilungssatz: 

Die thermische Energie verteilt sich gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade. 

ist als Boltzmannfaktor bekannt und spielt in der Physik eine große Rolle bei temperaturabhängigen Er- 

scheinungen, z.B. bei 

• Leitfähigkeit von Halbleitern 

• Diodenkennlinien 

• Glühemission 

• Verdampfung von Flüssigkeiten 

In der statistischen Physik gibt der Boltzmannfaktor die Wahrscheinlichkeit an, mit der Zustände, die ein 

Potential bzw. eine Energie E besitzen, besetzt sind.

23 

dN/dv [s/m] , N = 6 10 

N( v) 

dv 




2 

⎛ mM 

⎞ 2 ⎛ mM ⋅ v ⎞ 

2 

= 4 ⋅ π ⋅N⋅ ⎜ ⎟ ⋅ v ⋅ exp ⎜− 

⎟ 

⎝ 2⋅ π ⋅k ⋅ T⎠ 

⎝ 2⋅ 

k ⋅ T ⎠ 

3 

Mit Hilfe dieser Berechnungen lässt sich in 

einem Gas die Geschwindigkeitsverteilung der 

Moleküle berechnen. Auch hier spielt der Boltz- 

mannfaktor eine Rolle. Er gibt die Wahrschein- 

lichkeit an, dass ein Molekül die kinetische 

Energie 1/2mv 2 besitzt. 

Es gilt (ohne Herleitung) für die Anzahl der 

Moleküle die im Geschwindigkeitsintervall 

[ v, v + dv] 

liegen: 

Das Integral über die gesamte Kurve liefert gerade die Gesamtteilchenzahl N 

Aus der obigen Beziehung lassen sich einige Größen ableiten: 

1. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit aller Teilchen ergibt sich aus dem Maximum der Kurve: 

v 

w 

= 

2⋅ 

k ⋅ T 

m 

M 

2. Im Mittel gibt es jedoch mehr Moleküle mit größeren Geschwindigkeiten als v w . Das arithmetische Mit- 

tel über die Geschwindigkeiten ist 

4 

v = ⋅ v ≈ 113 , ⋅ v 

π 

w w 

3. Das in der kinetischen Gastheorie eingeführte mittlere Geschwindigkeitsquadrat hat den Wert: 

2 3 

v = v = ⋅ v ≈ 122 , ⋅ v 

2 

m w w 

4. Mittlere freie Weglänge: Aus den Betrachtungen der Stoßwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der mittle- 

ren Geschwindigkeit der Moleküle und ihrem Durchmesser lässt sich die mittlere freie Weglänge berechnen. 

Sie gibt den Weg an, den ein Molekül im Mittel frei, d.h. ohne Stoßvorgang fliegen kann. 

l = 

1,20E+021 

1,00E+021 

8,00E+020 

6,00E+020 

4,00E+020 

2,00E+020 

0,00E+000 

1 1 

= 

2 ⋅n ⋅ π ⋅d 

2 ⋅ π ⋅d 

n N p 

= = N 

V N⋅ k ⋅ T 

2 2 

M M 

k ⋅ T 

p 

d M ist der Durchmesser des Moleküls. 

Beispiel: 

T=300K 

v w 

v 

v 2 

2 

N( v) 

m 2 

M 2 m M v 

= 4 π N 

v exp 

- 

dv 

2 π k T 

2 k T 

Geschwindigkeitsverteilung von 

Stickstoffmolekülen bei versch. Temperaturen 

v w 

v 

v 2 

0 500 1000 1500 2000 

Geschwindigkeit [m/s] 

3 

T=900K 

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit von Stickstoff ist unter Normalbedingungen (1013 hPa, T=0°C):

v 

w 




kT 

Nm 

m 

K K −23 

2 2⋅ 138 , ⋅10 ⋅273 

1 

= = 

−27 

⋅ ⋅ = 403 

28 ⋅166 , ⋅10 

kg 

M 

m 

⇒ v = 113 , ⋅ vw 

= 455 

s 

m 

⇒ vm = 122 , ⋅ vw 

= 491 

s 

Die mittlere freie Weglänge berechnet sich mit einem Moleküldurchmesser von etwa 2*10 -10 m dann zu: 

l = 

− 

1 k ⋅ T 1 138 ⋅10 ⋅ 273 1 

= 

2 

2 ⋅ ⋅ d p 10 

2 ⋅ ⋅ 2⋅10 1013 ⋅10 

m 

2 

23 

, 

π π 

, 

M 

Die mittlere Stoßzeit beträgt dann 

l 209 ⋅10 

Δt = = 

v 491 

m 

−9 

m s 

m 

− ( ) 

−12 

= 426 ⋅ 10 s = 426ps 

m 

s 

5 2 

2 

N⋅ m m 

K 

K N 

1 

Oder die Zahl der Stöße eines Moleküls pro Sekunde: Z = = 2 35 ⋅10 

t s 

1 9 

, 

Δ 

4.4 Die Hauptsätze der Thermodynamik 

4.4.1 Wärme und Innere Energie 

−9 

= 209 ⋅ 10 m = 209nm 

Aus der kinetische Gastheorie folgt, dass die Temperatur ein Maß für die mittlere kinetische Energie der 

Moleküle darstellt. Werden zwei Körper miteinander in Kontakt gebracht, so lässt sich empirisch feststellen, 

dass sich ihre Temperatur angleicht. Ein Teil der kinetischen Energie wird von Körper 1 (Abkühlung) auf 

Körper 2 (Erwärmung) übertragen. Diese Energieübertragung wird als Wärme bezeichnet. 

Wärme: 

• Maß für die Übertragung von Energie 

• Der Wärmeübergang geschieht stets irreversibel in Richtung der geringeren Temperatur. 

• Bei Phasenumwandlungen wird die Energie dazu benutzt, einen anderen Aggregatzustand einzunehmen 

(latente Wärmen) 

• Eine Zufuhr von Wärme führt stets zu einer Temperaturerhöhung 

In kleinen Temperaturintervallen ist die Zufuhr von Wärme proportional zur Temperaturerhöhung des Kör- 

pers, d.h. es gilt: 

dQ = C ⋅ dT 

Da Wärme eine Energieform ist, hat Q die Einheit J. Die Proportionalitätskonstante C [J/K] ist die Wärme- 

kapazität eines Stoffes. C hängt von der Stoffart und der Masse des Stoffes ab. 

Es gelten die folgenden Definitionen:




spezifische Wärmekapazität: c C 

= 

m 

molare Wärmekapazität: C 

m = 

⎡ J ⎤ 

⎢ 

⎣K 

⋅kg 

⎥ 

⎦ 

C ⎡ J ⎤ 

ν ⎢ 

⎣K 

⋅mol⎥ 

⎦ 

Die Wärmekapazität ist nur in kleineren Temperaturintervallen eine Konstante. I.a. hängt sie auch von der 

Temperatur ab. Die obige Gleichung lässt sich mit den Definitionen umformen zu: 

( ) ν ( ) 

Q = m ⋅c ⋅ T − T = ⋅ C ⋅ T − T 

21 2 1 m 2 1 

Beispiel: 

Die mittlere Spezifische Wärmekapazität von Eisen beträgt: c 

Fe = 

J 

540 

K ⋅kg 

Für die Erwärmung von 0,8 kg Eisen von 20°C auf 400°C wird eine Wärme von 

J 

Q21 = m ⋅c ⋅( T2 − T1) = 0, 8kg⋅ 540 ⋅ 380K = 164kJ 

kg⋅K benötigt. Mit der gleichen Energie könnte das Eisenstück von 0 auf 640 m/s beschleunigt werden! 

Die Bestimmung von Wärmekapazitäten von Festkörper erfolgt i.a. mittels der Kalorimetrie. Hierzu wird ein 

Festkörper in ein mit einer Flüssigkeit gefülltes Dewar-Gefäß getaucht. Wenn sich Flüssigkeit und Körper zu 

Anfang nicht auf der gleichen Temperatur befunden haben, Stellt sich nach einiger Zeit in der Flüssigkeit 

eine Gleichgewichtstemperatur ein. Für die Wärmebilanz gilt: 

( ) ( ) ( ) 

m ⋅ c ⋅ T − T + C ⋅ T − T = m ⋅ c ⋅ T − T 

Fl Fl m Fl K m Fl x x x m 

m , c , T : Masse, spez. Wärmekapazität und Anfangstemperatur der Flüssigkeit 

Fl Fl Fl 

m , c , T : Masse, spez. Wärmekapazität und Anfangstemperatur des Körpers 

x x x 

T : Mischungstemperatur 

m 

C : Wärmekapazität des Kalorimeters 

K 

⇒ C = 

x 

( mFl ⋅ cFl + CK ) ⋅( Tm − TFl 

) 

m ⋅( T − T ) 

x x m 

Die Bestimmung der Wärmekapazität von Gasen ist i.a. schwieriger, da die Wärmekapazität um ein Vielfa- 

ches geringer ist als bei Festkörpern. Bei der Kalorimetrie würde demnach die Wärmemenge, die ein Gas- 

volumen abgeben kann, nur zu einer sehr geringen Temperaturerhöhung im Kalorimeter führen. 

Innere Energie 

Die gesamte thermische Energie, die in einem Körper steckt, wird als Innerer Energie U bezeichnet. Diese 

Energie lässt sich nur ändern, wenn 

• dem Körper Wärme zu- oder abgeführt wird (Erwärmen, Abkühlen),




• wenn mechanische Arbeit an dem Körper geleistet wird (Umwandlung von Bewegungsenergie in Wär- 

me), 

• oder andere Energieformen (chemische, elektrische usw.) umgewandelt werden. 

Im folgenden seien nur Wärme und mechanische Energien betrachtet. Dann lautet der Energiesatz: 

dU = δQ + δ W 

Die innere Energie ändert sich mit der Änderung der Wärme oder durch die Änderung mechanischer Ener- 

gie: 

δQ > 0, δW 

> 0 : Dem System wird Wärme bzw. mech. Energie zugeführt. 

δQ < 0, δW 

< 0 : Das System gibt Energie in Form von Wärme oder mechanische Arbeit ab. 

Die Innere Energie ist eine Zustandsgröße, d.h. nur von dem momentanen Zustand des Stoffes abhängig. 

Wie diese Größe erreicht wird ist dabei gleichgültig. Dagegen sind die Wärme Q und die Arbeit W Prozess- 

größen, d.h. ihre Größen richten sich nach der Art und Weise der Zustandsänderung. 

Ideale Gase: 

Bei idealen Gasen war die mittlere kinetische Energie proportional zur Temperatur. Unter Vernachlässigung 

der potentiellen Energie der Gasmoleküle ist dies die einzige Energieform, die in einem idealen Gas auftritt. 

Ferner galt: 

E 

kin 

f 

= k ⋅ T 

2 

wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade ist (f=3 bei einatomigen Gasen, f=5 bei hantelförmigen Gasmolekü- 

len) 

Die gesamte innere Energie ist demnach: 

U N E N f f 

= ⋅ kin = k ⋅ T = ν R⋅ T 

2 2 

Zustandsänderungen können gemäß der obigen Zustandsgleichung vorgenommen werden durch Wärme- 

abgabe (=Temperaturerniedrigung) oder mechanische Arbeit (Volumenänderung) 

Mechanische Arbeit: 

Gegeben sei ein beweglicher Stempel, der eine Kompression eines 

Gases in einem Volumen ermöglicht. Eine Druckänderung würde z.B. 

eine Volumenänderung bei konstanter Temperatur hervorrufen. 

dW = F⋅ ds = p⋅ A ⋅ ds = p⋅ dV = 0, wennV = const.

Isochore Zustandsänderung: 




Die gesamte Arbeit errechnet sich somit aus 

V 

( ) 

W = p V ⋅dV 

12 

V 

2 

∫ 

1 

Die mechanische Arbeit ist eine Prozessgröße und davon ab- 

hängig, auf welche Art die Volumenänderung vorgenommen 

wurde. Die Integration über den Weg b liefert ein anderes Er- 

gebnis als die Integration über Weg a! 

Bei der isochoren Zustandsänderung bleibt das Volumen konstant: 

V = const. ⇒ δW = 0 

Dann wird die Zustandsgleichung zu 

dU Q N f f 

= δ V= const. 

= k ⋅ dT = ν R⋅ dT 

2 2 

Aus dieser Gleichung lassen sich sofort die Wärmekapazitäten bestimmen. Mit dU 

dT 

dU N⋅ k m⋅R C V = = f = f 

dT 2 2 

1 dU RS 

cv = = f 

m dT 2 

1 dU R 

Cv, 

m = = f 

ν dT 2 

Isobare Zustandsänderung: 

S 

δ QV 

= const. 

= 

dT 

Bei einer isobaren Zustandsänderung bleibt der Druck konstant. Wegen der Ausdehnung des Gases muss 

die zugeführte Energie neben der Erhöhung der inneren Energie noch einen Anteil zur Vergrößerung des 

Volumens aufbringen, d.h. 

δQp= const. 

= dU + δW 

= dU + p⋅ dV 

Für die Wärmekapazitäten gilt demnach: 

C 

c 

d 

dT 

dW 

dT 

( ) 

C 

d 

= U + W = c 

m⋅ dT 

p dV 

+ 

m dT 

⋅ 

⋅ 

= ( U + W) = C + = + ⋅ 

p v v 

p v 

p dV 

dT 

Aus der allgemeinen Zustandsgleichung folgt durch differenzieren nach T und p=const.: 

folgt

d d 

dT dT 

p dV 

⋅ = N⋅ k 

dT 

( p⋅ V) 

= ( N⋅k ⋅ T) 




Eingesetzt in obige Gleichung liefert dies 

C = C + N⋅ k 

p v 

c = c + R 

p v S 

Definitionen: 

Adiabatenkoeffizient: 

cp 

χ = = 

c 

Enthalpie: H = U + p⋅ V ⇒ C = 

v 

p 

( ) 

f + 2 

f 

dH 

dT 

spezifische Enthalpie: h H 

m c = ⇒ p = 

dh 

dT 

Die Enthalpie spielt bei der Reaktionskinetik in der Chemie eine große Rolle. In der Enthalpie sind bei Zu- 

standsänderungen die Volumenänderungen mit enthalten. In der Chemie verlaufen Prozesse so, dass die 

(freie) Enthalpie einen minimalen Wert erreicht. Nähere Ausführungen werden in der physikalischen Chemie 

behandelt. 

Wärmekapazitäten von Festkörpern 

Festkörper dehnen sich im Vergleich zu Gasen bei der Erwärmung kaum aus. Das bedeutet, dass ihre spe- 

zifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck bzw. Volumen annähernd gleich sind. 

c 

c 

v 

p 

≈ 1 

Festkörper bestehen aus Atomen, deren Lage zueinander fest ist. Die Atome können bei Zufuhr von Wärme 

(T0K) jedoch Schwingungen gegeneinander ausführen. Diese Gitterschwingungen werden in der Quan- 

tentheorie Phononen genannt. Im Mittel ist die kinetische Energie der Schwingungsbewegung und die po- 

tentielle Energie, die durch die Umwandlung der kinetischen Energie beim Bremsvorgang aufgebaut wird, 

gleich. Jeder Anteil wird mit einem Freiheitsgrad belegt. Ferner kann das Atom noch in drei Raumrichtun- 

gen schwingen. Die Innerer Energie berechnet sich somit als mit f = 2 ⋅ 3 = 6 

N⋅ k ⋅ T 

U = ( 2⋅ 3) 

⋅ = 3 ⋅N ⋅k ⋅ T 

2 

Da bei der Erwärmung praktisch keine mechanische Arbeit geleistet wird, gilt: 

dU 

c = 

m⋅ dT 

= 3 

⋅ 

R S

molare Wärmekapazität Cm [kJ/(kmol K)] 

25 

20 

15 

10 

5 




Für die molare Wärmekapazität gilt entsprechend: 

dU 

J 

Cm 

= = 3 ⋅ R = 2 5 ⋅10 

ν ⋅dT 

kmol⋅K 4 

, 

Diese Beziehung gilt für Festkörper, die pro Gitterplatz nur ein 

Atom haben. Ferner muss die Temperatur genügend hoch sein. 

Ein ähnliches Verhalten zeigt sich bei Gasen. Auch hier ist eine ausgeprägte Temperaturabhängigkeit zu 

beobachten. 

isochore molare 

Wärmekapazität 

[J/(mol K)] 

Molekülform Freiheitsgrade 

Transl. Rot. Oszil. ges. 

Punktförmig 

starre Hantel 

schwingende Hantel 

mehratomig, starr 

30 

20 

10 

3 

3 

3 

3 

- 

2 

2 

3 

Raumtemperatur 

20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 

Temperatur [K] 

Wenn die Temperaturen sinken, werden auch die Wärmekapazitäten kleiner, d.h. der Stoff ist nicht mehr in 

der Lage, die Menge an thermischer Energie aufzunehmen, wie bei höheren Temperaturen. Dieses Verhal- 

ten führte Anfang dieses Jahrhunderts zu großen Verwirrungen in der Physik, da es keine Theorie gab, die 

dieses Verhalten klären konnte. Erst die quantenmechanische Betrachtung lieferte eine Erklärung für dieses 

Phänomen. 

Blei 

Kupfer 

Eisen 

Beryllium 

100 200 300 400 500 

Temperatur [K] 

Kohlenstoff 

(Diamant) 

Durch die Quantisierung von Energiezuständen muss eine Mindestenergie aufgebracht werden um einen 

Rotations- bzw. Schwingungszustand anzuregen. Das bedeutet, dass sich Gase bei tiefen Temperaturen 

- 

- 

2 

- 

3 

5 

7 

6 

C m,V 

J 

mol K 

12,47 

20,79 

29,10 

24,94 

C m,p 

J 

mol K 

20,79 

29,10 

37,41 

33,26 

7/2 R 

5/2 R 

3/2 R 

χ 

1,67 

1,4 

1,29 

1,33




wie einatomige Gase verhalten. Bei Temperaturanstieg wird dann genug thermische Energie in das System 

geführt, um Rotationen der Moleküle anzuregen. Die quantenmechanische Betrachtung liefert dabei 

E 

rot,min 

1 h 

= 

2 J 

wobei J das Trägheitsmoment des Moleküls und h das Plancksche Wirkungsquantum darstellen. Zu noch 

höheren Temperaturen hin werden dann auch Schwingungszustände des Moleküls angeregt, wodurch die 

Wärmekapazität des Gases weiter steigt. 

4.4.2 Zustandsänderungen idealer Gase 

Erster Hauptsatz der Thermodynamik 

Jedes thermodynamische System hat ein Innerer Energie U. Bei irgendeiner Zustandsänderung des Sys- 

tems ist die Änderung der Inneren Energie gleich der Summe der zugeführten Wärmen und zugeführten 

Arbeit vermindert um die vom System verrichtete Arbeit und der abgeführten Wärme. 

dU = dQ + dW − dQ − dW 

zu A, zu ab A, ab 

Andere Formulierung: 

Es gibt kein pertuum mobile erster Art 

Es gibt keine Maschine die Arbeit abgibt, ohne die entsprechende Ener- 

gie aus einer äußeren Energiequelle zu schöpfen. 

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik wird oft auch als Energiesatz bezeichnet: Er besagt, dass keine 

Energie verloren geht. Über die Art der Energieumwandlung gibt er jedoch keine Auskunft. 

Isotherme Zustandsänderung: 

p ⋅ V 

= const. bei T = const. 

m 

Es gilt: 

W pdV 

A 

V 

2 

= −∫ 

V1 

Q’ 

W 

Thermodynamisches 

System 

S 

W’ 

Q 

Im PV-Diagramm (Arbeitsdiagramm) stellen die Isothermen 

Hyperbeln dar. Der Übergang von Zustand 1 auf 2 heißt iso- 

therme Ausdehnung 

Bei der isothermen Ausdehnung muss nach außen Arbeit ver- 

richtet werden. Die Ausdehnung des Volumens geschieht gegen 

den äußeren Druck. Daher wird dem System Energie entzogen.




Da bei konstanter Temperatur die Innere Energie gleich bleibt, muss der gleiche Energieinhalt in Form von 

Wärme zugeführt werden: 

A 0 12 A, 

12 

dU = dQ + dW = ⇒ ΔQ 

= −W 

V 

Q pdV mit p N k T 

2 

1 

Δ = ∫ 

= ⋅ ⋅ 

V 

V 

1 

V 

Q N k T 

2 

⎛ V ⎞ 

1 

2 

⇒ Δ = ∫ ⋅ ⋅ dV = N⋅k ⋅ T1 

⋅ln⎜ 

⎟ 

V ⎝ V ⎠ 

V 

1 

1 

Verläuft die Zustandsänderung in umgekehrte Richtung, so wird dieser Vorgang isotherme Kompression 

genannt. Der gleiche Energiebetrag wird dabei in Form von Wärme abgeführt. 

Isochore Zustandsänderung: 

T 

p 

= const. bei V = const. 

Im pV-Diagramm ist eine Isochore durch den Übergang von Zustand 2 zu Zustand 3 gegeben. Bei der iso- 

choren Zustandsänderung wird keine Arbeit geleistet. Die Erhöhung bzw. Erniedrigung der Inneren Energie 

wird nur durch zu- bzw. abgeführte Energie erreicht. Für den Übergang 2 --> 3 (isochore Duckerhöhung) gilt 

dU = dQ mit U = C ⋅ T 

T 

∫ 

( ) 

⇒ ΔQ = dU = C ⋅ T − T = C ⋅ ΔT 

T 

2 

1 

v 

v 2 1 v 

Isobare Zustandsänderung: 

T 

V 

= const. bei p = const. 

Eine isobare Expansion ist im Diagramm dargestellt durch den Übergang des Zustandes 1 zum Zustand 4. 

Die isobare Kompression erfolgt durch den umgekehrten Übergang. 

Es gilt für die isobare Zustandsänderung: 

dU = dQ + p ⋅dV 

U 

( ) ( ) 

⇒ ΔQ 

= dU + p ⋅ dV = C ⋅ T − T + p⋅ V − V 

U 

2 

V 

∫ ∫ 

1 

V 

2 

1 

V 

2 1 2 1 

Bei der Erwärmung eines solchen Systems wird sowohl die innere Energie erhöht und damit die Temperatur 

als auch Arbeit nach außen verrichtet. Die Arbeit entspricht der Volumenänderung bei konstantem Druck. 

Bei der Ausdehnung wird die Arbeit 

( ) ( ) 

WA = −p V − V = −N⋅ k ⋅ T − T 

2 1 2 1 

nach außen verrichtet.

Vergleich: 




Bei der isochoren Zustandsänderung wurde die zugeführte Wärme nur dazu benutzt, die innere Energie 

bzw. Temperatur zu erhöhen. Bei der isobaren Zustandsänderung muss die Zugeführte Wärme dazu be- 

nutzt werden, sowohl die Temperatur als auch das Volumen zu Vergrößern. Daher gilt stets: 

cp > c V 

Adiabatische Zustandsänderung: 

Bei der adiabatischen Zustandsänderung wird im System keine Wärme zu- bzw. abgeführt. 

dU = −p ⋅ dV bei Q = const. bzw. dQ = 0 

⇒ C ⋅ dT + p⋅ dV = 0 

V 

1 

⇒ C ⋅ dT + N⋅ k ⋅ T ⋅ ⋅ dV = 0 

V 

V 

C dT dV 

⇒ V ⋅ + N⋅ k ⋅ = 0 

T V 

Aus der Integration ergibt sich: 

T 

( Cp C V ) 

C dT 

2 

V = − − 

T 

T1 

1 

V2 

∫ ∫ 

V1 

dV 

V 

( C C ) 

⎛ T2 

⎞ 

⎛ V2 

⎞ 

⇒ CV 

⋅ln⎜ 

⎟ = − p − V ⋅ln⎜ 

⎟ 

⎝ T ⎠ 

⎝ V ⎠ 

Durch Umformen entsprechend den Logarithmusregeln folgt: 

( ) 

⇒ 

( ) 

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 

⎜⎜ 

⎟ ⎟ 

⎜ 

⎝⎝ 

⎠ ⎟ 

⎠ 

= 

⎛ 

⎛ ⎞ 

⎞ 

⎜ 

⎜ ⎟ 

⎟ 

⎜ 

⎝ 

⎝ ⎠ ⎟ 

⎠ 

⇒ ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ = 

⎝ ⎠ 

⎛ 

CV − Cp −C 

V 

T2 

V2 

ln ln 

T1 

V1 

CV − Cp −CV 

T V ⎞ 

2 

2 

⎜ ⎟ 

T ⎝ V ⎠ 

1 

Somit ergibt sich schließlich: 

1 

1 

χ−1 χ−1 χ−1 

T ⋅ V = T ⋅ V oder T ⋅ V = const. 

1 1 

2 2 

χ χ χ 

p ⋅ V = p ⋅ V oder p⋅ V = const. 

1 1 2 2 

χ 1−χ 

χ 1−χ χ 1−χ 

T ⋅ p = T ⋅p oder T ⋅ p = const. 

1 1 

2 2

Polytrope Zustandsänderung: 




Berechnung der verrichteten Arbeit: 

V2 

W = p⋅ dV = 

12 

V1 

V2 

∫ ∫ 

V1 

p ⋅ V 

χ 

χ−1 

p ⋅ V ⎡⎛ 

V ⎞ ⎤ 

⋅ dV = ⎢⎜ 

⎟ −1⎥ 

χ −1 

⎝ V 

⎣⎢ 

⎠ 

⎦⎥ 

1 

χ 

1 1 1 1 

χ 

V 

2 

Andererseits ist wegen dQ=0 die verrichtete Arbeit gleich der 

Änderung der inneren Energie, also gilt auch 

( ) 

W = m ⋅c T − T 

12 V 2 1 

Die isotherme und die adiabatische Zustandsänderungen sind Grenzfälle. Isotherme Zustandsänderungen 

müssen entweder unendlich langsam durchgeführt werden, um dem System genügend Zeit zum Energie- 

austausch zu geben. Bei adiabatischen Änderungen muss der Wärmeaustausch mit der Umgebung voll- 

ständig ausgeschlossen werden. Eine reale Zustandsänderung liegt meist zwischen der isothermen und 

adiabatischen Zustandsänderung und wird bezeichnet als 

n 

Polytrope Zustandsänderung: p⋅ V = const. wobei χ > n > 1 

4.4.3 Kreisprozesse 

Ein Prozess, der aus einer Reihe von Zustandsänderungen zusammengesetzt ist und wieder im Anfangszu- 

stand des Systems endet, wird Kreisprozess genannt. Thermodynamische Kreisprozesse sind irreversible 

Prozesse, d.h. es muss stets Energie zugeführt werden, um den Ausgangszustand wieder zu erreichen. 

Arbeit abgegeben als hineingesteckt wurde. 

Beispiel: 

Beim Durchlaufen der Zustandsänderung im Uhrzeigersinn gelangt 

das System von 1 über 2 wieder nach 1. Die Innere Energie ist 

demnach wieder dieselbe, da wieder derselbe Zustand erreicht ist. 

Die verrichtete Arbeit zur Kompression des Gases über den unte- 

ren Weg von 1 nach 2 ist jedoch kleiner als die Arbeit, die das Sys- 

tem von 2 nach 1 wieder abgibt. Das System hat demnach mehr 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 

Für den Kreisprozess gilt demnach dU = dQ + dW = dQ − p⋅ dV = 

T 1 

Thermodynamische 

Maschine 

T 2 

Q 1 

Q 2 

W 

Kraftmaschinenprozess: 

• Umlauf im Uhrzeigersinn 

• Es wird mechanische Nutzarbeit abgegeben. 

• Wärme wird bei hoher Temperatur aufgenommen und bei tiefer abgegeben 

• Verbrennungsmotor, Wärmekraftmaschine

T 1 

Thermodynamische 

Maschine 

T 2 

Carnotscher Kreisprozess 




Arbeitsmaschinenprozess 

• Umlauf gegen den Uhrzeigersinn 

• Differenz der ab- und zugeführten Wärme wird als mechanische Arbeit zugeführt 

• Wärme wird bei tiefer Temperatur aufgenommen und bei hoher abgegeben 

• Kältemaschine, Wärmepumpe 

Mit diesem Prozess kann bei einer periodisch arbeitenden Maschine Wärme aufgenommen und Arbeit ab- 

gegeben werden. Der Prozess verläuft zwischen zwei Isothermen und zwei Adiabaten. Der Prozess wird im 

Uhrzeigersinn durchlaufen, die verwendete Gasmenge bleibe konstant: 

Zustand 3 --> Zustand 4 

isotherme Expansion: 

⎛ V4 

⎞ 

Abgeführte Arbeit: W34 = −ν ⋅R ⋅ T2 

ln ⎜ ⎟ < 0 

⎝ V ⎠ 

zugeführte Wärme: Q34 = − W34 

> 0 


adiabatische Expansion 

W = − ⋅C ⋅ T − T = − W < 

41 ν m, V 1 2 23 0 

Abgeführte Arbeit: ( ) 

3 


isotherme Kompression: 

⎛ V1 

⎞ 

Zugeführte Arbeit: W12 = ν ⋅R ⋅ T1 

ln ⎜ ⎟ > 0 

⎝ V ⎠ 

abgegebene Wärme: Q12 = − W12 

< 0 


adiabatische Kompression: 

Zugeführte Arbeit: W C ( T T ) 

23 = ν ⋅ m, V ⋅ 2 − 1 > 0 

Die Nutzarbeit pro Zyklus errechnet sich aus dem Flächeninhalt des umkreisten Gebietes im pV-Diagramm. 

Es gilt: 

Q 1 

Q 2 

W 

2




∫ 12 23 34 41 

WNutz = dW = W + W + W + W 

= W + W 

12 34 

⎛ ⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞⎞ 

4 

1 

= −ν ⋅R ⋅⎜ T ⋅ ⎜ ⎟ − T ⋅ ⎜ ⎟⎟ 

2 ln 1 ln 

⎝ ⎝ V ⎠ ⎝ V ⎠⎠ 

für die beiden Adiabatengleichungen gilt: 

1 

T ⋅ V = T ⋅ V 

χ− χ−1 

2 3 1 2 

1 

T ⋅ V = T ⋅ V 

χ− χ−1 

2 4 1 1 

V4 

V 

⇒ = 

V V 

3 

1 

2 

Somit gilt für die Nutzarbeit: 

⎛ V4 

⎞ 

WNutz = −ν ⋅R ⋅ln⎜ 

⎟ ⋅ − 

⎝ V ⎠ 

3 

3 

( T T ) 

2 1 

2 

Das negative Vorzeichen gilt, da das System diese Nutzarbeit abgibt. Von der zugeführten Wärme kann nur 

ein Teil als mechanische Arbeit abgegeben werden (entspricht meist dem kleineren Teil). Der Rest muss 

vom System an eine Wärmesenke abgegeben werden. Das Verhältnis aus zugeführter Wärme und erhalte- 

ner mechanischer Arbeit wird als Wirkungsgrad der Wärmemaschine bezeichnet. 

Definition: 

thermischer Wirkungsgrad η therm 

Carnotscher Wirkungsgrad: 

η 

therm 

= 

W 

Q 

Nutz 

zu 

⎛ V4 

⎞ 

ν ⋅R ⋅ln⎜ 

⎟ ⋅ − 

WNutz 

⎝ V3 

⎠ 

= = 

Q34 

⎛ V ⎞ 4 

ν ⋅R ⋅ T2 

ln⎜ 

⎟ 

⎝ V ⎠ 

( T T ) 

2 1 

3 

T 

= 1− 

T 

Eine Wärmemaschine, die aus einem Wärmereservoir Wärme abzieht und diese unter Abgabe von Wär- 

men eine Wärmesenke zum Teil in mechanisch nutzbare Energie wandelt, arbeitet um so günstiger, je hö- 

her die Temperaturunterschiede zwischen Wärmereservoir und Wärmesenke sind. 

Kältemaschine: 

Wird die Carnot-Maschine linksläufig betrieben, so wird bei einer Temperatur T 1 die Wärme Q zu entzogen 

und an eine Umgebung höherer Temperatur abgegeben. Die hierzu notwendige Arbeit wird durch eine äu- 

ßeres mechanisches System, z.B. einem Kompressor, zugeführt. Bei der Kältemaschine ist 

• der Nutzen die der Maschine zugeführte Wärme Q zu und 

• der Aufwand die Arbeit W. 

1 

2

Leistungszahl: ε K 




Q zu dQ zu dt T1 

= = = 

W P T − T 

2 1 

Die Leistungszahl ist um so besser, je kleiner die Temperaturunterschiede sind. 

Wärmepumpe: 

• Bei der Wärmepumpe wird bei tiefer Temperatur Wärme entzogen und einem System höherer Tempera- 

tur zugeführt (z.B. der Heizung eines Hauses). 

• Der Nutzen ist die an das System abgegebene Wärmemenge Q ab , 

• der Aufwand ist die zugeführte mechanische Arbeit W 

Leistungszahl: ε 

K 

Q ab dQab dt T2 

= = = 

W P T − T 

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik: 

2 1 

1 

= 

η 

• Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die Wärme aus einer Wärmequelle entnimmt und voll- 

ständig in mechanische Arbeit umwandelt. 

• Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art. 

• Wärme geht nicht von selbst von einem kalten auf einen warmen Körper über. 

Der zweite Hauptsatz findet seine Begründung darin, dass alle ablaufenden technischen Prozesse irrever- 

sible Prozesse sind, d.h. Prozesse, die nur durch äußere Energiezufuhr wieder in ihren Ausgangszustand 

gebracht werden können. Thermodynamische Prozesse laufen stets in eine Richtung und streben einem 

Minimum an Energie zu. 

Mathematisch lässt sich dieses Verhalten mit Hilfe der Entropie aufschreiben. 

Im ideal geführten reversiblen Carnot-Prozess gilt für die umgesetzten Wärmemengen 

Q 

T 

12 

1 

Q34 

+ = 0 

T 

2 

Für einen kompletten Umlauf eines reversiblen Prozesses gilt daher verallgemeinert: 

∫ 

dQ 

T 

rev 

= 0 

Die Änderung dieser beiden Zustandsgrößen kann durch eine Änderung einer anderen Zustandsgröße, der 

Entropie ausgedrückt werden mit folgender Definition: 

dS dQ 

= 

T 

rev 

Δ 2 1 

S = S − S = 

2 

∫ 

1 

dQ 

T 

rev 

⎡ J ⎤ 

⎢ 

⎣K 

⎥ 

⎦ 

C




S wird als Entropie bezeichnet. Für reversible Kreisprozesse ist die Entropieänderung Null. Bei einem irre- 

versiblen Kreisprozess ist die abgeführte Arbeit bzw. die zugeführte Wärme größer als theoretisch im rever- 

sibeln Kreisprozess. für solche Prozesse nimmt die Entropie stets zu und der Wirkungsgrad des irreversib- 

len Prozesses ist kleiner als der des reversiblen Prozesses. 

Für irreversible Prozesse gilt daher 

Q 

T 

12 

1 

Q34 

dQirr 

+ < 0 bzw. 

< 0 

T ∫ T 

2 

Für die Entropie gilt in diesem Falle, dass der Endzustand der Entropie größer ist als der Anfangszustand. 

Es können folgende Fälle unterschieden werden: 

Ein abgeschlossener Prozess ist ohne äußere Energiezufuhr 

• unmöglich, wenn ΔS < 0 

• reversibel, wenn ΔS = 0 

• irreversibel, wenn ΔS > 0 

Das Entropieprinzip bestimmt somit die Richtung der Vorgänge. Dies ist ebenso eine Formulierung 

des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. 

Der erste Hauptsatz gibt die Energiebilanz bei thermodynamischen Prozessen an. Er sagt nichts darüber 

aus, in welcher Weise diese Prozesse ablaufen. 

Der zweite Hauptsatz gibt zusätzlich die Richtung dieser Prozesse an. Prozesse innerhalb eines abge- 

schlossenen Systems können nur in eine Weise ablaufen, dass die Entropie stets zunimmt (oder maximal 

gleich bleibt). 

Beispiele: 

• Ein Stein, der herunterfällt, wandelt seine Energie beim Aufprall in Wärme um. Es geschieht aber nicht, 

dass der Stein von Selbst durch Aufnahme von Wärme nach oben springt. 

• Zwei Gase, die ineinander diffundieren, trennen sich nicht wieder von selbst. 

• Nach dem ersten Hauptsatz könnte ein Schiff durch Entzug von Wärme aus dem Ozean, diese Wärme 

in Bewegungsenergie wandeln. Nach dem zweiten Hauptsatz ist dies jedoch nicht möglich. 

• Formulierung von Clausius: Die Energie im Weltall bleibt konstant, die Entropie strebt einem Maximum 

zu. 

• Die Entropie ist ein Maß der Unordnung. Jedes abgeschlossene System strebt einem Maximum an Un- 

ordnung zu. 

Die Größen Entropie sowie andere thermodynamischen Potentiale (Enthalpie, freie Energie) sind in der 

Chemie von großer Bedeutung, da sie bei Reaktionen die Richtung und den Ablauf sowie das Ende der 

Reaktion beschreiben. Aus diesen Betrachtungen folgen z.B. das Massenwirkungsgesetz und das 

Nernst'sche Wärmetheorem. Näheres hierzu findet sich in der Vorlesung der Physikalischen Chemie.




4.5 Zustandsgleichung realer Gase und Dämpfe 

4.5.1 Van-der-Waalsche Gasgleichung 

Die Annahme eines idealen Gases ist eine Vereinfachung, die bei hohen Temperaturen und kleinen Drü- 

cken mit den experimentellen Ergebnissen gut übereinstimmt. Die Zustandsgleichung eines idealen Gases 

besagt jedoch, dass das Volumen eines Gases zu Null wird, wenn die Temperatur gegen Null strebt. 

Da reale Gase aus Molekülen bestehen, die ein gewisses Eigenvolumen haben, kann diese Annahme je- 

doch nicht richtig sein. Als Korrekturterm wird daher das Volumen V der allgemeinen Gasgleichung ersetzt 

durch 

V → ( V − b) 

, b: van der Waalsches Kovolumen, entspricht etwa dem vierfachen Eigenvolumen des Mo- 

leküls 

Weiterhin wurde bei idealen Gasen angenommen, dass die einzige Wechselwirkung untereinander elasti- 

sche Stöße sind. Reale Gase üben jedoch aufeinander eine Anziehungskraft aus. Diese Anziehungskraft 

wird umso stärker, je kleiner der Abstand der Moleküle ist. Bei Festkörpern führt diese Wechselwirkung oft 

zu Bindungen, bei Flüssigkeiten z.B. zur Oberflächenspannung. 

Auch bei Gasen führt die gegenseitige Anziehung zu einer Erhöhung des Druckes am Rand des Volumens 

durch die Kraftwirkung in Richtung des Innern des Volumens. Dadurch erhöht sich der Druck im Innern. 

Dieser Druck wird Binnendruck genannt. Der Binnendruck ist proportional zur Dichte der anziehenden Teil- 

chen und zur Dichte der stoßenden Umgebungsteilchen. 

p 

Bi 

⎛ a ⎞ 

∝ ρ ∝ ⇒ p → ⎜p 

+ ⎟ 

V ⎝ V ⎠ 

2 1 

2 2 

m m 

Erhöhung des Druckes durch den Binnendruck 

Die ideale Gasgleichung geht somit in die van-der-Waalsche Zustandsgleichung über, hier bezogen auf die 

molaren Größen 

⎛ a ⎞ 

p⋅ Vm = R⋅ T → ⎜p 

+ ⎟ 2 

⋅ ( Vm − b) = R⋅ T 

⎝ V ⎠ 

m

6 

Druck p [10 Pa] 

8 

p = 73 bar 

K 

6 

p=43 bar 

4 

2 

Waagerechten entlang ECA. 




a, b sind Gaskonstanten, V m ist das 

Mol-Volumen. Die nachfolgende 

Folie zeigt das Verhalten von Koh- 

lendioxid bei verschiedenen Tempe- 

raturen im pV-Diagramm. 

Unterhalb des kritischen Punktes K 

weisen die Isothermen ein Maxi- 

mum und Minimum auf. Der Verlauf 

entlang der Kurve EDCBA wird ex- 

perimentell jedoch nicht beobachtet 

sondern der Verlauf entspricht der 

Dies liegt daran, dass bei der Kompression des Gases ab dem Punkt E eine Verflüssigung eintritt., die am 

Punkt A abgeschlossen ist. Der starke Druckanstieg bei weiterer Komprimierung kommt dadurch zustande, 

dass Flüssigkeiten schwerer komprimierbar sind als Gase. 

• Der Druck, bei dem die Verflüssigung einsetzt ist der Dampfdruck. 

• Der Bereich der gestrichelten Kurve heißt Koexistenzgebiet. Bei Komprimierung setzt am rechten 

Schnittpunkt des Koexistenzgebietes die Verflüssigung ein. Sie ist am linken Schnittpunkt abgeschlos- 

sen. In diesem Bereich sind Flüssigkeit und Gas bzw. Dampf gleichzeitig vorhanden 

• Oberhalb einer kritischen Temperatur kann durch alleinige Komprimierung des Gases keine Verflüssi- 

gung mehr einsetzen. Dieser Punkt wird kritischer Punkt genannt, der zugehörige Druck und das zugehö- 

rige Volumen heißen kritischer Druck und kritisches Volumen. 

a 

V b p 

b T 

= 3 , = , 

27 ⋅ 

mK K K 

K 

Gasverflüssigung: 

8 ⋅a 

= 

27 ⋅b ⋅R 

• Ein ideales Gas behält seine Temperatur bei, wenn es adiabat und ohne zusätzliche Arbeitsverrichtung 

entspannt wird. 

Koexistenzgebiet 

3 

V mK = 0,12 m /kmol 

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 

• Im Gegensatz hierzu müssen reale Gase bei der adiabatischen Entspannung die zwischenmolekularen 

Anziehungskräfte überwinden. Die hierzu notwendige Energie wird der inneren Energie entzogen, wo- 

durch sich das Gas abkühlt (Joule-Thomson-Effekt). Auf diese Weise kann einem Gas immer mehr in- 

nere Energie entzogen werden, bis es sich verflüssigt. (Linde-Verfahren) 

• Das gleiche Prinzip wird bei sehr tiefen Temperaturen verwendet. Hier werden statt Gasen paramagneti- 

sche Salze verwendet, die nach erfolgter Magnetisierung durch ein äußeres Magnetfeld ihre Vorzugs- 

richtung wieder ändern und somit dem System Energie entziehen. 

4.5.2 Phasenumwandlungen 

3 

molares Volumen [m /kmol] 

Gebiet des idealen Gases 

373 K 

304 K 

313 K 

293 K 

283 K 273 K




Unter der Phase eines Stoffes wird ein räumlich abgetrenntes Gebiet verstanden, das gleiche physikalische 

Eigenschaften aufweist. 

Phasen sind 

• Aggregatzustände fest, flüssig oder gasförmig 

• Modifikationen desselben Stoffes (z.B. α- oder β Eisen) 

von 

fest 

flüssig 

nach 

gasförmig 

Modifikationsänderung 

(Modifikationsenthalpie 

ΔH M ) 

Erstarren 

(Erstarrungsenthalpie 

-ΔH S ) 

Desublimieren 

fest flüssig gasförmig 

(Desublimationsenthalpie 

-ΔH Sub =-ΔH S - ΔHV ) 

Schmelzen 

(Schmelzenthalpie ΔH S ) 

Kondensieren 

(Kondensationsenthalpie 

- ΔHV ) 

Sublimieren 

(Sublimationsenthalpie 

ΔH Sub =ΔH S + ΔHV ) 

Sieden 

(Verdampfungsenthalpie 

ΔH V ) 

Bei der Änderung des Aggregatzustandes nimmt ein Stoff Wärme auf bzw. gibt Wärme ab, ohne dass sich 

seine Temperatur erhöht bzw. erniedrigt. Diese Wärmemengen werden als latente (verborgene) Wärmen 

bezeichnet. Beim Phasenübergang von fest nach flüssig wird Wärme benötigt, um das Gitter im Festkörper 

aufzubrechen. Beim Übergang von flüssig nach gasförmig müssen die Anziehungskräfte der Moleküle un- 

tereinander überwunden werden. 

4.5.3 Gleichgewicht zwischen den Phasen 

Die einzelnen Phasen liegen niemals allein vor. Ähnlich wie bei der Geschwindigkeitsverteilung in einem 

Gas haben die Moleküle in einer Phase unterschiedliche Energieverteilungen. Einige der Moleküle haben 

dabei genügend Energie, um von der einen Phase in die andere Phase überzutreten. 

Ein Gleichgewicht liegt vor, wenn die Zahl der Moleküle, die von Phase 1 nach Phase 2 überwechseln, 

gleich ist der Anzahl der Moleküle, die von 2 nach 1 wechseln. 

Flüssig - Gasförmig




Wenn ein Gleichgewicht zwischen Verdampfungs- und Kondensationsrate vorliegt, herrscht über der Flüs- 

sigkeitsoberfläche der Sättigungsdampfdruck der Flüssigkeit. Diese ist unabhängig vom Volumen, da sich 

mit wechselndem Volumen entsprecht die Dampfmenge einstellt. 

Der Sättigungsdampfdruck stellt sich in einem abgeschlossenen System ein, da sonst der gebildete Dampf 

abtransportiert wird (Verdunstung). Der Sättigungsdampfdruck ist nur von der Temperatur abhängig. Eine 

Erhöhung der Temperatur bewirkt eine Erhöhung der Geschwindigkeit der Moleküle und damit eine höhere 

Anzahl von Molekülen, die die Flüssigkeit verlassen können. Der Sättigungsdruck steigt mit wachsender 

Temperatur. 

Dieses Verhalten wird durch die Dampfdruckkurve beschrieben. 

Die Abhängigkeit der Dampfdruckkurve von der Temperatur kann mittels der Clausius-Clapeyronschel For- 

mel beschrieben werden: 

dpS 

= 

dT 

p 

S 

ΔH 

m, V 

D 

V , V 

m 

Fl 

m 

ΔH 

m, V 

D Fl ( ) 

V − V ⋅ T 

m 

m 

Sättigungsdampfdruck 

molare Enthalpie der Verdampfungswärme 

molare Volumina der flüssigen - und Dampf - Phase 

Der Dampfdruck erhöht den Druck, der auf die Oberfläche einwirkt. Es gilt näherungsweise das 

Gesetz von Dalton: p = ∑ p 

ges i 

i 

Der Gesamtdruck ist die Summe der Partialdrücke. 

Ist der Dampfdruck einer Flüssigkeit gleich dem Druck, der auf die Oberfläche der Flüssigkeit einwirkt, so 

bilden sich bereits innerhalb der Flüssigkeit Dampfbläschen: Die Flüssigkeit siedet. 

Eine Druckerhöhung auf die Oberfläche führt dazu, dass der Siedepunkt steigt (Dampfkochtopf) 

In größeren Höhen sinkt der Atmosphärendruck und Wasser siedet deutlich unterhalb 100 °C. 

Fest-Flüssig 

Hier gelten dieselben Gesetzmäßigkeiten wie bei der Dampfdruckkurve. Auch hier gilt die Clausius- 

Clapeyronschel Formel: 

dpf 

= 

dT 

p 

f 

ΔH 

m, V 

Fl 

V , V 

m 

ΔH 

m, S 

Fl Fest ( ) 

Fest 

m 

V − V ⋅ T 

m 

m 

Schmelzdruck 

molare Enthalpie der Schmelzwärme 

molare Volumina der festen und flüssigen Phase 

Da sich die Volumina der festen und flüssigen Phase kaum unterscheiden, ist der Anstieg der Kurve sehr 

viel steiler.




Anomalie des Wassers: Da die feste Phase ein größeres Volumen hat als die flüssige Phase, ist die Stei- 

gung der Kurve negativ! Dies hat zur Folge, das Wasser bei gleichbleibender Temperatur und Druckerhö- 

hung schmilzt. Ausnutzung beim Schlittschuhlaufen. 

Fest-Gasförmig 

Ein direkter Übergang von fester Phase zu gasförmiger Phase findet meist bei niedrigeren Temperaturen 

statt. Direkt beobachtbar ist der Übergang bei der Sublimation von Kohlendioxid. Daher hat festes Kohlen- 

dioxid den Namen Trockeneis. 

Luftfeuchtigkeit: 

Wasser ist einer der am häufigsten vorkommenden Stoffe. Da wasser ebenfalls einen nicht zu vernachläs- 

sigenden Dampfdruck hat, ist somit immer ein Anteil Wasser in der Umgebungsluft vorhanden. 

Nach dem Daltonschen Gesetz gilt für den Gesamtdruck, den feuchte Luft besitzt: 

pfeuchteLuft = ptrockeneLuft + pS 

Da sich in den meisten Fällen über einer Wasseroberfläche kein abgeschlossenes System ausbilden kann, 

da der entstehende Wasserdampf abtransportiert wird, ist der Anteil an Wasserdampf in der Luft variabel. 

Es gilt daher 

absolute Luftfeuchtigkeit: ϕ a 

= 

mD 

V 

D 

relative Luftfeuchtigkeit: [ % ] 

ϕ = p 

p 

S 

⎡ kg ⎤ 

⎢ 3 

⎣m 

⎥ 

⎦ 

wobei m D die Masse des Dampfes im Volumen V und p D der Partialdruck des Wassers und p S der Sätti- 

gungsdampfdruck des Wassers bei der entsprechenden Temperatur sind.




5 SCHWINGUNGEN UND WELLEN 

5.1 Wiederholung aus der Mechanik 

Oszillationen und Wellen spielen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften eine große Rolle z.B. 

• mech. Schwingungen in Pendeln, z.B. bei Uhren oder Quarzen 

• Wechselströme, Lichterscheinungen, Radio und Fernsehen, Wärme (Gitterschwingungen) 

• Beschreibung von Vorgängen in Atomen und Molekülen 

• Pulsschlag beim Menschen, Ebbe und Flut 

Oszillator: 

schwingungsfähiges System, welches ständig seinen energetischen Zustand ändert. 

Beispiel Federpendel: 

m 

Beim Federpendel wird ständig kinetische in potentielle Energie und umgekehrt 

umgewandelt: 

Umwandlung von Hubenergie in kinetische Energie und umgekehrt (heben und 

senken) 

Umwandlung von Dehnungsenergie in kinetische Energie und umgekehrt (dehnen 

und strecken) 

Unterscheidung zwischen Schwingungen und Wellen: 

Schwingung: ein schwingungsfähiges System (Einzeloszillator), ortsfestes Sys- 

tem, Energieumwandlung ist nur zeitabhängig. 

Welle: Kopplung mehrerer Oszillatoren. Energieübertragung von einem Oszillator auf den nächsten Oszilla- 

tor. Energieumwandlung ist zeit- und ortsabhängig. Räumliche Fortpflanzung der Oszillation. 

In der Mechanik wurden bereits Bewegungen behandelt, die ein oszillierendes Verhalten aufwiesen. Hierzu 

gehören z.B. die Kreisbewegungen. Als Charakteristische Größe einer Kreisbewegung wurde die Winkelge- 

schwindigkeit ω verwendet. Im Zusammenhang mit Schwingungen und Wellen wird meist die Frequenz als 

beschreibender Parameter verwendet: 

1 

Definition: f = [ Hz] 

Frequenz der Schwingung 

T 

2π 

Wegen ω = = 2πf 

wird ω oftmals auch als Kreisfrequenz bezeichnet. Nur im Sonderfall der Kreisbe- 

T 

wegung stellt ω die Winkelgeschwindigkeit dar.

5.2 Schwingungen 




5.2.1 Freie ungedämpfte Schwingung: 

m 

• Darstellung der Periodizität: z ( t) 

= z( 

t + T ) 

5.2.2 Freie gedämpfte Schwingung: 

m 

5.2.3 Erzwungene Schwingung: 

m 

z = zm i n 

z = 0 

z = zm i n 

z = zm i n 

z = 0 

f 

z = zm i n 

fE 

• ständige Energiezufuhr von außen 

0 

• einmalige Anregung des Systems, danach keine 

äußere Erregung 

• Oszillator schwingt periodisch mit konstanter 

Eigenfrequenz f0 zwischen zwei Maximalwerten 

innerhalb Periodendauer 

T 

f 

z 

0 

0 

− Periodendauer 

1 

= − Frequenz 

T 

max 

, z 

0 

min 

− Scheitelwerte 

• einmalige Anregung des Systems, danach 

keine äußere Erregung 

• Energieentzug durch z.B. Reibung 

• Scheitelwert wir mit wachsender Zeit kleiner 

• Periodendauer Td wird größer, verglichen mit 

einem freien ungedämpften System gleicher 

Art. 

• periodische Erregung: Oszillatorsystem wird von außen mit der Erregerfrequenz fE 

und der Amplitude ZE angeregt 

• Eigenfrequenz des Systems: 

• 

Auslenkung z 

Resonatorfrequenz fr ist diejenige Frequenz, mit der das System ohne äußere Er- 

regung schwingen würde 

f 

f 

f 

E 

E 

E 

T0 

Auslenkung z 

Td 

T> T0 

d 




5.3 Mathematische Beschreibung von Schwingungen 

Die mathematische Beschreibung von Schwingungen ist i.a. sehr komplex und schwierig, z.B. wenn folgen- 

de Schwingung betrachtet wird: 

Die gezeigte Schwingung ist zwar periodisch, jedoch ist ihre mathematische Beschreibung äußerst kompli- 

ziert. 

5.3.1 Harmonische Schwingungen: 

Der mathematische Formalismus vereinfacht sich erheblich, wenn sich die Schwingungen durch einfache 

Sinus- uns Kosinusfunktionen ausdrücken lässt. Solche Schwingungen werden harmonische Schwingungen 

genannt. 

Beispiel Kreispendel: 

Bestimmung der Bahngleichungen: 

Es war 

T0 

g 

ω 0 = 2π 

T = 2π 

= const. 

gleichförmige Drehbewegung 

l 

Dann gilt: ϕ( t ) = ω0 

⋅ t + ϕ0 

und x ( t) 

= r ⋅cos( 

ω ⋅ t + ϕ ) , y( 

t) 

= r ⋅ sin( 

ω ⋅ t + ϕ ) 

Verallgemeinerung von ω 0 : 

0 

0 

y 

φ( t) 

x 

φ0 

0 

0




ω 0 beschreibt die Zeitabhängigkeit von Winkelgrößen. Statt der Bedeutung der Winkelgeschwindigkeit bei 

Kreisbewegungen wird ω 0 verallgemeinert und bei der Beschreibung von Schwingungen und Wellen als 

Kreisfrequenz bezeichnet 

ω 

2π 

= = 2π 

⋅ f 

Kreisfrequenz 0 

0 

T0 

5.3.2 Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung: 

Die treibende Kraft für die Masse ist die Federkraft. Potentielle 

Energie kommt nur in Form von Federdehnungen vor. 

bei x=0 sei die Feder entspannt, bei x>0 gedehnt, bei x

dx 

= −x 

0 ⋅ω 

0 ⋅ sin 

dt 

2 

d x 

2 

= −x 

2 0 ⋅⋅ω 

0 ⋅cos 

dt 




( ω ⋅ t + ϕ ) 

0 

( ω ⋅ t + ϕ ) 

0 

2 

D 

⇒ −x 

0 ⋅⋅ω 

0 ⋅ 

t 

m 

0 

0 

( ω ⋅ t + ϕ ) + ⋅ x ⋅cos( 

ω ⋅ + ϕ ) = 0 

cos 0 0 

0 

0 0 

Die Gleichung hat eine allgemeine Lösung für beliebige Zeiten t, wenn 

2 D D 

ω0 = ⇒ ω0 

= und f0 

= 2π 

⋅ 

m m 

D 

m 

Das bedeutet, dass die Eigenfrequenz des Systems nur von den charakteristischen Größen m und D des 

Oszillators abhängen. 

Die Größen x0 und ϕ0 sind bei dieser Berechnung noch unbestimmt geblieben. Sie können jedoch durch die 

sogenannten Anfangsbedingungen festgelegt werden. Diese können z.B. gegeben sein durch: 

x 

( t = 0) 

= x ⋅cos( 

ϕ ) 

dx 

dt 

0 

( t = 0) 

= −x 

⋅ ω ⋅sin( 

ϕ ) 

Eulersche Formel: 

0 

0 

0 

0 

Wie leicht zu prüfen ist, kann auch die Sinusfunktion als Lösung der Dgl. angesetzt werden. Ein allgemeine- 

rer Ansatz kann über die Verwendung der Eulerschen Formel geschehen: 

j( 

ωt+ 

ϕ ) ( t) 

= x ⋅e 

= x ( cos( 

ωt 

+ ϕ ) + j⋅ 

sin( 

ωt 

+ ) ) 

x 0 ϕ 

0 

0 

0 

Der Ansatz kann in die Dgl eingesetzt werden und getrennt nach Real- und Imaginärteil gelöst werden. 

Mathematisches Pendel: 

Energiesatz: 

Eges = 

Ekin 

+ Epot 

= 

const. 

l 

α 

0 

h 

α 

m mg

1 

m ⋅g 

⋅h 

+ ⋅m 

⋅ v 

2 




2 

= const ⇒ m ⋅g 

⋅l 

⋅ 

⇒ m⋅ 

g⋅ 

l⋅ 

( 1− 

cosα 

) 

Differentiation der zweiten Gleichung nach der Zeit liefert 

d ⎛ 

⎜m 

⋅g 

⋅l 

⋅ 

dt ⎜ 

⎝ 

( 1− 

cosα 

) 

dα 

m ⋅g 

⋅l 

⋅sinα 

⋅ + m⋅ 

l 

dt 

2 

1 ⎛ dα 

⎞ ⎞ 

+ ⋅m 

⋅l 

⋅⎜ 

⎟ ⎟ = 0 

2 ⎝ dt ⎠ ⎟ 

⎠ 

2 

2 

dα 

d α 

⋅ ⋅ = 0 2 

dt dt 

1 ⎛ ds ⎞ 

+ ⋅m 

⋅⎜ 

⎟ 

2 ⎝ dt ⎠ 

1 

2 

⎛ dα 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ dt ⎠ 

= const 

2 

( 1− 

cosα 

) + ⋅m 

⋅l 

⋅ = const 

Diese Gleichung kann wiederum auf eine Normalenform gebracht werden: 

2 

d α g 

+ ⋅sinα 

= 0 

2 

dt l 

Die obige Gleichung stellt eine Differentialgleichung für α dar, die jedoch nicht analytisch lösbar ist. Um die 

Gleichung in eine Lineare Dgl. umwandeln zu können, wird die Sinusfunktion in eine Reihenentwicklung 

zerlegt. es gilt: 

3 5 7 

x x x 

sinx = x + + + ⎯⎯ 

⎯ →sinx 

≈ x 

α




Diese Kraft beschleunigt die Masse in Bahnrichtung. Da es sich um ein abgeschlossenes System handelt, 

muss die Summe aller Kräfte Null werden, d.h. entsprechend dem dritten Newtonschen Axiom muss noch 

eine Gegenkraft wirksam sein. Diese Gegenkraft ist die Trägheitskraft 

F 

T 

2 

2 

d s d α 

= m ⋅a 

= m ⋅ = m ⋅l 

⋅ 

2 

2 

dt dt 

Da dies in dem System die einzigen, in Bahnrichtung wirkenden Kräfte sind gilt entsprechend dem 3. New- 

tonschen Axiom 

2 

d α 

= −FB 

⇒ m ⋅l 

⋅ = −m 

⋅ g⋅ 

sinα 

dt 

FT 2 

Für die weitere Behandlung dieser Gleichung kann wie oben verfahren werden. 

Gesamtenergie der freien ungedämpften Schwingung: 

Betrachtet werde wieder das Feder-Masse System 

folgt für den Energiesatz: 

E 

ges 

= E 

kin 

+ E 

1 

= ⋅m 

⋅ x 

2 

1 

= ⋅m 

⋅ x 

2 

1 

= ⋅m 

⋅ x 

2 

1 

= ⋅m 

⋅ x 

2 

pot 

2 

0 

2 

0 

2 

0 

2 

0 

f0 

x=0 

x 

Es gilt der Energiesatz 

Eges = Ekin 

+ Epot 

= 

mit 

x = x 

dx 

dt 

ω 

0 

0 

= −x 

= 

⋅cos 

0 

D 

m 

const. 

( ω ⋅ t + ϕ ) 

⋅ ω 

0 

0 

⋅ sin 

1 ⎛ dx ⎞ 

= ⋅m⎜ 

⎟ 

2 ⎝ dt ⎠ 

1 2 

+ D ⋅ x 

2 

2 2 

⋅ω 

0 ⋅ sin 0 0 

1 

2 

0 

2 2 

⋅ω 

0 ⋅ sin 0 0 

1 

2 

0 0 

⎛ 

⎞ 

2 2 

2 

⋅ω 

⎜ 

0 sin ( ω0 

⋅ t + ϕ0 

) + cos ( ω0 

⋅ t + ϕ0 

) ⎟ 

⎜144444 

424 

444443 

⎟ 

⎝ 

= 1 

⎠ 

2 1 2 

⋅ω 

0 = ⋅D 

⋅ x0 

= const. 

2 

( ω ⋅ t + ϕ ) 

2 2 

( ω ⋅ t + ϕ ) + ⋅D 

⋅ x ⋅cos 

( ω ⋅ t + ϕ ) 

2 2 2 

( ω ⋅ t + ϕ ) + ⋅m 

⋅ ω ⋅ x ⋅cos 

( ω ⋅ t + ϕ ) 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0




2 

1/2*D*x0 E kin, 

E pot, E kin, Epot, E ges, 

0,0*T0 0,5*T 0 1,0*T0 1,5*T0 2,0*T0 

x=0 

x=0 x=0 x=0 

x=0 

x=0 x=0 x=0 x=0 

5.3.3 Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung: 

Bei der freien gedämpften Schwingung wird dem oszillierenden System ständig Energie entzogen, z.B. 

durch Reibung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden: 

1. geschwindigkeitstunabhängig FR = μ ⋅FN 

2. viskose Reibung = b ⋅ v, 

b = const 

2 

3. Strömungsreibung F = d⋅ 

v , d = const. 

F R 

R 

Allgemein gilt, dass die Reibungskraft stets entgegengesetzt der Bewegungsrichtung wirkt. Am Beispiel des 

Feder-Masse-Systems gilt demnach: 

1. in Richtung +x: m ⋅& x& 

= −μ 

⋅FN 

−D 

⋅ x 

in Richtung –x: m ⋅& x& 

= + μ ⋅FN 

−D 

⋅ x 

insgesamt: m ⋅& x& 

± μ ⋅FN 

+ D ⋅ x = 0 

2. m ⋅ & x& 

= −b 

⋅ v − D⋅ 

x ⇒ m ⋅ &x 

& + b ⋅ x& 

+ D ⋅ x = 0 

2 

2 

3. m ⋅& 

x& 

= −d⋅ 

v − D ⋅ x ⇒ m⋅ 

&x 

& + d⋅ 

x& 

+ D ⋅ x = 0 

Gesucht sind nun die Lösungen zur Beschreibung der Zeitabhängigkeit der Bewegung, d.h. die Lösungen 

der Dgl’n für die drei Fälle. 

Eine analytische Lösung der Dgl’n ist bis auf die Dgl. der Strömungsreibung angebbar. Im Falle der Strö- 

mungsreibung handelt es sich nicht mehr um eine lineare Differentialgleichung. Deren Behandlung soll hier 

nicht mehr erfolgen, d.h. für die Strömungsreibung kann keine analytische Lösung angegeben werden. Auf 

eine Herleitung der Lösungen wird im Rahmen der Lösungen verzichtet. 

Lösung für Fall 1: 

es gilt das Gleichungssystem

μ ⋅F 

& x& 

± 

m 

N 




D 

+ ⋅ x = 0 

m 

μ ⋅FN 

Substitution: s : = x ± ⇒ & s& 

= &x 

& 

D 

Dann wird aus der Gleichung 

μ ⋅F 

&x 

& ± 

m 

&s 

& + ω 

2 

0 

N 

⋅s 

= 

D ⎛ μ ⋅FN 

⎞ 

+ ⋅⎜ 

s m ⎟ = 0 

m ⎝ D ⎠ 

0, 

ω 

2 

0 

= 

D 

m 

Dies ist die Differentialgleichung wie im ungedämpften Fall. Die substituierte Gleichung hat die Lösung 

0 

( ω ⋅ t + ) 

s = s ⋅cos 

ϕ 

0 

0 

Nach Rücksubstitution von s ergibt sich für die Bewegung: 

μ ⋅F 

m 

⎛ μ ⋅F 

x 

⎝ m 

cos 

( ω ⋅ t + ) 

N 

N 

x ± = ⎜ 0 ± ⎟ ⋅ 0 ϕ0 

Mit 

μ ⋅F 

xˆ = 

m 

Es ergibt sich schließlich 

N 

( x ± xˆ ) ⋅cos( 

ω ⋅ t + ϕ ) m xˆ 

x 0 

0 0 

= , mit 

⎞ 

⎠ 

μ ⋅F 

xˆ = 

m 

N 

Beachtet werden müssen hier die Vorzeichen! Ein Vorzeichenwechsel findet statt, wenn das System die 

Bewegungsrichtung umkehrt, d.h. wenn ω0 ⋅ t + ϕ0 

ein Vielfaches von π überschreitet. 

Lösung für Fall 2: 

Die Dgl für den zweiten Fall lässt sich schreiben als 

m ⋅ & x& 

+ d⋅ 

x& 

Auch hier ist 

2 

d⋅ 

+ D ⋅ x = 0 ⇔ &x 

& + x& 

m 

2 

D 

+ ⋅ x = 0 

m 

D 

ω 0 = die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung 

m 

Ferner wird definiert der Abklingkoeffizient 

b 

δ = 

2m 

Üblich ist auch die Verwendung folgender Größen

Dämpfungsgrad 




D ~ 

= 

δ 

ω 

Verlustfaktor D ~ 

d = 2⋅ 

Güte 

Damit folgt aus der Dgl: 

D x 

~ 

& x& 

+ 2⋅ 

⋅ & 

2 

+ ω 

2 

0 

⋅ x = 0 

Q = 

0 

D ~ 

1 1 

= 

d 2⋅ 

Bei der Lösung dieser Dgl muss unterschieden werden in 3 Fälle: 

a) Schwingfall: D 1 

~ 

ω > δ, 

< 

0 

−δ⋅t 

Lösung der Dgl: x( t) 

= x ⋅e 

⋅cos( 

ω ⋅ t + ϕ ) 

ω 

d 

= 

0 

ω 

2 

0 

− δ 

b) Kriechfall: D 1 

~ 

ω < δ, 

> 

Lösung der Dgl: x( 

t) 

0 

= x 

1 

⋅e 

c) Aperiodischer Grenzfall: D 1 

~ 

ω = δ, 

= 

0 

x t 

2 

= 

2 2 

⎜ 

⎛ −δ+ 

δ −ω0 

⎟ 

⎞⋅t 

⎝ 

⎠ 

−δ⋅t 

Lösung der Dgl: ( ) ( ) 

= 

x 

1 

+ c 

2 

⋅ t ⋅e 

d 

2 

D b 

− 

m 4 ⋅m 

+ x 

2 

0 

2 

⋅e 

= ω 

0 

⋅ 

2 2 

⎜ 

⎛ −δ− 

δ −ω0 

⎟ 

⎞⋅t 

⎝ 

⎠ 

D ~ 

1− 

Der aperiodische Grenzfall hat in der Technik eine besondere Bedeutung, da er den Grenzfall darstellt, bei 

dem ein gedämpftes System gerade nicht mehr schwingt und sehr schnell den Endwert erreicht. 

2




x/x 0 

x/x 0 

1,0 

0,5 

0,0 

-0,5 

-1,0 

1,0 

0,5 

0,0 

aperiodischer 

Grenzfall 

- t 

e δ� 

Schwingfall 

5 10 15 20 

Kriechfall 

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 

Die Schwingungen sind in der Excel-Tabelle „schwingungen.xls“ dargestellt. In dieser Tabelle ist es 

möglich die Parameter der Schwingung zu variieren und das Verhalten der Schwingung zu studie- 

ren. Bitte machen Sie von dieser Möglichkeit regen Gebrauch! 

5.3.4 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung 

Wird einem schwingungsfähigen System eine äußere (periodische) Kraft zugeführt, so ergibt sich eine er- 

zwungene Schwingung. 

f E 

ω� t 

ω� t 

Ansatz über Newtonsche Bewegungsgleichung: 

FFeder + FReibung 

+ FErreger 

= m⋅ 

a 

Der Erreger schwinge mit der Kreisfrequenz ω E . Dann ist 

m ⋅&x 

& = −D 

⋅ x − b ⋅ x& 

+ F 

⇔ &x 

& + 

b 

m 

E, 

0 

cos 

D FE, 

0 

⋅ x& 

+ ⋅ x = cos 

m m 

( ω ⋅ t) 

E 

( ω ⋅ t) 

Bei dieser Differentialgleichung handelt es sich um eine inhomogene lineare Dgl. Der Lösungsansatz für 

eine inhomogene Dgl lautet: 

f 0 

x=0 

x 

E

x = x + x 

inh 

hom 




part 

wobei die homogen Lösung der Lösung der freien gedämpften Schwingung entspricht. Das bedeutet, dass 

in diesem Fall nur die partikuläre Lösung gesucht werden muss: 

Ansatz: 

j( 

ωE 

⋅t−γ 

) 

= xˆ ⋅ ( cos( 

ω ⋅ t − γ) 

+ j ⋅sin( 

ω ⋅ t − γ) 

) 

xpart = xˆ p ⋅e 

p 

E 

E 

Da xinh eine Lösung für den Resonator darstellt, hat γ die Bedeutung des Winkels, um den der Oszillator 

dem Erreger hinterher eilt. 

Ohne weiteren mathematischen Beweis können aus den Lösungen die Phasenverschiebung γ und der Amp- 

litudenverlauf $x p bestimmt werden. Hier wird zweckmäßigerweise das Verhältnis 

η ω 

ω 

= E 

0 

zur weiteren Berechnung eingeführt: 

Amplitudenresonanzfunktion: 

x$ 

p 

= 

FE, 

0 

m⋅ ω − η + ⋅D ⋅ η 

0 

~ 

( 1 ) ( 2 ) 

Phasenresonanzfunktion 

( ω − ω ) 

2 2 2 

~ ~ 

ω ω η 

tanγ 

= 

η 

⋅ ⋅ ⋅ 

= ⋅ ⋅ 

2 D E 0 2 D 

2 2 2 

1− 

0 

E 

Aus den gefundenen Beziehungen lassen sich folgende Fälle ableiten: 

Quasistatische Erregung: η




• Einsturz von Häusern bei Erdbeben 

• Schwingungen von hohen Fernsehtürmen 

• „im Gleichschritt über Brücken marschieren“ 

Bei vorhandener Dämpfung tritt die Resonanz immer dann ein, wenn die Amplitude des Oszillators maximal 

wird. Aus der Gleichung für die Amplitude 

x$ 

p 

= 

FE, 

0 

m⋅ ω − η + ⋅D ⋅ η 

0 

~ 

( 1 ) ( 2 ) 

2 2 2 

lässt sich ablesen, dass die Amplitude maximal wird, wenn der Nenner auf der rechten Seite minimal wird: 

~ 

( 1 ) ( 2 ) 

m⋅ ω − η + ⋅D ⋅ η → Minimum 

oder 

0 

2 2 2 

d ⎛ 

2 ⎞ 

⎜m 

⋅ω 0 − η + ⋅D ⋅ η ⎟ = 

dη ⎝ 

⎠ 

2 2 

1 2 0 

~ 

( ) ( ) 

Hieraus folgt die Lösung für η: 

~ 2 

~ 

η = 1− D , ω = ω ⋅ 1− 

D 


x$ 

res E 

p, res 

FE, 

0 

= 

~ ~ 

2⋅D ⋅m ⋅ω 1− 

D 

0 

0 

2 

2 

Eine Überhöhung der Amplitude tritt nur bis zu einer bestimmten Dämpfung auf 

Hochfrequente Erregung: η >> 1 

Bei der hochfrequenten Erregung geht die Amplitude der erzwungenen Schwingung gegen Null 

x$ p res → 0, γ → π 

, 

In der Praxis wird dieser Grenzfall z.B. bei der Schalldämmung verwendet. Eine Schallwelle, deren Fre- 

quenz sehr viel höher liegt als die Eigenfrequenz der Schallmauer, ist nicht in der Lage, die Mauer zum 

Schwingen anzuregen, wodurch sie gedämpft wird. 




5.4 Überlagerung von Schwingungen




Bei der Überlagerung von Schwingungen wird das Superpositionsprinzip angewendet, d.h. verschiedene 

Schwingungen überlagern sich ungestört, d.h. die eine Schwingung hängt nicht von dem momentanen Zu- 

stand der anderen Schwingung ab. Mathematisch entspricht dies der Addition der Schwingungsgleichungen. 

5.4.1 Schwingungen gleicher Raumrichtungen und gleicher Frequenz 

Für die beiden Schwingungen gilt: 

( ω ϕ ) 

( ω ϕ ) 

x = x ⋅ cos ⋅ t + 

1 1, 0 1 

x = x ⋅ cos ⋅ t + 

2 2, 0 2 

Bei der Überlagerung der Schwingungen ergibt sich 

( ω ϕ ) ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) 

x = x ⋅cos ⋅ t + + x ⋅cos ⋅ t + = x ⋅ cos ⋅ t + 

n 1, 0 1 2, 0 2 n, 0 

n 

Aus den Additionstheoremen der Kosinusfunktionen ergibt sich: 

( ϕ ϕ ) 

2 2 

x = x + x + 2⋅ 

x ⋅ x ⋅ − 

n, 0 1, 0 10 , 1, 0 2, 0 cos 1 2 


tanϕ 

n 

x10 , ⋅ sinϕ 1 + x2, 

0 ⋅sinϕ 

2 

= 

x ⋅ cosϕ + x ⋅cosϕ 

10 , 1 2, 0 2 




Sonderfälle: 

gleichphasige Überlagerung: 

x = x Δϕ = 

10 , 2, 0, 0 

⇒ x = 2⋅ 

x 

n 

⇒ ϕ = 0 

n 

1, 0 

maximale Verstärkung 

gegenphasige Überlagerung 

( ) 

x10 , = x2, 0, Δϕ = 2⋅ n + 1 ⋅ π 

⇒ xn = 0 

gegenseitige Auslöschung 

⇒ ϕ = 0 

n




5.4.2 Schwingungen gleicher Raumrichtungen und verschiedener Frequenz 

Für die beiden Schwingungen gilt allgemein: 

( ω ϕ ) 

( ω ϕ ) 

x = x ⋅ cos ⋅ t + 

1 1, 0 1 1 

x = x ⋅ cos ⋅ t + 

2 2, 0 2 2 

Das bedeutet, dass der eine Oszillator schneller schwingt, als der andere. Dieser Oszillator „überholt“ den 

anderen Oszillator. Anders ausgedrückt: Der Gangunterschied, d.h. die Phasendifferenz beider Oszillatoren, 

ändert sich in Abhängigkeit der Zeit. 

Schwebung: 

Hier existiert ein Sonderfall, wenn die Schwingungen gleiche Amplituden haben 

x = x = x 

10 , 2, 0 0 

ϕ = ϕ = 

1 2 0 

In diesem Fall lassen sich Additionstheoreme anwenden: 

( cos( ω ) cos( 

ω ) ) 

xn = x0 ⋅ 1 ⋅ t + 2 ⋅ t 

⎛ ω1 + ω 2 ⎞ ⎛ ω1 − ω 2 ⎞ 

= 2x0 

⋅cos⎜ 

⋅ t⎟ ⋅ cos⎜ 

⋅ t⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Wenn nun noch 

ω ≈ ω 

1 2 

ω ω 

⇒ 

+ 

1 2 

2 

Damit wird 

≈ ω 

( ω ) ( π ) 

x = 2x0 ⋅cos ⋅ t ⋅cos ⋅f ⋅ t 

n S 

wobei fS die Schwebungsfrequenz ist. 




Über Schwebungsvergleiche können sehr feine Frequenzabstimmungen durchgeführt werden. Eine Anwen- 

dung ist z.B. das Stimmen von Musikinstrumenten. 

Die Überlagerung von mehreren Schwingungen kann nach demselben Verfahren durchgeführt werden. Je 

nach Verhältnis der Amplituden, Phasenlagen und Kreisfrequenzen lassen sich beliebige Gesamtschwin- 

gungsformen zusammensetzen. 

Eine Gesamtschwingung lässt sich beschreiben als

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 



Seite 97 

ges 

n 

∑ 

m= 

0 

m, 0 cos( 

ωm ϕ m ) 

x = x ⋅ ⋅ t + 

Fourier-Analyse: 

Es lässt sich zeigen, dass sich jede periodisch wiederholende Schwingung durch die Fourier-Reihe 

( ω ϕ ) 

ges 

∞ 

∑ 

m= 

0 

m, 0 cos 0 m 

x = x ⋅ m⋅ ⋅ t + 

darstellen lässt. 

f0 = ω 0 2π 

wird dabei als Grundfrequenz bzw. Grundschwingung bezeichnet, 

f 2f 

= als erste Oberfrequenz bzw. Oberschwingung, 

1 0 

f 3f 

= als zweite Oberfrequenz bzw. Oberschwingung usw. 

1 0 

Die Amplituden und Phasen der Einzelschwingungen bestimmen dabei eindeutig das Aussehen der Ge- 

samtschwingung. 

Der oben angegebene Phasenfaktor lässt sich darüber hinaus noch mit in die Koeffizienten integrieren: 

cos α + β = cosα ⋅cosβ − sinα ⋅ sinβ 

Es gilt: ( ) 

Damit lässt sich die obige Summation auch schreiben als: 

( ) = 0, 0 ⋅ cos( ϕ 0 ) + ∑ , 0 ⋅ cos( ϕ ) cos( ⋅ ω 0 ⋅ ) + ∑ m, 0 ⋅ sin( − ϕ m ) sin( 

⋅ ω 0 ⋅ ) 

x t x x m t x m t 

ges m m 

m= 

1 

∞ 

∞ 

a 0 

= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 

2 

∑ a m cos( m ω 0 t) ∑ b m sin( 

m ω 0 t) 

m= 

1 

∞ 

m= 

1 

Dies ist eine übliche Darstellung der Fourier-Reihe. 

Die Fourier-Koeffizienten lassen sich wiederum bei bekannter Gesamtschwingungen berechnen nach: 

T 

∫ 

( ) cos ( ω ) , ( 0, 1, 2,... 

) 

a = x t ⋅ m ⋅ ⋅ t m = 

m ges 

0 

T 

∫ 

( ) sin ( ω ) , ( 1, 2,... 

) 

b = x t ⋅ m ⋅ ⋅ t m = 

m ges 

0 

0 

0 

Die Zerlegung in die einzelnen Frequenzanteile liefert somit das charakteristische Frequenzspektrum einer 

Schwingung. 

Eine Rechteckschwingung lässt sich z.B. darstellen durch: 

x t 

ges 

4 ⋅ x ⎛ 1 

1 

⎞ 

⎜ sin ⋅ + sin ⋅ + sin ⋅ + ..... 

⎟ 

π ⎝ 3 

5 

⎠ 

0 ( ) = ( ω t) ( 3ω 

t) ( 5ω 

t) 

∞ 

m= 

1




Rechteckschwingungen sind in der Excel-Tabelle „schwingungen.xls“ dargestellt. In dieser Tabelle 

ist es möglich die Parameter der Schwingung zu variieren und das Verhalten der Schwingung zu 

studieren. Bitte machen Sie von dieser Möglichkeit regen Gebrauch! 

Die Fourier-Analyse hat in der Praxis eine große Bedeutung und wird oft angewendet. Neben den periodisch 

ablaufenden Vorgängen, ist es auch möglich, diskrete Vorgänge, die entweder nicht periodisch sind oder nur 

eine begrenzte Zeitdauer anhalten, mit der Fourier-Analyse zu bearbeiten. Das Frequenzspektrum ist dann 

jedoch nicht mehr diskret, sondern kontinuierlich aufgebaut. Die beiden Gleichungssysteme der Zeit- und 

Frequenzfunktion lassen sich dann wie folgt darstellen: 

∞ 

1 

f( t) = ∫ a( ω) ⋅ exp( 

j⋅ ω ⋅ t) dω 

2π 

−∞ 

∞ 

1 

a( ω) 

= ∫ f( t) ⋅ exp( 

− j⋅ ω ⋅ t) dt 

2π 

−∞ 

5.4.3 Schwingungen verschiedener Raumrichtungen und Frequenzen 

Diese Form der Überlagerung führt meist zu einer sehr ungeordneten Bewegung, deren Beschreibung meist 

sehr schwierig ist. Allgemein gelten aber auch hier die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie vorher beschrieben. 

Bestimmte Kombinationen aus Frequenzverhältnissen und Phasenlage liefern die Lissajous-Figuren. An 

dieser Stelle sei auf das Praktikum verwiesen. 

5.5 Wellen 

5.5.1 Allgemeines 

• Die räumliche Kopplung von Oszillatoren führt zu einer räumlichen Ausbreitung des Schwingungszu- 

standes 

• Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist endlich 

• Eine zur Ausbreitungsrichtung senkrechte Schwingung wird transversale Welle genannt 

• Eine zur Ausbreitungsrichtung parallele Schwingung wird longitudinale Welle genannt 

• Bei einer Wellenbewegung wird keine Materie transportiert sondern nur Energie 

Wellenlänge l: 

Unter der Wellenlänge wird die Strecke verstanden, die ein Schwingungszustand innerhalb der Schwin- 

gungsperiode mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c zurücklegt. 

λ 

Ausbreitungsgeschwindigkeit: c = = λ 

⋅f 

T




• Eine Wellenausbreitung findet auch im Kontinuum statt, d.h. es bedarf keiner einzelner an Fäden oder 

Federn aufgehängter Oszillatoren: 

• Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen (nur longitudinal) 

• transversale Oberflächenwellen in Grenzschichten von Flüssigkeiten 

• Festkörper: T- und L- Wellen 

• elektromagnetische Wellen können sich auch ohne Übertragungsmedium ausbreiten. 

Wellenfront: Ausbreitung eines gleichartigen Schwingungszustandes: 

5.5.2 Harmonische Wellen 

y 

Kugelwelle ebene Welle 

Die mathematische Beschreibung harmonischer 

Wellen kann über Sinus- und Kosinusfunktionen 

geschehen. 

Die harmonische Anregung eines Oszillators 

führt ebenso zu einer harmonischen Anregung 

der Nachbaroszillatoren. Diese werden dann 

ebenfalls harmonische Schwingungen durchfüh- 

ren, die jedoch gegenüber dem ersten Oszillator 

zeitlich verschoben sind. 

Der Oszillator 1 befinde sich am Ort x=0 und schwinge nach y( t) = y ⋅ ( ⋅ t + ) 

cos ω ϕ am Ort x=0 

0 0 

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit sei c. Die Welle erreicht eine beliebige Stelle x demnach nach einer Zeit 

von 

Δt 

x 

= 

c 

x 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Dieser Oszillator an der Stelle x schwingt somit verzögert um die Zeit Δt: 

( ω Δ ϕ ) 

( ) ( ) 

y' t = y' ⋅cos ⋅ t − t + 

0 0 

y t 

c x 

⎛ ω 

= ' ⋅cos⎜ω ⋅ − + ϕ 

⎝ 

0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

ω 2π ⋅ f 2π 

Die Größe = = = k wird Wellenzahlvektor genannt (in drei Raumrichtungen ist k ein Vektor!) 

c c λ




Die Beschreibung der Welle lässt sich somit durch die Wellengleichung durchführen: 

Wellengleichung: y( t) = y ⋅cos( ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ ) 

0 0 

Welle, die in positive x-Richtung läuft. 

5.5.3 Energietransport: 

Beim Oszillator war die Gesamtenergie berechnet zu 

1 2 2 1 

Eges = m⋅ x0 ⋅ ω 0 = m ⋅ v 

2 

2 

v0 ist die Geschwindigkeitsamplitude. 

2 

0 

Der gleiche Ansatz kann für ein Massenelement dm (einzelner Oszillator der Welle) der Welle gewählt wer- 

den: 

1 2 2 

dEges = dm⋅ y0 

⋅ω 

0 

2 

1 

2 

= ρ ⋅dV ⋅ y0 

⋅ω 

2 

2 

0 

in diesem Zusammenhang wird die Energiedichte definiert, d.h. die gesamte Energie pro Volumeneinheit: 

Energiedichte w dE 1 2 

= = ρ⋅ y0 

⋅ ω 

dV 2 

2 

0 

Die Energie , die pro Zeiteinheit eine Fläche dA senkrecht durchsetzt wird Intensität oder Energiestrom- 

dichte genannt. 

dE dE dV dE dx 

S 

w c 

dA dt dV dA dt dV dt = = ⋅ = ⋅ = ⋅ 

⋅ 

⋅ 

Somit wird 

dE 1 2 2 

S = w ⋅ c = = c ⋅ρ ⋅ y0 

⋅ ω 0 Intensität mechanischer Wellen 

dV 2 

Beispiele: 

ebene Wellen: Die Intensität der Wellen bleibt gleich, da sich die Amplitude und die Größe der schwingen- 

den Fläche nicht ändern. Die Anzahl der Massenpunkt bleibt gleich. Die Schwingungsamplitude bleibt dem- 

nach gleich: 

( ) ∝ cos( ω 

− ) 

y t t kx




Kugelwellen. Die Kugelwelle breitet sich von einem Zentrum ausgehend aus. Die Fläche, auf der sich die 

Gesamtenergie verteilt, wächst mit dem Quadrat des Radius. Aus diesem Grund muss die Amplitude der 

Schwingung mit 1/r kleiner werden, d.h. es gilt: 

( ) ∝ ( t − kr) 

y t 

1 

cos ω 

r 

Wellengleichung: 

Analog zu den reinen Schwingungen kann auch für sich räumlich ausbreitende Wellen eine Dgl. aufgestellt 

werden. Diese Dgl. wird Wellengleichung genannt. Sie wurde erstmals von Euler berechnet. 

Allgemeine Form der Wellengleichung: 

2 

δ y 

2 = c 

δt 

2 

2 

δ y 

2 

δx 

wobei c die Phasengeschwindigkeit darstellt. C gibt also an, wie schnell sich ein Schwingungszustand mit 

konstanter Phase (z.B. Berg, Tal, Nulldurchgang) ändert. 

Ebene Wellen: 

Der Zustand konstanter Phase ist definiert durch: 

ωt − kx + ϕ = const. 

0 

ω ϕ 

x 

k 

ω 

t 

0 − const 

⇒ = + 

k 

dx 

⇒ vPh 

= = 

dt k 

Andererseits gilt: 

( ) = ⋅cos( ω − + ϕ ) 

y t y t kx 

0 0 

Eingesetzt in die Wellengleichung liefert dies: 

( ) 

2 

δ y t 

2 

δt 

2 

δ y t 

2 

δx 

( ) 

( ) 

2 

= −ω ⋅ y ⋅ cos ωt − kx + ϕ 

0 0 

( ω ϕ ) 

= − ⋅ ⋅ − + 

2 

k y0 cos t kx 0 

Daraus folgt insgesamt für die Ausbreitungs- oder Fortpflanzungsgeschwindigkeit: 

c 

= 

k 

ω 

Bei dieser Wellenart sind Fortpflanzungsgeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit identisch. 

5.5.4 Interferenz von Wellen




Wie bei den Schwingungen gilt auch bei der Überlagerung von Wellen das Superpositionsprinzip. Hierbei ist 

jedoch zu beachten, dass sowohl die zeitliche als auch die räumliche Überlagerung der Wellen beachtet 

werden muss. 

Die Überlagerung von Wellen an bestimmten Raumpunkten wir Interferenz genannt. 

Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz: 

Betrachtet werden sollen zwei Wellen, die in x-Richtung laufen: 

( ω ) 

y = y ⋅cos t − kx 

1 0 

( ω ϕ ) 

y = y ⋅cos t − kx + 

2 0 

Die Phasenverschiebung ϕ kann ausgedrückt werden als Vielfaches der Wellenlänge λ: 

Gangunterschied: Δ = ϕ 

π λ 

2 

Somit wird 

⎛ 2πΔ⎞ 

y2 = y0 ⋅ cos⎜ωt − kx + ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

Die resultierende Welle ergibt sich dann aus 

⎛ ϕ⎞ 

⎛ ϕ⎞ 

yges = y1 + y2 = 2y 

0 ⋅cos⎜ 

⎟ ⋅cos⎜ωt − kx + ⎟ 

⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 

⎛ πΔ⎞ 

⎛ 

= 2y 

0 ⋅cos⎜ 

⎟ ⋅ cos⎜ωt 

− kx + 

⎝ λ ⎠ ⎝ 


( ) 

Δ = 0 ϕ = 0 : y = 2y 

ges,0 0 

πΔ⎞ 

⎟ 

λ ⎠ 

λ 

Δ = ( ϕ = π) 

: yges = 0 Auslöschung beider Wellen 

2 


konstruktive Interferenz: Δ = m⋅ λ, m = 0, 12 , ,.... maximale Verstärkung 

destruktive Interferenz: ( ) 

λ 

Δ = 2m + 1 ⋅ , m = 012 , , ,.... gegenseitige Auslöschung 

2 

Die Interferenz von Wellen spielt in vielen technischen Geräten eine große Rolle, wobei jedoch meist Licht- 

wellen verwendet werden (Spektrometer) 

Hinweis zum Praktikum: 

Ein Versuch zur Bestimmung des Brechungsindexes verwendet ein Michelson-Interferometer, in dem der 

Gangunterschied von zwei sich überlagernden Lichtwellen gemessen werden kann. Wenn der Gangunter-




schied beider Lichtwellen gerade ein Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt, löschen sich beide Licht- 

wellen gegenseitig aus. Änderungen des optischen Weges können so in der Größenordnung der verwende- 

ten Lichtwellenlänge bestimmt werden. 

5.5.5 Stehende Wellen 

Stehende Wellen entstehen, wenn zwei Wellen gleicher Frequenz aber entgegengesetzter Laufrichtung sich 

gegenseitig überlagern: 

( ω ) 

y = y ⋅cos t − kx 

1 0 

( ω ϕ ) 

y = y ⋅ cos t + kx + 

2 0 

Für die resultierende Welle ergibt sich dann: 

⎛ ϕ⎞ ⎛ ϕ ⎞ 

yges = y1 + y2 = 2y 

0 ⋅ cos⎜ωt + ⎟ cos⎜kx 

+ ⎟ 

⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 

Wenn das Argument der zweiten Kosinusfunktion ein Vielfaches von π/2 wird, ist die resultierende Schwin- 

gung Null. Das bedeutet, dass es ortsfeste Punkte in der Ausbreitungsrichtung der Welle gibt, die die 

Schwingungsamplitude Null haben und die einen Abstand λ/2 voneinander aufweisen. 

y 

λ/2 

Stehende Wellen können erzeugt werden, indem eine fortlaufende Welle an einem Hindernis reflektiert 

wird. Hierbei gilt allgemein: 

festes 

Ende 

loses 

Ende 

Reflexion am festen Ende: Phasensprung um π 

Reflexion am losen Ende: kein Phasensprung 

Anwendungen Musikinstrumente: 

Ausbreitung von Schallwellen in offenen und gedackten Orgelpfeifen 

Wenn die Pfeife offen ist, bilden sich an beiden Enden Schwingungsbäuche 

aus. Wenn die Pfeife auf der einen Seite geschlossen ist, bildet sich am ge- 

schlossenen Ende ein Schwingungsknoten, am offenen Ende dagegen ein 

Schwingungsbauch aus. Die Länge der Orgelpfeife ist verantwortlich für die Tonhöhe. 

offene Pfeife gedackte Pfeife 

x

Grundschwingung 

1. Oberschwingung 

2. Oberschwingung 




λ c 

λ c 

l = ⇒ f0 

= l = ⇒ f0 

= 

2 2⋅ 

l 

4 4 ⋅l 

l = f f 

⋅ 2 λ 

⇒ = 2⋅ 

2 

1 0 

l = f f 

⋅ 3 λ 

⇒ = 3 ⋅ 

2 

2 0 

n-te Oberschwingung ( n + ) ⋅ λ 

l = ⇒ = ( + ) ⋅ 

Schwingende Saite: 

Kaul, 6.10.98, orgel.cdr 

Amplitude der 

Longitudinalschwingung 

Schwingungsknoten 

1 

2 

f n f 

n 

1 0 

l = f f 

⋅ 3 λ 

⇒ = 3 ⋅ 

4 

1 0 

l = f f 

⋅ 5 λ 

⇒ = 5 ⋅ 

4 

l = 

offene Orgelpfeifen 

gedackte Orgelpfeifen 

2 0 

( 2n + 1) 

⋅ λ 

⇒ = ( + ) ⋅ 

Grundschwingung 1. Oberschwingung 2. Oberschwingung 

Grundschwingung 1. Oberschwingung 2. Oberschwingung 

4 

fn 2n 1 f0 

Länge l der Pfeife




Länge l 

Bei der schwingenden Seite sind beide Enden fest ein- 

gespannt. Die Grundschwingung besitzt demnach auf 

beiden Enden einen Schwingungsbauch. Die Länge der 

Seite entspricht demnach der halben Wellenlänge, ähn- 

lich wie bei der offenen Pfeife. Als erste Oberschwin- 

gung tritt ein weiterer Knoten in der Mitte der Seite auf, 

es bildet sich genau eine Wellenlänge auf der Seite aus. 

Die sich einstellende Frequenz der Schwingung ist ab- 

hängig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Diese wiederum hängt von der Vorspannung der 

Saite ab. Daher kann ein Saiteninstrument durch Verändern der Vorspannung gestimmt werden.

6 OPTIK 




6.1 Dualismus Teilchen Welle 

Welleneigenschaften des Lichtes: 

• Interferenz, Beugung 

• Reflexion, Brechung 

• Huygenssches Prinzip 

• geradlinige Ausbreitung des sichtbaren Lichtes 

Teilcheneigenschaften des Lichtes (Photonen) 

• Wechselwirkung mit Materie, z.B. Photoeffekt 

• Emission und Absorption von Lichtquanten (Laser, Leuchtdioden, Spektrallinien) 

Allgemeine Eigenschaften 

10 -16 

10 -14 

10 -12 

10 -10 

10 -8 

10 -6 

10 -4 

10 -2 

10 0 

10 2 

10 4 

10 6 

10 8 

Elektromagnetisches Spektrum 

Wellenlänge 

Frequenz 

λ [m] f [Hz] 

10 24 

10 22 

10 20 

10 18 

10 16 

10 14 

10 12 

10 10 

10 8 

10 6 

10 4 

10 2 

Röntgenstrahlung 

Mikrowellen 

UKW 

KW 

MW 

LW 

γ-Strahlung 

sekundäre 

Höhenstrahlung 

UV 

(Ultraviolett) 

sichtbares 

Licht 

IR 

(Infrarot) 

Fernsehen 

Hörfunk 

Photonenenergie 

E [eV] 

10 10 

10 8 

10 6 

10 4 

10 2 

10 0 

10 -2 

10 -4 

10 -6 

10 -8 

10 -10 

10 -12 

10 0 10 -14 

technischer 

Wechselstrom 

8 

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c = 299792458m 

s ≈ 3 ⋅10 

m s 

Licht kann als elektromagnetische Welle dargestellt werden. 

Vak 

390 

400 

450 

500 

550 

600 

650 

700 

750 

790 

Wellenlänge λ [nm]




elektrische 

Feldkomponente 

6.2 Huygenssches Prinzip 

magnetische 

Feldkomponente 

Die elektrische und magnetische 

Feldkomponenten stehen aufeinander 

senkrecht 

Ausbreitungsrichtung 

Mit Hilfe des Huygensschen Prinzips lässt sich die Ausbreitung von Lichtwellen berechnen, auch dann, 

wenn das Licht auf ein Hindernis stößt bzw. durch ein Hindernis hindurchtritt. 

Das Huygenssche Prinzip besagt: 

Ausbreitung einer Elementarwelle 

Wellenzentrum 

Δr = c Δt 

Ausbreitung einer geraden und 

kugelförmigen Wellenfront 

Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer 

neuen Elementarwelle, die die gleiche Ausbreitungsge- 

schwindigkeit und Frequenz wie die ursprüngliche Welle 

hat. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wel- 

lenfront zu einem späteren Zeitpunkt. 

Die Konstruktion von Wellenfronten ist nur dann möglich, wenn 

die Ausbreitung in die Rückwärtsrichtung vernachlässigt wird. 

Dieses Prinzip wurde später von Fresnel modifiziert. Die prinzi- 

pielle Vorgehensweise wurde dabei beibehalten, jedoch wurden 

die Intensitäten und Phasen der Wellen mit berücksichtigt. Fres- 

nel konnte somit zeigen, 

• dass die Intensität der Welle von der Phase abhängt und 

• dass die Intensität der rücklaufenden Welle gleich Null ist. 

Lichtstrahlen: Unter Lichtstrahlen werden die Linien bezeichnet, die senkrecht auf den Wellenfronten 

stehen und in die Richtung der Wellenausbreitung zeigen.




Das Huygenssche Prinzip kann genutzt werden, um Phänomene wie Reflexion, Brechung und Beugung zu 

erklären. 

6.2.1 Reflexion und Brechung 

An dieser Stelle seien die empirischen Befunde der Reflexion und Brechung genannt, die mit Hilfe des Huy- 

gensschen Prinzips erklärt werden können. 

Trifft ein Lichtstrahl auf eine ebene Fläche, so wird er reflektiert und gebrochen, d.h. ein Teil des Strahles 

wird in die andere Richtung gelenkt und ein anderer Teil tritt in das Medium ein. 

Für die Reflexion gilt: 

Beweis: 

Einfallswinkel = Ausfallswinkel: 1 2 α = α 

Gegeben sei ein Lichtbündel, welches unter einem Winkel α zur Normalen auf eine spiegelnde Fläche fällt. 

1. Wenn der Lichtstrahl bei A auf die Fläche fällt bildet sich in A eine Elementarwelle. Zu diesem Zeitpunkt 

liegt die Wellenfront in A-A' 

2. Der zweite Lichtstrahl fällt einen Zeitpunkt später auf die Fläche, der dritte noch später usw. Alle Ele- 

mentarwellen bilden wiederum eine Wellenfront. 

3. Wenn der letzte Lichtstrahl im Punkt auftrifft und dort eine Elementarwelle aussendet, liegt die neu ge- 

bildete Wellenfront in der Verbindung B-B'. 

4. Da die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten der Wellen gleich bleiben, ist der Radius der Welle in A gerade 

gleich groß dem Weg A'-B, d.h. es gilt A-B'=A'-B




5. Die beiden Dreiecke A'-A-B und A-B-B' sind kongruent, da sie eine gleiche Grundseite und die Seiten A- 

B' und A'-B gleich lang sind. Daher sind auch die Winkel γ 1 und γ 2 gleich groß. 

6. Aus geometrischen Überlegungen folgt aber auch, dass γ 1 = α und γ 2 = α und somit insgesamt α = β 

Wenn die Oberfläche glatt ist, kann sie zur Abbildung von Oberflächen verwendet werden (reguläre Refle- 

xion), z.B. 

• beim Spiegel, Strahlengänge in Spektrometern, Autoscheinwerfer etc. 

Im Gegensatz dazu bewirken raue Oberflächen, dass das Lichtbündel in viele verschiedene Richtungen 

gestreut wird (diffuse Reflexion oder Streuung). Eine Abbildung ist dann nicht mehr möglich. 

Beispiele: 

• Mattscheibe, weiße Gardinen, Straßenbelag im Scheinwerferlicht 

Für die Brechung gilt: 

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Lichtstrahls ist vom Medium bzw. der Brechzahl des Mediums ab- 

hängig: 

c 

Brechzahl n: n Medium = 

c 

Hieraus folgt unmittelbar das Brechungsgesetz von Snellius: 

Beweis: 

dien sind c 1 = c Vak /n 1 und c 2 = c Vak /n 2 . 

Vakuum 

Medium 

Brechungsgesetz: ⋅ sinα 

= n ⋅ sinβ 

n1 2 

Gegeben sei ein Strahl, der auf ein Medium 

trifft und dort gebrochen wird. Oberhalb der 

Trennlinie sei der Brechungsindex n 1 , un- 

terhalb n 2 . 

1. Wenn der Strahl in A auftrifft, sendet 

er eine Elementarwelle aus, die sich in 

das Medium hinein fortpflanzt. In A' 

wird zeitgleich eine Elementarwelle 

ausgesandt, die sich jedoch noch im 

Medium 1 ausbreitet. 

2. Die Geschwindigkeiten in beiden Me- 

3. In der Zeit, die der Strahl zum Durchlaufen der Strecke A'-B in Medium 1 benötigt, breitet sich die 

Elementarwelle von A bis zum Punkt B' aus. Die neue Wellenfront verläuft somit in der Verbindung 

zwischen B-B'.




4. Die gesuchten Zeiten errechnen sich aus den Ausbreitungsgeschwindigkeiten: 

Δ t 

1 

= Δt 


2 

A'−B 

A −B' 

A − B ⋅ sinα 

A −B 

⋅sinβ 

⇒ = ⇒ 

= 

c 

c 

1 c 2 

Vak c Vak 

n n 

n n ⇒ β < α : Übergang vom optisch dünnen ins optisch dichte Medium 

1 

< 2 

n n ⇒ β > α : Übergang vom optisch dichten ins optisch dünne Medium 

1 

> 2 

Totalreflexion: 

1 

im 2. Fall beim Übertritt vom optisch dichten in das optisch dünnen Medium kann es zur sogenannten Total- 

reflexion kommen. Da mit wachsendem α auch β größer wird, ist ein Grenzwert erreicht, wenn β = 90° wird. 

Bei größer werdenden α tritt folglich an der Grenzschicht nur noch Reflexion, jedoch keine Brechung mehr 

auf. 

Aus dem Brechungsgesetz lässt sich somit für den Winkel, bei dem Totalreflexion einsetzt ableiten: 

n 

n 

n ⎯ →sinα 

T = 

n 

2 

1 > n2 

: sinα 

= ⋅ sinβ 

⎯ ⎯ β→90° 

n1 

wobei α T der Winkel ist, bei dem Totalreflexion einsetzt. 

Beispiel Prisma: 

Anwendung: Verlustfreie Strahlablenkung durch Verwendung eines Prismas. 

Beispiel Glasfaser: 

Dieses Verhalten der Totalreflexion findet Anwendung bei der optischen Datenübertragung, z.B. im Glasfa- 

serkabel. Im Kabel wird Licht derart eingekoppelt, dass die Lichtstrahlen beim Auftreffen auf die Kabelwän- 

de stets einen größeren Winkel zur Senkrechten der Wand aufweisen, als den Winkel, der für die Totalre- 

flexion notwendig ist. 

6.3 Geometrische Optik 

2 

2 

1




Mit Hilfe der Reflexion und Brechung können Gegenstände abgebildet werden. Zur Konstruktion solcher 

Abbildungen werden die vom Gegenstand ausgehenden Lichtstrahlen verwendet. Voraussetzung hierfür ist, 

dass sowohl Gegenstände als auch abbildende Systeme so groß sind, dass Effekte der Beugung vernach- 

lässigt werden können. Beugungen können dann nicht mehr vernachlässigt werden, wenn die Wellenlänge 

des Lichtes in der Größenordnung der geometrischen Abmessungen der Gegenstände liegen. 

6.3.1 Ebener Spiegel 

Gegeben sei ein Spiegel und ein Gegenstand, der durch den Spiegel abgebildet wird. 

Gegenstand P 

Bild P' 

Gegenstand 

Abbildungen in einem ebenen Spiegel 

Auge 

Spiegel 

virtuelles 

Bild 

Die von P ausgehenden Strahlen werden im 

Spiegel reflektiert. Die Verlängerungen der reflek- 

tierten Strahlen treffen sich auf der Rückseite des 

Spiegels im Punkt P'. Das Auge sieht das Bild 

des Punktes P. Das Bild ist ein virtuelles Bild. 

Virtuell bedeutet, dass keine wirklichen Licht- 

strahlen vom Bild ausgehen. Der Beobachter 

kann ferner nicht unterscheiden, ob das Bild 

durch den Spiegel erzeugt wird oder ob sich das 

Bild tatsächlich an der Stelle P' befindet. 

Die Abbildung eines ausgedehnten Gegenstandes liefert stets ein gleich großes virtuelles Bild. Zur Kon- 

struktion werden meist Strahlen verwendet, die eine einfache Abbildungseigenschaft haben, z.B. Strahlen, 

die in sich selbst reflektiert werden oder die die Mittelsenkrechte schneiden. 

Durch den Spiegeleffekt werden die Seiten rechts und links nicht vertauscht sondern nur die Komponente, 

die in Richtung des Spiegels zeigt. auf diese Weise erscheint das Spiegelbild seitenverkehrt. Aus einem 

rechtshändigen Koordinatensystem wird ein linkshändiges. 

6.3.2 Gekrümmte Spiegel 

x 

Wenn die spiegelnde Fläche nicht gerade ist, sondern die Form einer Kugelschale aufweist, wird diese Spie- 

gelart Hohlspiegel genannt. Auch hier gelten die Gesetze der Reflexion. Betrachtet werden sollen zunächst 

Strahlen, die parallel zur Mittelachse auf den Spiegel treffen. 

y 

z 

Spiegel 

Nur die z-Komponente wird vertauscht, die Richtungen 

x und y bleiben bei der Abbildung erhalten! 

Abbildungen in einem gekrümmten Spiegel 

M 

Strahlen, die weit von der Mittelachse entfernt sind, 

verlaufen nicht durch den Brennpunkt. 

Z 

ε 

Achsennahe Strahlen (Praaxialstrahlen) 

verlaufen (näherungsweise) durch den Brennpunkt. 

r 

F 

ε 

ε 

f 

x 

z 

y 

A 

S 

Strahlen, die nah an der Mittelachse verlaufen, 

werden in einem Punkt abgebildet. Dieser 

Punkt wird Brennpunkt bezeichnet. Je weiter 

die Strahlen von der Mittelachse entfernt sind, 

desto weiter ist ihr Schnittpunkt mit der Mit- 

telachse vom Brennpunkt entfernt. 

Brennpunkt: 

Zur Berechnung des Brennpunktes seien im 

folgenden nur achsnahe Strahlen betrachtet.




1. Ein Lichtstrahl falle im Punkt A auf den Hohlspiegel mit dem Radius r. In A wird der Strahl am Spiegel 

reflektiert, wobei der Winkel zwischen Radius und Strahl ε sei. 

2. Der reflektierte Strahl trifft die Mittelachse im Punkt F. Der Abstand zum Scheitelpunkt s ist 

f = r − ZF 

3. Der Winkel ε findet sich als Winkel AZS wieder. Wegen der gleichen Winkel gilt ZF = FA und es gilt 

der Kosinussatz 

2 2 

2 

( FA) 

= ( ZF) 

+ r − 2 ⋅ ( ZF) 

⋅r 

⋅ cosε 

⇒ ( ZF) 

⎛ 1 ⎞ 

4. Und daraus: f = r − ZF = r⎜1− 

⎟ 

⎝ 2 ⋅ cosε 

⎠ 

r 

= 

2 ⋅cosε 

5. Werden nur achsnahe Strahle betrachtet, so ist cos ε ≈ 1⇒ 

f = 

Abbildungen mit Hohlspiegeln: 

sinε sin φ 

= 

PZ PA 

Brennpunkt für achsnahe Strahlen: f 

( 180° 

− ) 

für Dreieck PAZ und sin ( 180° 

− φ) 

= sinφ 

( ) 

sinε sin φ 

= 

ZP' 

P'A 

Daraus folgt: 

Abbildungen in einem gekrümmten Spiegel, 

Abbildungsgleichung 

P Z φ P' 

für Dreieck ZAP' 

sinε PZ ZP' 

g − r r − b 

= = ⇒ = 

sin 

( φ) 

PA P' 

A PA P' 

A 

b 

g 

F 

r 

2 

r 

= 2 

Betrachtet Wird ein Punkt P, der durch einen 

Hohlspiegel mit dem Radius r abgebildet wird. 

Der Punkt befinde sich im Abstand g vom 

Scheitelpunkt des Spiegels. Der Bildpunkt des 

Punktes P ergibt sich durch den Schnittpunkt 

des Strahles in A und der Mittelachse (die in 

sich selbst abgebildet wird). 

Betrachtet werden die Dreiecke PAZ und 

ZAP'. Hier gilt nach dem Sinussatz: 

Für achsnahe Strahlen gilt weiterhin die Näherung PA ≈ gundP'A 

≈ b . Mit r = 2 f folgt: 

f 

ε 

ε 

A 

S




g − 2f 

= 

g 

2f 

− b 

⇒ 

b 

Die Abbildungen von Gegenständen können somit leicht konstruiert werden, wenn die Voraussetzungen 

achsnaher Strahlen gültig bleibt: 

Abbildungsgleichung: 

1 

g 

+ 

1 

b 

= 

1 

f 

1 1 1 

+ = , 

g b f 

wobei g der Abstand eines Gegenstandes zum Scheitelpunkt des Spiegels und b der Abstand des Bildes 

zum Scheitelpunkt des Spiegels sind 

Merkregeln: 

• Parallele Strahlen laufen durch den Brennpunkt 

• Brennpunktstrahlen werden zu Parallelstrahlen 

• radiale Strahlen (Strahlen, die durch den Kreismittelpunkt 2f laufen) werden in sich selbst reflektiert. 

Für die Bildkonstruktion eines Gegenstandes werden die folgenden Vorzeichenkonventionen verwendet: 

Vorzeichenkonvention für die Spiegelung 

Gegenstandsweite 

g 

Bildweite 

b 

Brennweite 

bzw. Radius 

f bzw. r 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

Gegenstand vor dem Spiegel 

(realer Gegenstand) 

Gegenstand hinter dem Spiegel 

(virtueller Gegenstand) 

Bild vor dem Spiegel 

(reelles Bild) 

Bild hinter dem Spiegel 

(virtuelles Bild) 

Krümmungsmittelpunkt vor dem Spiegel 

(Konkavspiegel) 

Krümmungsmittelpunkt hinter dem Spiegel 

(Konvexspiegel) 

Mit dieser Konvention , der Abbildungsgleichung und den Merkregeln wird die Konstruktion einer Abbildung 

leicht möglich:

6.3.3 Linsen 




Abbildungen in gekrümmten Spiegeln 

Z F 

Z F 

g 

g>2f: bg>f: b>g 

Vergrößerte reale Abbildung 

b 

b 

g 

f 

f 

S 

S 

F 

F 

f 

f 

g 

gg 

Vergößerte virtuelle Abbildung 

g negativ 

Verkleinerte virtuelle Abbildung 

Die Brechung von Licht kann auch zur Abbildung von Gegenständen mit Hilfe optisch transparenter Medien 

durchgeführt werden. Ähnlich wie bei Spiegelsystemen wird hier die Brechung an gekrümmten (Glas-) Flä- 

chen ausgenutzt. 

Brechungsindex n 1 

P M P’ 

Dünne Linsen: 

g 

α 

β 

S 

b 

S 

g 

b 

Unter Berücksichtigung des Brechungs- 

gesetzes von Snellius 

sinα = n ⋅sinβ 

und geometrischer Überlegungen lässt 

sich die folgende Abbildungsgleichung 

finden: 

Vergrößerung: V B n1 ⋅b 

= = 

G n ⋅ g 

2 


n n n − n 

+ = 

g b r 

1 2 2 1 

Zur optischen Abbildung werden meist Linsen verwendet, die beidseitig von Luft umgeben sind und die ge- 

genüber den Abmessungen von g und b eine geringe Dicke haben: 

r 

Brechungsindex n 2 

Radius r 

b




M 2 

In diesem Fall werden die Abbildungsgleichungen zu: 

P P’ 

r 2 


g 

n 

r 1 

M 1 

1 1 ⎛ 1 1⎞ 

+ = ( n − 1) 

⋅ ⎜ − ⎟ 

g b ⎝ r r ⎠ 

Vergrößerung: V B b 

= = 

G g 

− 

Die Abbildungsgleichung vereinfacht sich mit der Definition der 

Brennweite f: 1 ⎛ 1 1 ⎞ 

= ( n −1) ⋅ ⎜ − ⎟ zu 

f ⎝ r r ⎠ 

1 2 

1 1 1 

+ = 

g b f 

b 

1 2 

Bei optischen Linsen wie z.B. Brillen wird der Kehrwert der Brennweite Brechkraft genannt: 

Brechkraft: D = 

f 

1 

Die Einheit der Brechkraft ist Dioptrie 1 dp = 1/m 

Vorzeichenkonvention für die Brechung: 

Beispiel: 

Vorzeichenkonvention für die Brechung 

Gegenstandsweite 

g 

Bildweite 

b 

Brennweite 

bzw. Radius 

f bzw. r 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

reeller Gegenstand vor der brechenden 

Fläche (Einfallsseite) 

virtueller Gegenstand hinter der brechenden 

Fläche (Transmissionsseite) 

reelles Bild hinter der brechenden 

Fläche ( Transmissionsseite) 

virtuelles Bild vor der brechenden 

Fläche (Einfallsseite) 

Krümmungsmittelpunkt auf der 

Transmissionsseite 

Krümmungsmittelpunkt auf der 

Einfallsseite 

Entsprechend dem oberen Bild sei eine Linse gegeben mit n = 1,5, r1 = 10 cm und r2 = 15 cm.




M 2 

Lichteinfall 

r 2 

n=1,5 

Das Licht trifft zuerst auf die Seite, die dem Kugelsegment mit r1 zugeordnet ist Die Berechnung der Brenn- 

weite ist somit: 

1 ⎛ 1 1⎞ 

⎛ 1 1 ⎞ 5 

= ( n − 1) 

⋅ ⎜ − ⎟ = 0 5 ⋅ ⎜ − ⎟ = 0 5 ⋅ f 12 cm 

f ⎝ r r ⎠ ⎝10 

cm − 15 cm⎠ 30 cm 

⎛ ⎞ 

, , ⎜ ⎟ ⇒ = 

⎝ ⎠ 

1 2 

Die Umkehrung der Lichtrichtung liefert: 

M 2 

r 2 

n=1,5 

r 1 

r 1 

M 1 

M 1 

Lichteinfall 

Das Licht trifft zuerst auf die Seite, die dem Kugelsegment mit r2 zugeordnet ist Die Berechnung der Brenn- 

weite ist somit: 

1 ⎛ 1 1⎞ 

⎛ 1 1 ⎞ 5 

= ( n − 1) 

⋅ ⎜ − ⎟ = 0 5 ⋅ ⎜ − ⎟ = 0 5 ⋅ f 12 cm 

f ⎝ r r ⎠ ⎝15 

cm − 10 cm⎠ 30 cm 

⎛ ⎞ 

, , ⎜ ⎟ ⇒ = 

⎝ ⎠ 

2 1 

Die Mitte von dünnen Linsen wird als Hauptebene bezeichnet. 

brochen 

Hauptebene 

F F 

Merkregeln: 

• parallel einfallende Strahlen verlaufen bei konve- 

xen Linsen auf der Transmissionsseite durch den 

Brennpunkt 

• parallel einfallende Strahlen werden bei konka- 

ven Linsen auf der Transmissionsseite so gebro- 

chen, dass die Verlängerung der Strahlen durch 

den Brennpunkt der Einfallsseite verlaufen 

• Strahlen durch den Mittelpunkt werden nicht ge




Diese Eigenschaften machen sehr einfach eine Bildkonstruktion von Gegenständen möglich. 

Linsenfehler: 

1 

2 

Abbildungskonstruktion an dünnen konvexen Linsen 

3 

5’ 

F 

4 

5 

Aufgrund der optischen Eigenschaften der verwendeten Linsenmaterialien treten Abbildungsfehler auf. Die 

wichtigsten dieser Fehler sind: 

sphärische Abberation: Parallel einfallende achsferne Strahlen werden nicht im Brennpunkt ab- 

gebildet. 

Chromatische Abberation: Aufgrund von Dispersion (Abhängigkeit des Brechungsindex von der 

F 

Wellenlänge der einfallenden Strahlung) haben Lichtstrahlen verschie- 

dener Wellenlängen unterschiedliche Brennpunkte 

Astigmatismus: Parallel einfallende Lichtbündel, die unter einem großen Winkel auf die 

6.3.4 Optische Instrumente 

F 

Linse treffen, werden nicht in der Brennebene abgebildet 

F 

F 

Linsenfehler 

spärische Aberration chromatische Aberration 

F 

Brennebene 

F 

1’ 

Astigmatismus 

2’ 

F 

3’




Aufgrund der abbildenden Eigenschaften von gekrümmten Glasflächen lassen sich optische Instrumente 

entwickeln, mit denen es möglich wird, Messinstrumente oder Geräte für den täglichen Gebrauch herzustel- 

len. 

Auge 

Eines der wichtigsten optischen Instrumente ist das Auge, welches die Abbildung eines Gegenstandes auf 

die Netzhaut ermöglicht. 

Linse: Die Veränderung der Linsenkrümmung verändert die Lage des Brennpunktes, wodurch 

Gegenstände im Bereich von unendlich bis wenige cm vor dem Auge (Nahpunkt etwa 

bei 10 cm, mit dem Alter zunehmend) scharf abgebildet werden können. (ein entspann- 

ter Ziliarmuskel bedeutet eine maximale Brennweite von 2,5 cm) 

Zäpfchen: Nervenzellen, die auf verschiedene Wellenlängen reagieren (Farbsehen) 

Stäbchen: Nervenzellen, die auf hell und dunkel reagieren. Die Empfindlichkeit der Stäbchen ist 

sehr hoch, daher kann der Mensch auch bei geringen Helligkeiten noch etwas erken- 

nen, jedoch ist der Eindruck nicht mehr farbig. 

Weitsichtigkeit: Nur weiter entfernte Gegenstände können scharf erkannt werden. Tritt oft mit zuneh- 

mendem Alter auf, da die Linse sich nicht mehr so stark krümmen kann. Kann unter 

ständiger Akkomodation der Augen ausgeglichen werden, was jedoch zur Ermüdung 

der Augen führt. 

Nahsichtigkeit: Nur nah entfernte Gegenstände können scharf erkannt werden. Ein Augenfehler be- 

Optische Instrumente: 

wirkt eine zu starke Brechkraft der Linse. 

Je näher der Gegenstand am Auge ist, desto detaillierter kann der Gegenstand vom Auge aufgelöst werden. 

Der Winkel zwischen Auge und Gegenstand wird somit größer. Ab einer gewissen Entfernung kann das 

Auge nicht mehr stark genug akkomodieren und das Bild des Gegenstandes auf der Netzhaut wird unscharf. 

Das Ziel optischer Instrumente ist es, Gegenstände näher an das Auge heranzubringen und den Sehwinkel 

weiter zu vergrößern, wobei aber die Akkomodationsfähigkeit des Auges weiter gegeben bleibt.

Gegenstandes befindet sich im 

Brennpunkt der Lupe: 

durch die Lupe treffen die Strahlen 

parallel auf das Auge, 

das Auge kann auf unendlich 

akkomodieren 




Bild im Brennpunkt des Okulars steht. 

6.4 Wellenerscheinungen von Licht 

Lupe: 

• Gegenstand steht in der Brennebene 

der Lupe 

• Strahlenbündel trifft parallel auf das 

Auge 

• Vergrößerung des Sehwinkels 

Mikroskop: 

Gegenstand befindet sich kurz vor der 

Brennweite des Objektivs 

Erzeugung eines realen vergrößerten 

Bildes im Tubus 

Einstellung des Okulars so, dass das 

Bild im Brennpunkt des Okulars steht. 

Fernrohr: 

Gegenstand befindet sich weit weg (im 

unendlichen) 

Mit dem Objektiv wird ein Bild des Ge- 

genstandes im Brennpunkt des Objek- 

tivs erzeugt. Der Gegenstand wird auf 

diese Weise näher an das Auge heran- 

gebracht. 

Einstellung des Okulars so, dass das 

Bei den bisherigen Betrachtungen wurde nur die geradlinige Ausbreitung von Licht berücksichtigt. Wellener- 

scheinungen spielen keine Rolle, solange die Abmessungen der Objekte, an denen Licht gebrochen bzw. 

reflektiert wird, groß gegenüber der Wellenlänge sind. 

6.4.1 Beugung 

Trifft eine Welle auf ein Hindernis, so dürfte bei geradliniger Lichtausbreitung hinter dem Hindernis kein 

Licht mehr auftreffen. 

Die Wirkungsweise einer Lupe 

Gegenstandes befindet vor dem 

Brennpunkt der Lupe: 

das Auge muß auf das virtuelle Bild 

des Gegenstandes akkomodieren, 

der Gegenstand erscheint vergrößert 

Abbildung eines Gegenstandes 

ohne optisch Hilfsmittel 

Bei geringen Entfernungen 

muß das Auge stark akkomodieren 

Brennpunkt 

der Lupe 

Brennpunkt 

der Lupe 

Augenlinse 

Beobachtet wird jedoch ein Schatten, der halb ausgeleuchtet wird: 

F Auge 

Lupe 

Lupe 

F Auge 

Augenlinse 

Augenlinse 

Bild auf der 

Netzhaut 

F Auge 

F Auge

6.4.2 Kohärenz 




Die einlaufenden ebenen Wellen haben eine konstante Intensität 

Beim Auftreffen auf ein Hindernis wird die Welle gebeugt, d.h. die Elemen- 

tarwelle an der Hinderniskante strahlt eine Kugelwelle aus, die sich jedoch 

nicht mehr mit den Nachbarelementarwellen zu einer ebenen Welle zu- 

sammensetzten kann. 

Es tritt eine Abweichung vom geometrischen Strahlengang auf, wobei die 

Intensität des gebeugten Stahls abnimmt, d.h. der Schattenraum wird nicht 

vollständig ausgeleuchtet. 

Gedankenexperiment: 

Zwei Lichtquellen stehen in einem gewissen Abstand 

und senden Kugelwellen aus. 

Beobachtung: 

Es gibt bestimmte Punkte im Raum, an denen sich 

die Wellen auslöschen bzw. konstruktiv überlagern. 

Wiederholung: 

Konstruktive Überlagerung: Gangunterschied 

Δ = m ⋅ λ , Verdopplung der Amplitude, Vervierfa- 

chung der Intensität. 

Destruktive Interferenz: : Gangunterschied 

( ) 

Δ = 2m + 1 ⋅ λ 2, 

Auslöschung beider Wellen 

Wird dieses Experiment mit zwei punktförmigen Lichtquellen durchgeführt, so ist die Beobachtung, dass 

entgegen dem obigen Gedankenexperiment keine Raumpunkte existieren, die stets dunkel oder hell sind. 

Der Grund ist darin zu suchen, dass die Wellen sind nicht unendlich ausgedehnt sind. Es werden von der 

Lichtquelle vielmehr durch die Anregung von Atomen kurze Lichtpulse emittiert, die zueinander keine feste 

Phasenbeziehung haben. Es entstehen durch Überlagerung örtlich zwar zeitlich begrenzte Interferenzen, die 

jedoch aufgrund ihrer Geschwindigkeit vom menschlichen Auge (und auch von Messgeräten) nicht aufge- 

löst werden können.




Erzeugung von kohärentem Licht: 

konstruktive 

Interferenz 

geometrische 

Wegdifferenz 

zu groß 

Medium mit 

Brechungsindex 

n 

optische 

Wegdifferen 

zu groß 

• erzwungene, zeitlich nicht abbrechende Emission von Licht im LASER oder bei Synchrotronstrahlung 

• Aufteilung eines Lichtstrahls in mehrere Teilstrahlen, deren zurückgelegter Wegunterschied so klein wird, 

dass sie sich in einem Punkt noch überlagern können. 

6.4.3 Interferenz an dünnen Schichten 

Eine einfache Möglichkeit, kohärentes Licht zu erzeugen, ist die Reflexion an dünnen Schichten. 

Zur Erklärung der Phänomene sei zunächst ein einfaches System betrachtet: 

Reflexion an dünnen parallelen Schichten: 

d 

α α 

A 

β 

B 

C 

a’ 

D 

a b c 

1. Der einfallende Strahl wird im Punkt A an der Grenzfläche der Schicht reflektiert und gebrochen: 

Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel: Erzeugung von Strahl a 

Brechung: sinα= n sinβ 

P 

E 

b’ 

n=1 

n>1




2. Der reflektierte Strahl verläuft weiter im Medium und wir in B reflektiert und gebrochen. Der reflektierte 

Strahl wird in C reflektiert und gebrochen. Erzeugung von Teilstrahl b. Das ganze wiederholt sich mehr- 

fach: Erzeugung von Teilstrahl c usw. 

3. Wenn die Strahlen a und b miteinander interferieren könnten, ist es wichtig zu wissen, wie groß der 

Gangunterschied in den Punkten C und P beider Strahlen ist. 

4. Alle reflektierten und gebrochenen Strahlen stammen aus dem Ursprungsstrahl und sind somit zueinan- 

der kohärent. 

5. geometrische Wegdifferenz: AB + BC − AP 

6. Da das Medium jedoch einen Brechungsindex n hat gilt: C 

med 

Cluft 

λ 

= ⇒ λ med = 

n n 

luft 

, d.h. die optische 

Weglängendifferenz ist. Das bedeutet, dass im Medium mehr Wellenzüge pro Wegeinheit verlaufen als 

außerhalb. So würden bei n=2 innerhalb des Mediums doppelt so viele Wellenzüge verlaufen wie außer- 

halb. Die optische Weglängendifferenz lautet somit: 

optische Wegdifferenz: n⋅ ( AB + BC) − AP 

7. Bei der Reflexion im Punkt a findet ein Phasensprung der Welle a um π bzw. λ/2 statt (Reflexion am 

optisch dichteren Medium) 

Für die reflektierten Strahlen lässt sich unter Berücksichtigung der geometrischen Verhältnisse ableiten: 

2 2 

Gangunterschied der Wellen a und b: Δ = 2⋅ 

d⋅ n − sin α − 

2 

λ 

reflektierte Strahlen a und b: 

Die Wellen b und c haben aufgrund der gleichen geometrischen Verhältnisse den gleichen Gangunterschied 

Δ. 

Für die gebrochenen Strahlen kann anlog der Gangunterschied abgeleitet werden. Da hier der einfallende 

Strahl nicht am optisch dichten Medium reflektiert wird, tritt auch kein Phasensprung auf. Demnach gilt für 

die gebrochenen Strahlen: 

2 2 

gebrochene Strahlen a’ und b’: Δ = 2 ⋅d ⋅ n − sin α 

Die beiden Strahlen a und b können mittels einer Linse, z.B. der Augenlinse, abgebildet werden, wodurch 

sie interferieren. 

2 2 

Verstärkung der Strahlen, wenn 2⋅ 

d⋅ n − sin α + = 2⋅ m⋅ , m = 1, 2, 3, 

.. 

2 

λ 

λ 

λ λ 

⋅d ⋅ n − sin + = 2⋅ m + 1 ⋅ , m = 1, 2, 3, 

.. 

2 

2 

2 2 

Auslöschung der Strahlen, wenn 2 

α ( )




Die Bedingungen für Auslöschung und Verstärkung werden nur für ganz bestimmte Winkel α eingehalten. 

Auf der Netzhaut ergeben sich somit Interferenzstreifen. Werden die reflektierten Strahlen nicht durch eine 

Linse abgebildet, so können Strahlen mit unterschiedlichem Einfallswinkel auf einem Schirm interferieren. 

Wegen der Symmetrie bilden sich Ringe aus (Haidingersche Ringe). 

Beispiele 

1. Newtonsche Ringe 

unterschiedliche 

optische Weglänge 

Beispiel: Netwonsche Ringe in verglasten Dias. 

Bei Transmission erscheint in der Mitte stets ein heller Fleck, bei Reflexionen ist der Fleck in der Mitte we- 

gen des Phasensprunges um π dunkel. 

2. Entspiegelung von optischen Geräten, wie z.B. Brillen 

n 3 

n 2 

n=1 

1 

Einfallende Lichtwellen werden an n2 und n2 reflektiert und erfahren beide einen Phasensprung um π. Die 

beiden Strahlen haben bei senkrechtem Einfall dann einen Gangunterschied von Δ = 2⋅ d⋅ n 2 

λ 

2 2 2 1 

2 

Destruktive Interferenz findet statt, wenn Δ = ⋅d ⋅ n = ( m + ) 

λ 

Die kleinste Schichtdicke ist demnach für m = 0 gegeben zu d = 

⋅n 

tig auslöschen. 

4 2 

, bei der sich die Strahlen gegensei- 

Die Reflexminderung funktioniert strenggenommen nur bei einer Wellenlänge und senkrechtem Einfall. 

Bei Brillen wird oft eine Schicht Kryolith (Na2AlF6) mit n=1,33 oder Magnesiumfluorid MgF2 aufgebracht. 

Wenn λ in der Mitte des sichtbaren Spektrums liegt (λ = 550 nm grünes Licht) muss die Mindestdicke der 

reflexmindernden Schicht mindestens d = 100 nm betragen. Die Strahlauslöschung ist in den Randberei- 

chen des Spektrums (blau und rot) jedoch schwächer, wodurch vergütete optische Instrumente oft in diesen 

Farben schimmern.

3. Seifenblasen 




Dünne Seifenblasen zeigen im reflektierten und im transmittierten Licht eine Aufspaltung des weißen Lichts 

in die regenbogenfarben. 

4. Oberflächenprüfung, Farben dünner Schichten 

1. Bei Reflexionen an sehr ebenen Oberflächen (siehe Versuch mit Linse oder Keil) treten als Interferenz- 

muster als regelmäßige Kreiserscheinungen auf. Unregelmäßigkeiten der Oberfläche stören die Ausbil- 

dung der Kreise. Rauhigkeiten im Bruchteil der Wellenlänge können so erkannt werden. Wichtig für die 

Werkstoffprüfung !! 

2. Waferherstellung: Farben der beschichteten Si-Wafer geben Aufschluss über die Schichtdicke. 

6.4.4 Michelson Interferometer 

Eine wichtige Anwendung von Interferenzen ist das Michelson-Interferometer, mit dem sich durch Interfe- 

renzeffekte Größen wie Länge, Brechzahl Winkel und Wellenlänge bestimmen lassen. 

Dies wird im Praktikum anhand der Bestimmung des Brechungsindex in Abhängigkeit des Druckes von 

Gasen durchgeführt. 

Aufbau des Michelson-Interferometers: 

L 

Sp1 

halbdurchlässiger 

Spiegel 

Schirm 

Das Licht von der Lichtquelle (die nicht kohärent strahlen muss) trifft auf einen Strahlteiler (z.B. einen halb 

versilberten Spiegel) und wird in zwei Teilstrahlen aufgeteilt. 

An den Spiegeln Sp1 und Sp2 wird das Licht reflektiert und als gemeinsamer Strahl auf dem Schirm abge- 

bildet. 

Jeder Teilstrahl durchläuft zweimal den Weg zwischen Spiegel und Strahlteiler. 

Die Wegdifferenz unter Vernachlässigung der optischen Differenz innerhalb des Spiegels ist demnach die 

Differenz der zurückgelegten Wege. 

2 l − l = 2m + 1 ⋅ λ 2 

Destruktive Interferenz der Strahlen für ( ) ( ) 

1 2 

2 1 2 

Konstruktive Interferenz der Strahlen für ( ) 

l − l = m ⋅λ 

Sp2 

dx




Sind die Spiegel versetzt zueinander angebracht, so entstehen je nach relativer Lage auf dem Schirm Inter- 

ferenzstreifen. Der Wechsel zwischen hell und dunkel entspricht somit einem Weglängenunterschied von 

λ/4, also etwa 100 nm bei Verwendung von blauem Licht. Der Wechsel von Interferenzstreifen ist auch be- 

obachtbar, wenn in den Strahlengang ein Hindernis mit dem Brechungsindex n eingebracht wird. 

6.4.5 Doppelspalt und Mehrfachspalt 

Interferenzerscheinungen spielen auch in vielen Spektrometern ein Rolle, bei denen eine Separation der 

Wellenlängen vorgenommen werden soll. Die Aufteilung von Licht in seine spektralen Bestandteile kann mit 

Hilfe eines Doppelspaltes bzw. Gitter erfolgen. 

Mit Hilfe des Doppelspaltes wurde von Thomas Young erstmalig die Wellennatur des Lichtes bewiesen: 

d 

Ein paralleles monochromatisches Lichtbündel treffe auf ei- 

nen Doppelspalt mit dem Spaltabstand d. Die Spaltbreiten 

können als Quellen zweier neuer Elementarwellen angesehen 

werden. Zwei der Strahlen interferieren im Punkt P 

Es entstehen Richtungen, in denen sich die Wellen auslö- 

schen bzw. verstärken. Je weiter die Spalte auseinander lie- 

gen, desto näher rutschen die Abstände der Maxima und 

Minima zusammen. 

Wenn der Abstand zwischen Schirm und Spalt genügend 

groß ist, können die beiden betrachteten Stahlen als parallel betrachtet werden (Alternativ können die paral- 

lelen Strahlen auch durch eine Linse abgebildet werden). Der Weglängenunterschied beider Strahlen ist 

dann d⋅ sinθ . 

konstruktive Interferenz: d⋅ sinθ = m ⋅ λ 

destruktive Interferenz: d ( m ) 

⋅ sinθ = 2 + 1 ⋅λ 

2 

y 

Für die Abstände auf dem Schirm gilt wegen tanθ = ≈ sinθ 

l 

Abstände der Maxima y 

Intensitätsverteilungen: 

Max 

l 

d m 

Für die beiden interferierenden Wellen gilt: 

( ω ) 

y = y cos t − kl 

1 0 

( ω ϕ ) 

y = y cos t − kl + 

2 0 

d 

2π 2π 

wobei ϕ = d⋅ θ ≈ d 

λ λ 

y 

sin 

l 

θ 

d sinθ 

θ 

l 

θ 

P 

y 

l 

d m = + ⋅ 2 1 λ 

2 

= ⋅ λ , Abstände der Minima ( ) 

y 

Min




Für die Überlagerung beider Wellen im Punkt P gilt dann: 

y + y = 2y 

1 2 0 

⎛ ϕ⎞ ⎛ ωt 

− kl⎞ 

cos⎜ ⎟ cos⎜ 

⎟ 

⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Die Intensität der Wellen ist proportional zur Amplitude, d.h. 

2 

⎛ ⎛ ϕ⎞ ⎞ 

2 ⎛ ϕ⎞ 

I ∝ ⎜2y 

0 cos⎜ ⎟⎟ 

= 4 ⋅I0 ⋅cos 

⎜ ⎟ = 4 ⋅I0 ⋅ cos 

⎝ ⎝ 2⎠ 

⎠ 

⎝ 2⎠ 

⎛ d⋅ y⎞ 

λ 

I = 4 ⋅I0 

für ⎜π 

⎟ = m⋅ π ⇒ yMax = m⋅ ⋅l 

⎝ λ ⋅l 

⎠ 

d 

2 

⎛ d⋅ y⎞ 

⎜π 

⎟ 

⎝ λ ⋅l 

⎠ 

d y 

I für 

( m ) y ( m ) 

l 

d l 

⎛ ⋅ ⎞ 

λ 

= 0 ⎜π 

⎟ = 2 + 1 ⋅ π ⇒ Max = 2 + 1 ⋅ ⋅ 

⎝ λ ⋅ ⎠ 

Je kleiner der Abstand der beiden Einzelspalte wird, desto weiter liegen die Minima und Maxima der Intensi- 

tätsverteilung auseinander. 

Mehrfachspalt 

Intensität 

4 I 0 

λ/d 2λ/d 

Wenn mehrere Einzelspalte im gleichen Abstand verwendet werden ergibt sich ein ähnliches Bild. Die Ma- 

xima liegen an gleicher Stelle wie beim Doppelspalt. Die Intensitäten sind höher und die Maxima sind 

schmaler ausgeprägt. 

Beispiel: 3 Einzelspalte 

sin θ=y/l

1 

gern. 




( ) ( ) 

Δ1 3 = 2⋅ d⋅ sin θ = m ⋅ 2λ 

− 

1. Im Punkt P herrscht konstruktive Interferenz, 

wenn der Gangunterschied zwischen Strahl 1 

und 2 sowie zwischen 2 und 3 gerade ein Viel- 

faches von λ beträgt: 

( ) 

Δ = Δ = d⋅ sin θ = m⋅ 

λ 

1−2 2−3 2. Dann liegt der Gangunterschied zwischen Strahl 

1 und 3 bei einem Vielfachen von 2λ, wodurch 

sich die Strahlen ebenfalls konstruktiv überla- 

3. Unter der Annahme, dass in Punkt P gerade das erste Maximum liegt, gibt es zwischen den Strahlen 1 

und 3 noch eine Bedingung für konstruktive Interferenz. 

Δ 1 3 

( ) 

− = d⋅ sin θ = m⋅ 

λ 

In diesem Fall liegt der Interferenzpunkt auf der halben Strecke auf dem Schirm. In diesem Punkt inter- 

ferieren jedoch die Strahlen 1und 2 sowie 2 und 3 destruktiv, d.h. das Maximum der Amplitude wird ge- 

schwächt (zwei gleichsinnige Überlagerungen werden durch eine gegensinnige Überlagerung ge- 

schwächt). Die Intensität des Punktes ist daher gegenüber dem Hauptmaximum geringer. 

Bei 4 und mehr Spalten gelten analoge Betrachtungen: 

• je mehr Spalte, desto ausgeprägter (heller und schmaler) werden die Intensitätsmaxima 

• Bei n Spalten entstehen zwischen zwei Maxima (n-2) Nebenmaxima und (n-1) Nebenminima 

6.4.6 Einzelspalt 

Entgegen der Berechnung, dass alle Hauptmaxima höherer Ordnung dieselbe Intensität aufweisen, wird in 

der Realität beobachtet, dass die Intensität mit zunehmender Ordnung schwächer wird. Bei der obigen Be- 

trachtungsweise wurde angenommen, dass pro Spalt nur eine Elementarwelle entsteht, die zu den Interfe- 

renzerscheinungen führt. 

Genauer betrachtet hat jeder Spalt selbst eine endliche Ausdehnung, die ebenfalls einen Beitrag zum 

Spektrum liefert. 

b 

2 

3 

θ 

1 

9 

l 

θ 

Der Strahl 1 hat gegenüber dem Strahl 9 einen Gangunterschied 

von 

Δ1− 9 = b⋅ sinθ 

und gegenüber dem mittleren Strahl einen Gangunterschied von 

b 

− = ⋅sinθ 

2 

Δ1 Mittel 

P 

y 

Wenn sich die beiden Strahlen konstruktiv überlagern würden,




dann gibt es stets einen Mittelpunktstrahl, der aufgrund des halben Gangunterschiedes der Welle mit dem 

Randstrahl destruktiv interferieren würde. Dies ergibt folglich 

destruktive Interferenz: Δ 1 9 

− = b⋅ sinθ = m⋅ 

λ 

Alle anderen Strahlen löschen sich nicht vollständig aus und es existieren Stellen mit maximaler Helligkeit, 

die zu den Rändern hin abnehmen. 

Für die exakte mathematische Behandlung müssen für einen Punkt des Schirmes alle Strahlen, die vom 

Einzelspalt ausgehen, überlagert werden. Unter der Voraussetzung, dass sich parallele Strahlen überlagern, 

lässt sich die Gangdifferenz der benachbarten Strahlen einfach berechnen durch Δ = a⋅ sinθ , wobei a der 

Abstand benachbarter Wellen ist. Es gilt demnach für die 

2π Phasendifferenz benachbarter Wellenzügeϕ = a⋅ sin θ 

λ 

Die Welle, die durch die Überlagerung der vom Spalt ausgehenden Kreiswellen entsteht, wird berechnet 

durch 

⎛ 2π 

⎞ 

yges = ∑ y0 cos⎜ωt − kl + j⋅ y ⋅sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

j= 1.. 

N 

Aus dieser Gleichung lässt sich die Amplitude der neuen Welle im Punkt P berechnen. Das Quadrat der 

Amplitude ist proportional zur Intensität der Welle, die vom Auge als Helligkeit wahrgenommen wird. 

I θ = I 

Die Intensität berechnet sich zu: ( ) 

6.4.7 Gitter 

Intensität 

0 

2 ⎛ π ⋅b 

⎞ 

sin ⎜ ⋅sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

⎛ π ⋅b 

⎞ 

⎜ ⋅sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

Beugung am Einzelspalt 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

sin teta 

2




Ein optisches Gitter ist ähnlich aufgebaut wie ein Mehrfachspalt. Die sich einstellende Intensitätsverteilung 

wird wie vorher beschrieben bestimmt durch den Abstand d der Spalte. Dem Beugungsmuster überlagert ist 

die Intensitätsverteilung des Einzelspaltes, die durch die Breite b der Spalte gegeben ist. 

d 

b 

d sinθ 

Die Anzahl der ausgeleuchteten Spalte sei p. Zu jedem Austritts- 

winkel θ muss nun die Überlagerung der p Einzelwellen betrachtet 

werden. Hierbei ergibt sich für die 

Amplitude x x 

neu = 

0 

⎛ π ⋅ d ⎞ 

sin⎜p sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

⎛ π ⋅d 

⎞ 

sin⎜ sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

2 ⎛ π ⋅d 

⎞ 

sin ⎜p 

sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

2 ⎛ π ⋅d 

⎞ 

sin ⎜ sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ 

Intensität I = I 

∝ ( ) 

Der Intensitätsverteilung überlagert ist die Intensitätsverteilung der Einzelspalte, d.h. das feine Muster 

des Gitters liegt innerhalb der Verteilung des Einzelspaltes 

Somit ergibt sich insgesamt für die Intensität: 

θ 

( θ) 

I 

I 

0 

2 ⎛ π ⋅b 

⎞ 2⎛ 

π ⋅d 

⎞ 


sin ⎜p 

sinθ⎟ 

⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ 

= 

2 ⋅ 

⎛ π ⋅b 

⎞ 

2 ⎛ π ⋅d 

⎞ 

⎜ sinθ⎟ 


⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ 

Beugung Beugung 

durch Einzelspalt durch Gitter 

0 

x neu 

2




Amplitude I/I0 

Beugung am Gitter 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

-0,0100 -0,0080 -0,0060 -0,0040 -0,0020 

0 

0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 

sin teta 

Die Bedingungen für konstruktive Interferenz sind entsprechend der oberen Gleichung immer dann erfüllt, 

wenn der Nenner des Gitterbeugungsterms minimal wird: 

π ⋅d 

y λ 

θ = m⋅ 

π ⇒ θ = = ⋅ 

λ 

l m sin sin 

d 

In diesem Fall werden Zähler und Nenner des Bruches gleichzeitig Null. Je kleiner der Abstand der Spalte 

ist, desto weiter liegen die Hauptmaxima auf dem Schirm auseinander. 

Die Bedingungen für die Nebenminima sind gegeben, wenn der Zählerterm der Gitterfunktion zu Null wird: 

d 

y 

p m 

l m π ⋅ 

λ 

⋅ sinθ = '⋅π ⇒ sinθ = = ' 

λ 

d⋅ p 

Die Minima sind demnach in gleichen Abständen über dem Schirm verteilt. Wenn der Bruch m’/p ganzzah- 

lig wird, ist gerade die Bedingung für ein Hauptmaximum erreicht. 

6.4.8 Auflösungsvermögen 

Optische Instrumente 

Infolge der Beugung des Lichtes an Kanten wird das Auflösungsvermögen optischer Instrumente (Fernrohr, 

Mikroskop, menschliches Auge) bestimmt. So wird z.B. das Bild eines Punktes beim menschlichen Auge 

theoretisch als Punkt auf der Netzhaut abgebildet. Infolge der Beugung an den Rändern der Augenlinse 

entsteht jedoch ein Fleck, der von dunkleren Ringen umgeben ist. 

Zwei benachbarte Punkte werden vom Auge demnach nur dann getrennt, wenn ihre Beugungsmuster im 

Bild örtlich weit genug getrennt sind.




Auflösungsvermögen des Gitters: 

Rayleigh-Kriterium 

Zwei Objekte können mit einem opti- 

schen Instrument getrennt werden, 

wenn im Beugungsmuster das Maxi- 

mum des einen gerade im Minimum 

des anderen liegt. 

Das Auflösungsvermögen eines optischen 

Instrumentes ist um so größer, je größer 

der Objektivdurchmesser und je kleiner 

die Wellenlänge des Lichts ist. 

Eine Trennung von zwei Wellenlängen λ1 und λ2 ist nach dem Rayleighkriterium nur dann möglich, wenn 

das Maximum der einen Welle gerade in das Minimum der anderen Welle fällt. 

Es sei λ 2 = λ1 + d λ 

Zwischen zwei Hauptmaxima befinden sich (p-1) Minima in gleichen Abständen 

Auf dem Schirm sind die Abstände zweier benachbarter Hauptmaxima gegeben durch: 

λ 

y( m + 1) − y( m) = l( sin θ( m + 1) 

− sin θ( 

m) ) = l⋅ d 

λ 

die Abstände zweier Minima ist somit s = l⋅ p⋅ d 

Wird nun das m-te Hauptmaximum von λ1 betrachtet, so ist der Ort des Minimums neben dem Hauptmaxi- 

mum gegeben durch 

λ λ λ ⎛ 1⎞ 

y( m) − s = l⋅ m⋅ − l⋅ = l⋅ ⎜m 

− ⎟ 

d p⋅ d d ⎝ p⎠ 

Dies ist aber auch die Lage des m-ten Hauptmaximums der zweiten Wellenlänge entsprechend des Ray- 

leigh-Kriteriums 

⎛ ⎞ d 

y m + s = l⋅ ⎜m 

+ ⎟ = l⋅ m⋅ 

m m d 

d ⎝ p⎠ 

d p + λ 1 λ λ ⎛ 1⎞ 

⇒ λ⎜ + ⎟ = ⋅ λ + λ 

⎝ ⎠ 

( ) ( ) 

Auflösungsvermögen des Gitters: λ 

dλ 

⇒ p⋅ m 

Je mehr Gitterstriche ausgeleuchtet werden und je höher die Beugungsordnung ist, desto größer ist das 

Auflösungsvermögen des Gitters. 

6.4.9 Prisma 

Auflösungsvermögen optischer Elemente 

δ 

Abblidendes 

Element, z.B. 

Objektiv, 

Durchmesser d 

δ>1,22 λ/d 

Beugungsmuster 

durch die Objektivbegrenzung




Eine weitere Erscheinung, die von der Wellenlänge des Lichtes abhängt, ist die Dispersion. Unter Dispersi- 

on wird die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge des Lichtes verstanden. Licht kleinerer 

Wellenlänge (violett) wird meist stärker gebrochen als Licht größerer Wellenlänge (rot). 

Dies bietet ebenfalls die Möglichkeit, Licht in seine Bestandteile zu zerlegen. Verwendet wird hierzu ein 

Prisma. Aufgrund der verschiedenen Brechzahlen werden die Strahlen mit unterschiedlicher Wellenlänge 

an den Kanten des Prismas unterschiedlich stark gebrochen, wodurch sie divergieren und spektral zerlegt 

auf der anderen Seite wieder austreten. 

Auflösungsvermögen des Prismas bei voller Ausleuchtung der Prismenseiten: 

6.4.10 Polarisation 

B 

λ 

B 

dλ 

λ 

dn 

= 

d 

Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle, d.h. sie kann dargestellt werden durch eine Schwin- 

gung eines elektrischen Feldes, welche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stattfindet. Senkrecht zum elekt- 

rischen Feld bildet sich zeitgleich ein magnetisches Feld aus. Wenn die Ausbreitungsrichtung x ist, kann die 

Welle folglich in y- und in z-Richtung schwingen. Diese Ebenen werden Polarisationsebenen genannt. 

Bei Lichtwellen existiert keine ausgezeichnete Schwingungsrichtung, d.h. die Schwingung des elektrischen 

Feldes erfolgt gleichberechtigt in beiden Polarisationsebenen. 

Polarisator

elliptisch polarisierte 

Lichtwelle 




Polarisator 1 

linear polarisierte 

Lichtwelle 

Unter einem Polarisator wird ein Gerät verstanden 

welches eine Schwingungsrichtung aussondert. 

Wenn die beiden Polarisatoren senkrecht zuein- 

ander stehen, kann kein Licht mehr durch den 

Polarisator gelangen. 

Linear polarisiertes Licht: die Welle hat nur eine ausgezeichnete Schwingungsrichtung der 

Amplitude 

Zirkular polarisiertes Licht: Überlagerung von zwei senkrecht zueinander stehenden Wellen mit 

gleicher Amplitude und einem Phasenwinkel von λ/4. Der resultieren- 

de Amplitudenvektor rotiert auf einer Kreisbahn um die Ausbreitungs- 

richtung herum. 

Elliptisch polarisiertes Licht: Überlagerung von zwei senkrecht zueinander stehenden Wellen un- 

linear polarisiertes Licht 

zirkular polarisiertes Licht 

Polarisator 2 

elliptisch polarisiertes Licht 


Auslöschung der Welle 

gleicher Amplitude oder mit einem Phasenwinkel ungleich λ/4. 



Ausbreitungsrichtung

7 ELEKTRIZITÄT 




Bei der Behandlung von elektrischen und magnetischen Phänomenen wird im unterschieden in 

Elektrostatik: ruhende Ladungen und deren Eigenschaften 

Magnetostatik: sich konstant bewegende Ladungen (Gleichströme), zeitlich konstante magnetische 

Felder 

Elektrodynamik: beschleunigte Ladungen, elektromagnetische Wellen 

7.1 Das elektrische Feld 

7.1.1 Definitionen 

elektrische Ladung: In der Natur sind zwei Arten elektrischer Ladungen bekannt: positive und negative. 

Die Nomenklatur ist historisch gewachsen und willkürlich gewählt. 

Ladungen treten in Vielfachen der Elementarladung auf. Ladungsgrößen ungleich 

einem Vielfachen der Elementarladung existieren nicht. Die Elementarladung ist 

eine Naturkonstante. 

−19 

Elementarladung: e = 1, 

602 ⋅10 

C (Bestimmung durch Milikan Versuch) 

Die Einheit C wird Coulomb genannt. 

positive Elementarladung: Wasserstoffproton, Positron, +Myon, +Pion 

negative Elementarladung: Elektron, Antiproton, -Myon, -Pion 

neutrale Ladung: Neutron, Neutrino, Photon, 0Pion 

Ladungserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung konstant, d.h. La- 

dung vernichtet sich nicht selbständig. Makroskopisch bedeutet eine negative Gesamtladung einen Elektro- 

nenüberschuss und eine positive Gesamtladung einen Elektronenmangel. 

Coulombkraft 

Die Wirkungen von Ladungen aufeinander sind Kräfte, die abstoßend bei gleichem Ladungsvorzeichen und 

anziehend bei ungleichen Vorzeichen der Ladungen sind. Dieses Verhalten wird durch die Coulombkraft 

beschrieben: 

Q 1 

r 12 

Q 2 

F 

12 

1 

= 

4πε 

0 

Q 

⋅Q 

1 

2 

r12 

2 

Die Größe ε0 wird Dielektrizitätskonstante 

ε 

0 

= 8, 

854 ⋅10 

−12 

r 

r 

12 

12 

2 

C 

N⋅ 

m 

2 

genannt.




Q1 und Q2 sind die beiden (Punkt)-Ladungen, die im Abstand r12 voneinander entfernt sind. Wie Richtung 

der Kraftwirkung liegt auf der Verbindungslinie r12 zwischen beiden Ladungen und ist von den Vorzeichen 

beider Ladungen abhängig. 

Vergleich zwischen Coulombkraft und Gravitationskraft 

Ursache 

Kraftrichtung 

Stärke 

Abschirmbarkeit 

Bedeutung 

Coulombkraft 

1 Q Q r 

1 ⋅Q 

r 

1 ⋅ 2 12 

F = 12 

2 

πε r r 

4 4πε 0 12 

12 

zwei Ladungen 

Anziehung und 

Abstoßung 

groß 

ja 

Zusammenhalt 

der Atome 

Gravitationskraft 

m m r 

1 ⋅m 

r 

1 ⋅ 2 

F 12 = γ 2 

r 

r 

12 

12 

12 

zwei Massen 

Anziehung 

klein 

nein 

Zusammenhalt 

des Universums 

Influenz: Durch die elektrostatische Kraftwirkung werden freie Ladungen entsprechend ihrem Vorzeichen 

verschoben. Auf diese Weise ist eine Ladungstrennung möglich. 

7.1.2 Elektrisches Feld von Punktladungen 

Betrachtet wird eine Punktladung (Probeladung), die sich räumlich entfernt von anderen Punktladungen 

befindet. Je nach Ort der Probeladung erfährt diese eine resultierende Kraft, die durch die anderen Ladun- 

gen ausgeübt wird. 

F ges,0 

• Die resultierende Kraft ist abhängig vom Ort der Probeladung 

• Die Wirkung auf die Probeladung ist abhängig von dem elektrischen 

Feld, welches durch die drei anderen Ladungen erzeugt wird. 

F 

E = 

ortsabhängiges elektrisches Feld: ( x, 

y, 

z) 

( x, 

y, 

z) 

In der Physik wird meist der Feldbegriff verwendet, um verschiedene 

Wechselwirkungen zu beschreiben. Das Feld breitet sich im gesamten Raum aus und die Stärke der Wech- 

selwirkung ist abhängig von der Größe des Feldes. Ferner kann ein Feld eine zeitliche Abhängigkeit aufwei- 

sen. 

F 20 

F 30 

F 10 

Q 0 

Q 3 

Q 1 

Q 2 

Beispiel: Gravitationsfeld, Wirkung der Gravitationskraft auf eine Probemasse in Anwesenheit anderer 

Massen, die dieses Feld erzeugen. 

Gewichtskraft: G = m⋅ g , g ist das Gravitationsfeld, das durch die Erde erzeugt wird. 

Q 

0

Begriffsbestimmungen: 




Richtung Ort Zeit 

Abhängig Vektorfelder inhomogene Felder Instationäre Felder 

Unabhängig Skalare Felder homogene Felder Stationäre Felder 

Das elektrische Feld, das von Punktladungen erzeugt wird lässt sich über die Coulombkraft berechnen: 

Die Kraft von einer Ladung Qi auf die Probeladung Q0 ist 

F 

i0 

1 

= 

4πε 

0 

Q ⋅Q 

i 

2 

ri0 

0 

r 

i0 

r 

Das von der Ladung i erzeugte Feld ist somit 

E 

i0 

1 Q r 

i i 

= 2 

4πε 

0 ri, 

0 ri 

0 

0 

i0 

Die resultierende Kraft auf die Probeladung im Aufpunkt bzw. das resultierende Feld im Aufpunkt, das durch 

die Ladungen i erzeugt wird lässt sich somit schreiben als: 

F = F = 

0 i0 

i 

i 

1 Q Q r 

i ⋅ 0 i0 

1 

2 E0 = Ei0 

= 

4πε 

r r 

4πε 

∑ ∑ ∑ ∑ 

Elektrischer Dipol 

0 

i0 

i0 

i 

i 

Q 

i 

2 

0 ri0 

Zwei Ladungen gleicher Größe mit verschiedenen Vorzeichen seien in der folgenden Anordnung gegeben: 

y 

-Q +Q 

-a a 

Das elektrische Feld in x-Richtung lässt sich wie folgt berechnen: 

1 Q 1 − Q Q ⎛ 1 1 ⎞ Q 4 ⋅a 

⋅ x 

E = 

e + 

e = ⎜ − ⎟ ⋅ e = 

⋅ e 2 

4πε 

0 

2 x 

2 x 

2 

2 x 

2 2 

( x − a) 

4πε0 

( x + a) 

4πε 

⎜ 

0 ( x a) 

( x a) 

⎟ 

⎝ − + ⎠ 4πε0 

( x − a ) 

e x ist der Einheitsvektor in x-Richtung. 

Für große Entfernungen x ist x>>a und der zweite Term kann angenähert werden durch: 

4 ⋅a 

⋅ x 4 ⋅a 

≈ 

2 ( x − a ) 

2 2 3 

x 

r 

i0 

r 

i0 

x 

x




1 4 ⋅a 

⋅Q 

Somit lautet das elektrische Feld im Fernbereich der Ladungen E = 

⋅ e 3 x 

4πε 

x 

Definition des elektrischen Dipolmomentes: p = 2⋅ 

a ⋅Q 

⋅e 

x 

Das Dipolmoment zeigt von der negativen zur positiven Ladung und hat den Betrag des Produktes aus La- 

dung und Abstand der Ladungen. Für die Felder auf der y-Achse können analoge Berechnungen durchge- 

führt werden. Die Größe der Felder nimmt mit der dritten Potenz des Abstandes vom Dipolmoment ab. Die 

Näherungen gelten für den Fernbereich, im Nahbereich des Dipols ist die Beschreibung des Feldes i.a. 

komplizierter. 

y 

-Q +Q 

Elektrische Feldlinien 

+ 

7.1.3 Bewegung von Ladungen in E-Feldern 

Q,m 

0 

-a a 

+ 

Richtung und Größe 

des Dipolfeldes auf der y-Achse 

Richtung und Größe 

des Dipolfeldes auf 

der x-Achse 

Feldlinienbilder von ruhenden Ladungen 

- - + 

- 

E 

+ - + + 

+ 

0 

Dipolfernfelder eines Dipolmomentes in p in x-Richtung 

1 2⋅ 

p 

E = ⋅ e 

x-Richtung 

3 x 

4πε0 

x 

1 p 

E = ⋅ e 

y-Richtung 

3 x 

4πε0 

x 

Zur Visualisierung des elektrischen Feldes 

werden elektrische Feldlinien verwendet. Die 

Feldlinien zeigen in jedem Punkt des Rau- 

mes in Richtung des elektrischen Feldes und 

damit in Richtung der Kraftwirkung auf eine 

positive Probeladung. Entsprechend dem 

Coulombgesetz verlaufen die Feldlinien von 

der positiven Ladung zur negativen Ladung. 

Die Dichte der Feldlinien repräsentiert die 

Größe des elektrischen Feldes 

Eine Probeladung Q befinde sich in einem elektrischen Feld. Wegen der Ladung 

wirkt somit die Coulombkraft und die Probeladung wird beschleunigt. 

m ⋅ a = Q ⋅E 

x 

- 

- 

- 

+ 

+ 

+ 

wobei m die Masse der Probeladung ist. Diese Gleichung verknüpft die Newton- 

sche Mechanik mit der Elektrostatik. Sie ist gültig, solange die Bewegung der




Teilchen mit kleiner Geschwindigkeit erfolgt. 

Die Beschreibung der Bewegung einer einzelnen Punktladung ist somit vergleichsweise einfach. In den 

meisten Fällen bestehen Probeladungen jedoch nicht nur aus einer Ladung: 

Polarisierbarkeit: Durch die Wirkung eines elektrischen Feldes werden positive und negativen Ladungsträ- 

ger z.B. eines Atoms gegeneinander verschoben. Es bildet sich somit ein induziertes Dipolmoment aus 

+ - 

polare Moleküle: Polare Moleküle, wie z.B. Wasser oder NO, weisen eine bereits bestehendes festes Di- 

polmoment auf, d.h. das Molekül hat eine unsymmetrische Ladungsverteilung. Die Wirkung eines elektri- 

schen Feldes ist nun aber auf beide Ladungen unterschiedlich. 

F 

- 

+ 

α 

p 

Die Kräfte auf die Einzelladungen bewirken ein Drehmoment auf das Molekül und eine Ausrichtung in Feld- 

richtung. 

Das Drehmoment auf das Molekül ist gegeben durch 

M = l⋅ 

F ⋅ sinα 

= l⋅ 

Q ⋅E 

⋅sinα 

= p ⋅E 

⋅sinα 

oder allgemeiner M = p × E 

7.1.4 Kontinuierliche Ladungsverteilungen 

In der Praxis tritt häufig der Fall auf, dass in einem Volumenelement eine große Anzahl von Ladungen vor- 

handen sind, d.h. die Berücksichtigung jeder einzelnen Elementarladung zur Berechnung des elektrischen 

Feldes ist sehr mühselig. Es wird die Betrachtung daher auf Volumenelemente und deren räumliche Lage 

zueinander eingeschränkt. Es gelten die folgenden Definitionen: 

Gesamtladung: Q = ∫ dq 

Gesamtvolumen: V = ∫ dV 

V 

V 

Die Integration erstreckt sich über das gesamte Volumen. 

- 

F 

+ 

elktrisches Feld 

elktrisches Feld




In diesem Zusammenhang wird eine Größe eingeführt, die die Dichte der Ladungen pro Volumeneinheit 

beschreibt: Raumladungsdichte: 

dQ 

ρ = 

dV 

Das elektrische Feld berechnet sich dann durch Überlagerung der Felder, 

die durch die Ladungselemente dQ hervorgerufen werden. 

d E 

1 

= 

4πε 

0 

dQ 

2 

r 

r 

r 

1 

⇒ E = ∫ 4πε 

V 

0 

dQ 

2 

r 

r ist der Verbindungsvektor zwischen Aufpunkt des elektrischen Feldes 

und der Ladung dQ 

Auf diese Art ist es möglich, bei gegebenen beliebigen Raumladungsverteilungen das ortsabhängige elektri- 

sche Feld zu berechnen. 

Beispiele: 

Plattenkondensator: 

σ=const 

dE 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

r 

r 

Elektrisches Feld einer unendlich ausgedehnten gelade- 

nen Fläche mit der Flächenladungsdichte 

Q 

σ = , 

A 

die sich im Ursprung in der y,z-Ebene ausdehnt ist gege- 

ben durch: 

E 

x 

1 

= 

2ε 

0 

σ x > 0 

Das Feld besitzt nur Komponenten in x-Richtung und ist überall gleich groß. Näherungsweise beschreibt 

dieses Modell das Verhalten eines Plattenkondensators. 

Punktladung: 

E r 

Q 

Geladene Kugeln: 

r 

E x 

dQ 

Das Feld einer Punktladung verläuft radial nach außen und hat den Wert 

E 

r 

1 Q 

= , wobei r der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel ist. 

2 

4πε 

r 

0 

x




E r 

+ + R 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ + + 

+ 

+ + + 

+ 

+ 

+ + + 

+ 

r 

E r 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ + R 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + + 

homogen geladene Homogen geladene 

Kugel Kugelschale 

1 Q 

Feld innerhalb Er = rr 

< R E 3 

r = 0r 

< R 

4πε 

R 

0 

1 Q 

1 Q 

Feld außerhalb Er = r > R E r R 

2 

r = > 2 

4πε 

r 

4πε 

r 

0 

7.1.5 Ladung und Feld auf leitenden Oberflächen 

E 0 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

0 

Leitende Oberflächen zeichnen sich dadurch aus, dass sie frei beweg- 

liche Ladungsträger innerhalb des leitenden Materials besitzen. Wird 

ein leitendes Material einem elektrischen Feld ausgesetzt, so bewegen 

sich die Ladungsträger durch die Wirkung der Coulombkraft zum bzw. 

entgegengesetzt dem elektrischen Feld, bis das äußere Feld durch die 

Ladungsträgerverschiebung aufgehoben wird. das Innere des leitenden 

Materials ist dann feldfrei. 

• Die durch Influenz erzeugten Oberflächenladungen des leitenden Materials ist gerade so groß, dass 

das externe elektrische Feld E0 gerade aufgehoben wird. 

• Ein elektrisches Feld steht stets senkrecht auf der Leiteroberfläche und hat die Größe 

(doppelter Beitrag einer einzigen unendlich ausgedehnten Platte) 

• Auf diesem Effekt beruht die Abschirmwirkung von geschlossenen Metallkäfigen: 

Feldemission: 

E innen 

E 0 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

E 0 

Faraday-Käfig: z.B. Blitzschutz im Auto 

Abschirmende Wirkung durch vergittertes Fenster in der Mikrowelle 

leitende Kunststoffe für EMV bei elektronischen Geräten 

r 

En 

σ 

= . 

ε 

0




Durch die Kraftwirkung des äußeren elektrischen Feldes können Ladungsträger aus dem Inneren des leiten- 

den Materials herausgezogen werden. Dieser Effekt wird Feldemission genannt. 

Beispiele: 

• Aufladung an trockenen Tagen und Schlagwirkung bei Berühren von geerdeten Gegenständen. 

• Funkensprühen beim Kämmen, Knistern beim Aus- und Anziehen synthetischer Pullover. 

7.2 Elektrisches Potential 

7.2.1 Definitionen 

In der Mechanik wurde die potentielle Energie eingeführt, um Bezugspunkte festzulegen. Die Differenz zwi- 

schen zwei potentiellen Energien war dabei ein Maß für die Arbeit, die z.B. in eine Masse hineingesteckt 

werden musste, um diese im Schwerefeld der Erde um eine gewisse Höhe anzuheben: Δ E = m⋅ 

g ⋅h 

. 

Wird eine Ladung durch ein elektrisches Feld bzw. die Coulombkraft verschoben, so wird an der Ladung 

durch das Feld Arbeit verrichtet und die verrichtete Arbeit entspricht auch in diesem Falle einer Änderung 

der potentiellen Energie: 

dEpot = −FCoulomb 

⋅ds 

⇒ dEpot 

= −Q 

⋅E 

⋅ ds 

Auch hier ist die Bewegung relevant, die parallel zur Kraftwirkung ausgeführt wird. die Änderung der poten- 

tiellen Energie ergibt sich dann zu 

ΔE 

pot 

= 

2 

∫ 

1 

− Q ⋅E 

⋅ds 

In der Elektrostatik wird meist nicht die potentielle Energie eine Ladung betrachtet, sondern die Energie 

bezogen auf die Ladung. Es wird definiert die 

2 

dEpot 

ΔEpot 

Potentialdifferenz: d Φ = = −E 

⋅ds 

⇒ ΔΦ = Φ2 

− Φ1 

= = ∫ −E 

⋅ds 

Q 

Q 

Die Potentialdifferenz ist die durch ein elektrisches Feld verrichtete Arbeit pro Ladungseinheit, 

wenn die Probeladung sich vom Punkt 1 zum Punkt 2 bewegt. Potentialdifferenz und Arbeit haben 

entgegengesetzte Vorzeichen. 

Im technischen Sprachgebrauch wird die Potentialdifferenz als elektrische Spannung bezeichnet. Allgemein 

kann analog zur potentiellen Energie z.B. im Schwerefeld der Erde die ein Bezugspunkt des Potentials zu 

Null gesetzt werden. 

Spannung: U Φ − Φ = ΔΦ , 1 V = 1 J/C 

12 = 2 1 

Spannung und Potential haben die Einheit von Energie/Ladung. 

1




Beispiel: In einer Autobatterie ist das Potential des positiven Pols gegenüber dem negativen Pol um 12 V 

höher. Wird ein Verbraucher an die Batterie angeschlossen, nimmt die potentielle Energie einer Ladung von 

1 C um Δ = Q ⋅ ΔΦ = 1C 

⋅12V 

= 12J 

ab. Diese Energieabnahme wird in Form von elektrischer Ener- 

E pot 

gie dem Verbraucher zugeführt. 

Einheitenumrechnung, Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Größen: 

Aus obiger Gleichung folgt: 

1 J = 1 Nm = 1 VC, daraus: 1 V/m = 1 V/C 

Eine positive Probeladung wird in einem elektrischen Feld beschleunigt. 

Die Zunahme der kinetischen Energie entspricht gerade der Abnahme der 

potentiellen Energie. Die Probeladung bewegt sich somit von einem hohen 

Potential in Richtung des niedrigeren Potentials. Elektrische Feldlinien zei- 

gen somit in Richtung des niedrigeren Potentials. 

Analogie: Im Schwerefeld der Erde bewegt sich eine Masse in Richtung des 

Erdmittelpunktes. Die potentielle Energie wird dabei kleine, während die kinetische Energie um den gleichen 

Betrag anwächst. 

7.2.2 Potential von Punktladungen 

Das elektrische Feld einer Punktladung war: 

1 

= 

4πε 

Q 

r 

Er 2 

0 

Das Feld zeigt bei einer positiven Punktladung radial nach außen. 

Eine Änderung der potentiellen Energie wird demnach nur erreicht, wenn eine Probeladung im Feld dieser 

Punktladung parallel zu den Feldlinien bewegt wird. Eine Verschiebung einer Probeladung Q0 um ds, die 

eine Änderung des Potentials bewirkt, entspricht daher genau einer Erhöhung des Abstandes um dr, d.h. 

dE 

Φ = 

q 

1 

= −E 

⋅ds 

= − 

4πε 

d 

pot 

2 

0 

Q 

dr 

r 

(Minuszeichen: Eine Verringerung des Abstandes bewirkt eine Erhöhung des Potentials) 

1 Q 1 Q 

oder nach Integration: ΔΦ = ∫ − dr = + Φ 

2 

0 

4πε 

r 4πε 

r 

0 

0 

Üblicherweise wird das Potential im Unendlichen zu Null gesetzt, wodurch der Term Φ 0 ebenfalls zu Null 

gesetzt werden kann. 

Φ = 0 für Φ = 0 bei r → ∞ 

0 

Wird demnach eine positive Probeladung im Feld einer anderen positiven Ladung im Abstand r losgelassen, 

so wird die positive Ladung ins Unendliche bewegt. Die Arbeit die das Feld an der Probeladung verrichtet 

ergibt sich dann zu: 

r 

r

∞ 




1 

W = ∫Q 

0 ⋅E 

⋅ds 

= Q0 

⋅ ∫E 

⋅ds 

= Q0 

⋅∫ 

4πε 

r 

∞ 

r 

∞ 

r 

0 

Q 1 

⋅ ⋅ dr = 2 

r 4πε 

0 

Q0 

⋅Q 

⋅ ⋅ 

r 

Die potentielle Energie ist demnach am Punkt P im Abstand r gegeben durch das 

Potential an dieser Stelle multipliziert mit der Probeladung Q0. 

1 

= 

4πε 

Q0 

⋅Q 

⋅ = Q 

r 

Epot 0 

0 

⋅Φ 

( r) 

Potential eines Systems von Punktladungen: 

Das elektrische Feld eines Systems von Punktladungen bestimmt sich aus der Überlagerung der Felder der 

Einzelladungen: 

E = E + E + .... + E 

ges 

1 

2 

n 

Mit der Definition der Potentialdifferenz folgt hieraus sofort 

d Φ = −E 

ges 

1 

⋅ds 

⇒ Φ( 

r0 

) = ∑ 4πε 

Q 

r 

i 0 0i 

Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilungen: 

i 

Die gleichen Überlegungen gelten für kontinuierliche Ladungsverteilungen, nur dass wiederum die Summa- 

tion durch die Integration über infinitesimal kleine Ladungseinheiten ersetzt wird 

1 

Φ( 

r0 

) = ∫ 4πε 

Beispiele: 

Q 

Q 0 

0 

dQ 

r 

Plattenkondensator: 

1 

Das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten geladenen Fläche war E x = σ x > 0 

2ε 

Das Potential lässt sich hieraus errechnen aus der Bedingung: 

x 

1 

Φ 

2ε 

∫ 

1 

2ε 

( x) 

− Φ( 

0) 

= ∫ Ex 

⋅dx′ 

= − σ dx′ 

= Φ0 

− σ⋅ 

x für x > 0 

0 

0 

x 

0 

wobei Φ 0 das Potential auf der Platte ist. Das Potential ist auf der Platte am größten und nimmt stetig mit 

zunehmendem Abstand ab. Allerdings wird das Potential in diesem Falle im Unendlichen nicht zu Null. 

Im Feld eines Plattenkondensators würde die potentielle Energie einer Ladung demnach linear mit dem 

Abstand von der Platte abnehmen: 

Potentialdifferenz: ΔΦ = U = E ( x − x ) 

12 

x 

2 

1 

0 

0




Die Spannung, die zwischen den Platten eines Kondensators abfällt, ist proportional dem Abstand der Plat- 

ten. 

7.2.3 Feld und Potential, Poissongleichung 

Äquipotentiallinien: 

Aus der Definitionsgleichung des Potentials dΦ = −E 

⋅ ds folgt, dass die Änderung des Potentials Null ist, 

wenn die Verschiebung senkrecht zum elektrischen Feld erfolgt. Andererseits ist sie am größten, wenn sie 

in Richtung des elektrischen Feldes erfolgt. Das Potential weist dort den größten Gradienten auf. 

Beispiel Punktladung: 

Gardienten des Potentials beschreiben: 

E = −gradΦ 

= −∇Φ 

Entlang den Äquipotentiallinien ist das elektrische Feld vom 

Betrage her gleich groß. Im Falle der Punktladung ist dies 

gegeben in gleichen Abständen vom Mittelpunkt der Punktla- 

dungen. Da in diesem Falle zum Verschieben einer Probela- 

dung keine Arbeit benötigt wird, steht wegen 

d Φ = E ⋅ ds 

= 0 das elektrische Feld stets senkrecht auf 

den Potentiallinien. 

In vektorieller Schreibweise lässt sich die Gleichung wie folgt darstellen: 

⎛E 

⎜ 

E = ⎜E 

⎜ 

⎝E 

x 

y 

z 

Q 

Äquipotentiallinien 

⎛ δΦ 

⎞ ⎛ d ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ dx ⎟ 

⎟ 

⎜ dΦ ⎟ 

= 

⎜ d ⎟ 

⎟ = − Φ = 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Φ = −∇Φ 

⎟ 

dy dy 

⎠ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ 

dΦ 

⎟ ⎜ 

d 

⎟ 

⎝ dz ⎠ ⎝ dz ⎠ 

dx 

grad 

⎛ δ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ δx 

⎟ 

⎜ δ ⎟ 

Hierbei wird ∇ = der Nabla-Operator genannt 

⎜ δy 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

δ 

⎟ 

⎝ δz 

⎠ 

Diese Eigenschaften lassen sich mathematisch durch den 

Durch die Gradientenoperation wird aus dem skalaren Potential Φ einen Vektor erzeugt, der in die Richtung 

der Abnahme von Φ zeigt. Aus Symmetriegründen kann auch eine Operation eingeführt werden, die eine 

vektorielle Größe zu einer skalaren Größe umwandelt. Diese Rechenoperation wird Divergenz genannt. Es 

kann gezeigt werden, dass im Falle kontinuierlicher Landungsverteilungen gilt:




dQ 

Mit der Raumladungsdichte: ρ = kann gezeigt werden, dass 

dV 

⎛ δ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ δx 

⎟ ⎛E 

x ⎞ 

⎜ δ ⎟ ⎜ ⎟ δ δ δ 1 

div E = ∇ ⋅E 

= 

⎜ ⎟ 

⋅⎜E 

y ⎟ = E x + E y + Ez 

= ρ Poissongleichung 

δy 

⎜ ⎟ δx 

δy 

δz 

ε0 

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 

⎜ 

δ 

Ez 

⎟ 

⎝ δz 

⎠ 

Wird hier der funktionale Zusammenhang zwischen E und Φ eingesetzt, so ergibt sich: 

div E 

⎛ δ ⎞ ⎛⎛ 

δ ⎞ ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜⎜ 

⎟ ⎟ 

⎜ δx 

⎟ ⎜⎜ 

δx 

⎟ ⎟ 

2 

2 

2 

⎜ δ ⎜⎜ 

δ ⎟ ⎟ δ δ δ 

= −divgradΦ 

= ∇ ⋅ 

⎟ 

⎜ ⎟ ⎜⎜ 

δ ⎟ ⎟ 2 

2 2 

δy 

y δx 

δy 

δz 

⎜ ⎟ ⎜⎜ 

⎟ ⎟ 

⎜ 

δ 

⎟ ⎜ 

⎜⎜ 

δ 

⎟ ⎟ 

⎝ δz 

⎠ ⎝⎝ 

δz 

⎠ ⎠ 

Der Operator 

( ∇ ⋅ Φ) 

= ⋅ ⋅Φ 

= Φ + Φ + Φ = ΔΦ 

2 2 2 

⎛ δ δ δ ⎞ 

= div grad = ⎜ + + ⎟ wird Laplace-Operator genannt. 

2 2 

⎝ δx 

δy 

δz 

⎠ 

Δ 2 

Hieraus ergibt sich die Laplacegleichung 

1 

ΔΦ = − 

ε ρ 

0 

Anschauliche Deutung: Die Divergenz eines Feldes ist die Quelle, von der das elektrische Feld ausgeht, ist 

die Raumladungsdichte 

• positiv: Das Feld beginnt an dieser Raumladungsdichte, die Feldlinien verlaufen aus dem Volumen 

von der Raumladungsdichte weg. 

• negativ: Das Feld endet in der Raumladungsdichte, die Feldlinien laufen in das Volumen mit 

der Raumladungsdichte hinein. 

• Null: Das Feld besitzt keine Quelle. Bezogen auf ein festes Volumen enden keine Feldlinien in 

diesem Volumen, vielmehr laufen genauso viele Feldlinien hinein wie heraus. 

Wird die Poissongleichung über das Volumen, welches die gesamte Ladung der Raumladungsdichte ent- 

hält, integriert, so folgt 

∫ 

V 

1 1 

divE 

dV = ρ dV = Q 

ε ∫ ε 

0 

V 

0 

innen 

Andererseits gilt aber auch der Gaußsche Integralsatz, wonach 

∫ 

V 

div 

E dV = 

∫ 

S 

EdA 

= 

∫ 

S 

E 

n 

dA




Hieraus lässt sich allgemein das Durchflutungsgesetz ableiten, welches 

eine bessere anschauliche Bedeutung hat, als die Schreibweise mit 

Differentialoperatoren 

1 

∫ EdA 

= ∫divE 

dV = Qinnen 

Gaußscher Satz 

ε 

S 

V 

0 

Anschaulich: Der gesamte Fluss der elektrischen Feldlinien senk- 

recht zu einer geschlossenen Oberfläche ist einzig abhängig von 

der gesamten Ladung, die sich innerhalb der geschlossenen Ober- 

fläche befindet. 

Dieses Durchflutungsgesetz hat in der Elektrostatik und Elektrodynamik eine große Bedeutung (1. Maxwell- 

sche Gleichung). Allerdings ist die mathematische Behandlung (Integration bzw. Differentiation) i.a. sehr 

schwierig. 

7.3 Elektrischer Strom: 

7.3.1 Definitionen: 

Strom 

dQ 

I = [A=Ampere] 

dt 

Unter Strom wird die pro Zeiteinheit transportierte Ladung Q verstanden, die durch die Querschnittsfläche 

z.B. eines Leiters fließt. 

Daraus folgt, dass die transportierte Ladung berechnet werden kann aus: Q = ∫Idt 

Wenn die Stromstärke konstant ist, vereinfacht sich die obige Gleichung zu Q = I⋅ 

t 

Stromdichte 

I 

j = , Strom pro Querschnittsfläche in einem Leiter 

A 

Spannung : Unter der elektrischen Spannung wird nach den Ausführungen im vorigen Kapitel ein Maß zur 

Trennung von Ladungsträgern verstanden. Eine Spannung tritt immer dann auf, wenn positive und negative 

Ladungsträger voneinander getrennt werden. Werden diese Pole miteinander verbunden, so findet ein La- 

dungsträgeraustausch statt, d.h. es fließt ein Strom. Die Spannung ist gleich der Potentialdifferenz wischen 

zwei Punkten, die gerade den Unterschied in der potentiellen Energie von Ladungen beschreibt. 

ΔEpot 

U = ΔΦ = 1 V = 1 J/C 

Q 

Die Ladung von 1 C ändert demnach die potentielle Energie um 1 J, wenn sie eine Spannung von 1 V 

durchläuft. 

Q 

En 

dA 

Energieeinheit Elektronenvolt: 

t 

t 

2 

1




Bei atomistischen Vorgängen werden oftmals Ladungsträger betrachtet, die gerade die Elementarladung 

tragen. Bei diesen Betrachtungen wird eine Umrechnung der Energie dieser Ladungsträger in eine günstige- 

re Einheit vorgenommen: Durchläuft ein Elektron eine Spannungsdifferenz von einem Volt, so erhöht (oder 

erniedrigt) es seine potentielle Energie gerade um 1 Elektronenvolt: 

Mit U = 1 V, Q = 1,602 10 -19 C wird 

ΔE 

pot 

⇒ 1 eV = 

= U⋅ 

Q = 

1, 

602 ⋅10 

⇒ 1 J = 6, 

242⋅10 

1, 

602 ⋅10 

18 

−19 

J 

eV 

−19 

VC = 

7.3.2 Elektronenleitung in Leitern 

1, 

602 ⋅10 

−19 

J = 1 eV 

Ein elektrischer Strom in einem Leiter entsteht durch die Bewegung von freien Ladungsträgern des Leiters. 

Hierzu ist eine Spannung notwendig, die über dem Leiter eine Potentialdifferenz aufrecht erhält. Diese 

Spannung wird von einer Spannungsquelle erzeugt. Die Energie, die zur Aufrechterhaltung der Spannung 

notwendig ist, wird durch Umwandlung anderer Energieformen erreicht: 

Chemisch: Galvanische Elemente 

Mechanisch: Generatoren 

Lichtenergie: Solarzellen 

Q vd 

Eine Stromstärke von 1A wird erreicht, wenn durch 

den Leiterquerschnitt pro Sekunde eine Ladung von 

C 

1 C fließt: 1 A = 1 

s 

Technische Stromrichtung: von positiver Span- 

nung zu negativer Spannung. Die Ladungsträger 

werden dabei als positiv geladen angenommen. Elektronen in einem metallischen Draht bewegen sich da- 

her in der entgegengesetzten Richtung. 

Elektronenbewegung: 

A 

Der Strom berechnet sich aus der Anzahl der Ladungen, die pro Zeiteinheit durch die Querschnittsfläche A 

hindurchdriften. Die Dichte der beweglichen Ladungsträger im Leiter betrage n. 

Ladungsträger in Metallen vollziehen eine sehr hohe thermische Bewegung, die durch Stöße der Elektronen 

mit dem Kristallgitter jedoch ständig gebremst wird. Die thermische Bewegung ist völlig ungeordnet, d.h. es 

gibt keine Vorzugsrichtung der Bewegung. Wird eine äußere Spannung angelegt, so werden die Ladungs- 

träger zusätzlich entgegen der Spannungsdifferenz beschleunigt (entgegen, da negativ geladen). Im Mittel 

bewegen sich die Elektronen demnach mit einer kleineren Driftgeschwindigkeit vd, da sie nach jedem Stoß 

mit dem Gitter erneut beschleunigt werden müssen. 

In einer Zeit Δ t legt eine Ladung somit eine Strecke s v d t Δ ⋅ = Δ zurück.




Ein Volumenelement A ⋅ Δs 

enthält N = n⋅ 

A ⋅ Δs 

Ladungen 

Der Strom als Anzahl der Ladungen pro Zeiteinheit ist somit 

Beispiel: 

N⋅ 

Q n⋅ 

A ⋅ Δs 

⋅Q 

n ⋅ A ⋅ v d ⋅ Δt 

⋅Q 

= = 

= 

= n ⋅ A ⋅ v 

Δt 

Δt 

Δt 

I d 

Driftgeschwindigkeit von Elektronen in einem Kupferdraht 

Radius r = 0,815 mm 

Strom I = 1 A 

Dichte von Kupfer ρ = 8,93 g/cm 3 

molare Masse M = 63,5 g/mol 

Cu ist i.a. einwertig, d.h. im Kristall stellt jedes Cu-Atom ein freies Elektron zur Verfügung. 

Berechnung der Atomdichte: 1 Mol enthält NA = 6,02 10 23 Atome (Avogadrozahl) 

Anzahl der Atome pro cm 3 : 

ρ ⋅N 

8, 

47 

A 

nA = = ⋅ 

M 

10 

22 

Atome pro cm 

3 

Wenn jedes Atom gerade ein freies Elektron zur Verfügung stellt, ist die Dichte der Elektronen ebenfalls 

n = 8,47 10 22 Elektronen pro cm 3 

. 

Mit obiger Gleichung folgt für die Driftgeschwindigkeit vd: 

I I 

= = 

n⋅ 

A ⋅Q 

n⋅ 

π ⋅r 

= 

⋅e 

8, 

47 ⋅10 

1 

A ⋅cm 

v d 

2 

22 

2 

Insgesamt ergibt sich 

Vd = 3,54 10 -2 mm/s = 3,54 10 -5 m/s 

⋅ π ⋅ 

2 

−19 

( 0, 

815) 

⋅1, 

6 ⋅10 

mm ⋅C 

Die Driftgeschwindigkeiten der Elektronen liegen in der Größenordnung 0,01 m/s und sind somit sehr klein. 

Die Wirkung eines Stromes bzw. einer Spannung ist hingegen sofort nach dem Einschalten spürbar. Die 

Ausbreitungsgeschwindigkeit des elektrischen Feldes beträgt hier die Lichtgeschwindigkeit. 

Analogie: Wird auf einen gefüllten Wasserschlauch auf einer Seite Druck erzeugt, so beginnt das Wasser 

sofort zu fließen. Das Wassermolekül, auf das der Druck ausgeübt wurde, erreicht da Ende des Schlauches 

jedoch erst viel später. Die Druckwelle breitet sich mit Schallgeschwindigkeit aus, die Molekülbewegung ist 

viel langsamer. 

Elektronenbewegung in der Vakuumröhre 

Es werden durch Glühemission aus der Kathode freie Elektronen ins Vakuum emittiert und durch eine ange- 

legte Spannung in Richtung einer Anode beschleunigt. Zwischen Kathode und Anode liegt eine Spannung 

3 

⋅Q




von 100 V, d.h. durch das elektrische Feld zwischen Kathode und Anode wird an den Elektronen eine Be- 

schleunigungsarbeit verrichtet. 

Größe der Beschleunigungsarbeit: W = e ⋅ ΔΦ 

Diese Arbeit wird in kinetische Energie der Elektronen umgewandelt, d.h. kurz vor Erreichen der Anode 

1 2 

−17 

haben die Elektronen die Energie Ekin 

= m ⋅ v = e ⋅ ΔΦ = 100eV 

= 1, 

602⋅10 

J 

2 

Hieraus lässt sich die Geschwindigkeit der Elektronen (m = 9,12 10 -31 kg) sofort bestimmen zu 

v = 

2 ⋅e 

⋅ ΔΦ 

6 

= 5, 

93 ⋅10 

m / s 

m 

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit freier Elektronen ist im Vakuum um ein Vielfaches höher als im Festkör- 

per. 

7.3.3 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz 

Wenn in einem Leiter ein Strom fließt, so ist sein Inneres nicht feldfrei, d.h. es herrscht kein elektrostati- 

sches Gleichgewicht im Innern des Leiters. Wird demnach eine äußere Spannung an einen Leiter angelegt, 

so bewegen sich die Ladungsträger im Innern des Leiters aufgrund der elektrostatischen Kraftwirkung. 

• Positive Ladungsträger von + nach - � technische Stromrichtung 

• Negative Ladungsträger von - nach + � Richtung der Elektronenbewegung 

Wird eine elektrische Spannung an einen Leiter gelegt, so fällt die gesamte Spannung über diesem Leiter 

ab. In einem kleinen Leiterstück kann das elektrische Feld als konstant angenommen werden. Über diesem 

Leiterstück liegt die Potentialdifferenz 

ΦA 

Leitwert G: I = G⋅ 

U 

elektrischer Widerstand R: U = R⋅ I 

Ohmsches Gesetz: 

Δl 

E 

ΦB 

U A B 

= Φ − Φ = E ⋅ Δl 

Die sich einstellende Stromstärke in diesem Leiter- 

stück ist der anliegenden Spannung proportional. 

Die Proportionalitätskonstante wird Leitwert ge- 

nannt: 

G = 1 R G in S (Siemens), R in Ω (Ohm) 

Ist der sich einstellende Strom durch einen Leiter (oder durch ein Bauteil) proportional der angelegten Span- 

nung, so gilt das Ohmsche Gesetz: U = R ⋅I




Materialien, die dem ohmschen Gesetz gehorchen, werden ohmsche Widerstände bezeichnet. Die Größe 

des ohmschen Widerstandes ist von der Geometrie des Leiters abhängig. Für ohmsche Widerstände gilt: 

l 

= ρ , wobei l die Länge des Leiters, A die Querschnittsfläche und ρel, Einheit [Ωm], der spezifische 

A 

R el 

Widerstand des Leitermaterials sind. ρel ist eine temperaturabhängige Materialkonstante. 

( ) 

Temperaturabhängigkeit: ρ = ρ 1+ α( 

− 20° 

) 

20 

t C , t Temperatur in °C 

Der lineare Zusammenhang gilt meist nur näherungsweise für kleinere Temperaturbereiche (20°C - 60°C). 

Oftmals werden auch anderen Kenngrößen bzw. Formulierungen zur Beschreibung des Ohmschen Geset- 

zes verwendet. 

Spezifische Leitfähigkeit 

1 

σ = ⇒ G = σ 

ρ 

A 

l 

Wenn das elektrische Feld im Innern eines Leiters nicht konstant ist, so gilt das Ohmsche Gesetz nur noch 

für kleinere Bereiche, in denen das Feld als konstant angenommen werden kann. 

A I U 

Aus I = G⋅U ⇔ I = σ U ⇒ = σ 

l A l 

I U 

Der Quotient = j wird als Stromdichte bezeichnet, der Quotient = E ist gerade das (konstante) elekt- 

A 

l 

rische Feld, welches im Leiter anliegt. Hieraus folgt die allgemeine Formulierung des Ohmschen Gesetzes, 

welches die Richtung der Stromausbreitung in Abhängigkeit des elektrischen Feldes beschreibt: j = σ ⋅E 

Der Strom durch eine Querschnittsfläche A berechnet sich dann nach ∫ ⋅ = I j dA 

Leitfähigkeitsmodell: 

• Freie Elektronen verhalten sich wie ein Gas im Ionengitter. 

• Durch thermische Bewegung werden ständig Energie und Impuls mit dem Gitter ausgetauscht. 

• Durch Übertragung der kinetischen Gastheorie kann den Elektronen eine Geschwindigkeit aufgrund 

ihrer thermischen Energie zugeordnet werden: 

v 

eff 

3 ⋅k 

⋅ T 

m 

= (ungefähr 1,2 10 5 m/s) 

e 

• Ein zusätzliches elektrisches Feld überlagert der thermischen Bewegung eine Driftbewegung vd der 

Elektronen entgegen dem Feld. 

• Durch die ständigen Stoßvorgänge wird die Bewegung der Elektronen gebremst, wodurch sich ein 

stationärer Zustand einstellt: Der Strom nimmt aufgrund der Materialeigenschaften nur einen endli- 

chen Wert an. 

A




• Eine Erhöhung des Feldes bewirkt somit nur eine endliche Erhöhung der Driftgeschwindigkeit. 

Diese Verhalten wird oftmals ausgedrückt durch die Beweglichkeit von Ladungsträgern in Festkörpern: 

Beweglichkeit: = μ ⋅E 

v d 

1 

Zusammenhang zwischen Leitfähigkeit und Beweglichkeit: σ = = n ⋅e 

⋅μ 

ρ 

7.3.4 Energie des elektrischen Stromes 

sich somit aus: 

Δ W = ΔQ 

2 1 

( Φ − Φ ) = ΔQ( 

− U) 

Es fließe ein Strom durch einen Draht mit dem 

Querschnitt A. Betrachtet werde eine Länge Δ l des 

Drahtes, in dem das elektrische Feld konstant sei. 

Die Ladung Δ Q durchquere innerhalb des Draht- 

stückes die Potentialdifferenz 1 2 Φ − Φ 

Die Änderung der potentiellen Energie berechnet 

Der Verlust an potentieller Energie beim Durchqueren der Potentialdifferenz wird zunächst als kinetische 

Energie in die Ladung gesteckt. Durch die Gitterstöße wird diese kinetische Energie jedoch wieder abgege- 

ben, wodurch sich das Gitter aufheizt. Bezogen auf die Zeit Δt, die die Ladung zum Durchqueren des Lei- 

tungsstückes benötigt gilt 

ΔW 

ΔQ 

− = U 

Δt 

Δt 

oder 

P = U⋅I 

Die Energie wird an das Gitter abgegeben, daher das Minuszeichen. 

Eine Energieabgabe pro Zeit (bzw. Arbeit pro Zeit) ist definiert als Leistung P. Die Leistung P, die in einem 

Leiter (Bauteil) verbleibt ist demnach gegeben aus dem Produkt von Strom und Spannung. Bei Gültigkeit 

des Ohmschen Gesetzes kann auch geschrieben werden: 

P = U⋅I 

= I 

2 

Φ1 

2 

U 

⋅R 

= 

R 

Δl 

ΔQ 

Die Leistung, die im Leiter (Bauteil) verbleibt wird als Joulsche Wärme bezeichnet. 

7.4 Gleichstromkreise 

E 

7.4.1 Spannungsquellen 

Φ2




In Spannungsquellen wird an Ladungsträgern eine Arbeit verrichtet, wodurch sie auf ein höheres Potential 

gehoben werden. Diese Arbeit kann z.B. eine chemische Arbeit in Batterien oder Akkus, mechanische Ar- 

beit z.B. in Generatoren oder Arbeit aufgrund von Lichteinwirkung z.B. in der Solarzelle sein. 

Die Spannung, die sich ohne Stromfluss einstellt wird Quellenspannung bezeichnet 

Symbole: 

Ideale Spannungsquelle: 

Widerstand: 

Reale Spannungsquellen: 

Φa 

- 

R 

UQ 

+ 

- 

U0 

R 

- + 

R 

Die Verbindungslinien bedeuten eine widerstandslose Verbindung. 

Wird ein Verbraucher an eine Spannungsquelle angeschlossen, so liegt über dem 

Verbraucher die Spannung der Spannungsquelle, im Idealfall also die Quellenspan- 

nung. Falls der Verbraucher ein Ohmscher Widerstand ist, stellt sich ein elektrischer 

Strom ein, der von der Spannungsquelle geliefert wird und der durch den Widerstand 

fließt. Im Idealfall bleibt die Quellenspannung erhalten und es kann beliebig viel 

Strom aus der Spannungsquelle entnommen werden. 

Bei realen Spannungsquellen wird eine Abhängigkeit der Ausgangsspan- 

nung vom Strom beobachtet: Je höher der Strom, desto geringer wird die 

Ausgangsspannung der Spannungsquelle. Der Grund ist in dem Innenwi- 

derstand der Spannungsquelle zu sehen: 

Der sich einstellende Strom wird begrenzt durch den Innenwiderstand und 

durch den Lastwiderstand. Die Potentialdifferenz, die durch die Quellen- 

spannung UQ erzeugt wird, wird gemindert durch 

Φ 

a 

⇒ U 

= Φ 

0 

b 

= Φ 

+ U 

a 

Q 

− Φ 

−I 

⋅R 

b 

i 

= U 

Q 

−I 

⋅R 

U0 wird als Klemmspannung der Batterie bezeichnet. Sie ist um den Betrag kleiner als die Quellenspan- 

nung, der aufgrund des Innenwiderstandes das Potential durch Umwandlung von Energie in Joulsche Wär- 

me erniedrigt. 

UQ 

+ 

7.4.2 Kirchhoffsche Regeln 

I 

Φb 

I 

Ri 

i




Die Kirchhoffschen Regeln beschreiben die Aufteilung von Strömen und Spannungen in Stromkreisen. Es 

existieren zwei Regeln 

Kirchhofscher Knotensatz: 

Ig e s 

daher unmittelbar einsichtig. 

Kirchhoffscher Maschensatz: 

In einem Stromknoten ist die Summe aller Ströme Null: I 0 

Wenn Iges in den Knoten A hineinfließt (positive Notation) so müssen die 

Ströme I1 und I2 sich so zusammensetzen, dass Ihre Summe gerade –Iges 

ergibt: Iges + I1 + I2 = 0 

Das erste Kirchhoffsche Gesetz beschreibt die Ladungserhaltung und ist 

In einer Masche (geschlossener Stromkreis) ist die Summe aller Spannungen 

∑ 

gleich Null: U 0 

i 

i = 

Die Spannungen werden stets von + nach – positiv angegeben. Im obigen 

Beispiel muss demnach bei Umdrehungsrichtung im Uhrzeigersinn gelten: 

U 

0 

+ 

⇒ U 

( −U 

) + ( −U 

) 

0 

1 

= U 

1 

+ U 

2 

2 

= 0 

Die Begründung für die Maschenregel liegt in der Energieerhaltung. Beim 

Transport von elektrischer Ladung in einem geschlossenen Stromkreis müssen zugeführte und abgeführte 

elektrische Arbeit gleich groß sein (keine zusätzliche Energiequelle). 

Zuführung von Energie geschieht durch Spannungsquellen, Energieabfuhr in Form von Joulscher Wärme 

durch die Widerstände (Verbraucher) 

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen 

Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln, lassen sich leicht die Gesetzte für Reihen- und Parallelschaltung von 

Widerständen aufstellen: 

Reihenschaltung: 

R 3 

U3 

I1 

I2 

A 

R1 

U1 

U2 

R2 

R 1 

R 2 

R 2 

U2 

+ 

- U0 

R 1 

U1 

+ 

- U0 

Gegeben seien drei Widerstände R1, R2 und R3 in Reihe ge- 

schaltet 

Die Spannungsabfälle können dann berechnet werden durch: 

U = U + U + U 

Maschenregel: 0 1 2 3 

Der Strom I muss durch alle drei Widerstände fließen, da kein 

Knoten vorhanden ist, in dem Strom sonst abfließen könnte. 

∑ 

i 

i =

U 

U 

U 

1 

2 

3 

= R 

1 

= R 

= R 

2 

3 

⋅I 

⋅I 

⋅I 




Somit lässt sich die Maschenregel schreiben als 

( R + R + R ) ⋅I 

U0 = R1 

⋅I 

+ R2 

⋅I 

+ R3 

⋅I 

= 1 2 3 

Die drei Widerstände lassen sich zu einem Gesamtwiderstand R ( R + R + R ) 

Verallgemeinerung: Reihenschaltung: R ges ∑R 

= i 

Bei der Parallelschaltung seien wiederum drei Widerstände gegeben: 

I = I + I + I 

Insgesamt: ges 1 2 3 

Anwendung des Ohmschen Gesetzes 

I 

M3 

U1 

ges 

U 

⇒ 

R 

⇒ 

I1 

R 1 

= I 

0 

1 

ges 

1 

R 

ges 

+ I 

2 

U 

= 

R 

= 

+ I 

1 

1 

1 

R 

1 

3 

U 

+ 

R 

+ 

2 

2 

1 

R 

2 

U 

+ 

R 

+ 

3 

3 

1 

R 

3 

U 

= 

R 

0 

1 

U 

+ 

R 

0 

2 

U 

+ 

R 

0 

3 

⎛ 

= U0 

⎜ 

⎝ 

i 

ges 

Maschenregel: 

M1: + ( −U 

) = 0 

U0 3 

U3 + −U 

2 

U2 + −U1 

M2: ( ) = 0 

M3: ( ) = 0 

U = U = U = U 

Insgesamt: 1 2 3 0 

Knotenregel: 

= zusammenfassen: 

Strom von D nach C: I12 = Iges 

−I3 

1 

I12 teilt sich im Punkt C weiter auf: I 12 = I1 

+ I2 

1 1 

Verallgemeinerung: Parallelschaltung von Widerständen: ∑ R R 

1 

R 

1 

+ 

1 

R 

2 

+ 

ges 

1 

R 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= i i 

Die Anwendung von Knoten und Maschenregel gilt auch, wenn mehrere Spannungsquellen im Stromkreis 

vorhanden sind: 

Beispiel: 

U2 

I2 

R 2 

B 

M2 

C D 

U3 

R 3 

I3 

A 

Ig e s 

M1 

+ 

- U0 

2 

3

R1 

a b 

g 

+ 

- 

f 

Ri1 

U1 




Es wird zunächst eine willkürliche Umlaufrichtung gewählt, die gleichzeitig 

auch die Stromrichtung festlegt. Falls dies nicht die richtige Stromrichtung 

ist, wird als Ergebnis ein negativer Strom herauskommen, was eine Um- 

kehrung der Stromrichtung bedeutet. Die Festlegung der Stromrichtung 

liefert dann auch die Vorzeichen der Spannungen, die über den Wider- 

ständen abfallen. Die Anwendung der Maschenregel liefert dann, begin- 

nend in Punkt a: 

U + U + U + U + U − U + U = 

1 2 Q2 i2 3 Q1 i1 

0 

Durch die Masche fließt ein Strom, der überall gleich groß ist, d.h. die obige Gleichung kann auch geschrie- 

ben werden als 

I⋅ R + I⋅ R + U + I⋅ R + I⋅R − U + I⋅ R = 0 

1 2 Q2 i2 3 Q1 i1 

UQ2 − UQ1 

⇒ I = 

R + R + R + R + R 

1 2 i2 3 i1 

Die Beträge von UQ1 und UQ2 geben somit die Richtung des Stromflusses vor, unabhängig davon, in welcher 

Richtung die Maschenregel angewendet wurde bzw. in welche Richtung die ursprüngliche Stromrichtung 

festgelegt wurde. 

Spannungsmessung: 

Die Spannung ist für den Stromfluss verantwortlich. Da der Strom überall in einem Widerstand vorhanden 

ist (durch ihn hindurchfließt) muss im Widerstand selbst überall eine Spannung vorhanden sein. Bei linearen 

Widerständen nimmt die Spannung, die über dem Widerstand abfällt, linear ab. Es gibt somit keine Stelle 

innerhalb des Widerstandes, die spannungslos ist. Eine Spannung wird somit immer über einem Bauteil 

gemessen. 

R3 

Strommessung: 

Ein Strom fließt stets durch ein Bauteil (z.B. Widerstand). Ein Strommessgerät muss somit so geschaltet 

werden, dass es im Stromkreis liegt und der Strom durch das Messgerät fließt. (auch wenn das eigentliche 

Messgerät meist nur ein kleiner Widerstand ist, über dem wieder eine Spannung abfällt, die dem fließenden 

Strom proportional ist. 

c 

+ 

- 

d 

Potentiometerschaltung: 

e 

R2 

Ri2 

U2 

Ein Potentiometer besteht aus einem Widerstand über den ein Schleifkontakt geführt werden kann. Dieser 

Schleifkontakt teilt das Potentiometer somit kontinuierlich in zwei variable Widerstände. 

Rges 

A A 

R1 

R2

Beispiel: 




Potentiometer mit und ohne zusätzlichen Widerstand im Schleifenkreis. Ohne zusätzlichen Widerstand 

kann der Gesamtwiderstand zu Null werden (Kurzschluss). 

7.4.3 RC-Kreise 

Kapazität eine Kondensators 

R1 R1 

U U 

A A 

R2 R2 

R3 

Ein Kondensator besteht aus zwei parallelen Platten, einen Abstand d voneinander aufweisen. Wird auf eine 

Platte eine Ladung Q aufgebracht (z.B. durch Anlegen einer elektrischen Spannung) so wird auf der ande- 

ren Platte durch Influenz eine Gegenladung -Q erzeugt (vorausgesetzt die notwendige Ladung kann zu- 

bzw. abfließen) 

Unter der Kapazität eines Kondensators wird das Vermögen der beiden Platten, Ladung aufzunehmen, ver- 

standen: 

Kapazität C Q 

= [1F = 1 C/V] 

U 

Je höher die angelegte Spannung ist, desto mehr Ladung befindet sich auf den Platten des Kondensators. 

Unter Vernachlässigung der Randeffekte ist das elektrische Feld zwischen beiden Platten konstant und es 

gilt die Beziehung 

E = − − σ σ σ 

= = 

2ε 2ε 

ε 

0 0 0 

σ Q ⋅ d 

⇒ U = d = 

ε A ⋅ ε 

0 0 

U 

d 

Somit berechnet sich die Kapazität eines Plattenkondensators durch 

C Q A ⋅ ε 0 

= = 

U d 

Dielektrika 

Wird ein Isolator (Dielektrikum) in ein elektrisches Feld eines (nicht geerdeten) Kondensators gesteckt, so 

wird das elektrische Feld kleiner und seine Kapazität größer, da die Ladungen auf den Platten gleich blei-




ben. Durch Polarisation wird in einem Kondensator ein entgegengesetztes Feld erzeugt, welches das äuße- 

re Feld schwächt. 

Die Stärke der Polarisation (entweder durch Orientierung polarer Moleküle oder durch Erzeugung von Di- 

polmomenten) hängt von der Stärke des externen elektrischen Feldes ab. 

p = α ⋅E 

, p: Dipolmoment, α: Polarisierbarkeit 

- 

- 

- 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

- + 

- + 

- + 

- + 

Die erzeugten Ladungen innerhalb des Dieelektrikums werden kompensiert, die erzeugten Ladungen am 

Rand des Dieelektrikums werden nicht kompensiert und erzeugen ein Gegenfeld, welches das externe Feld 

schwächt. 

E E 

= 

r 

0 

ε , εr Somit gilt auch 

C Q Q Q 

= = = 

U d⋅ E d⋅E ε 

wird relative Dielektrizitätskonstante genannt. 

Q 

= εr = ε r ⋅C 

U 

0 r 0 

wobei C die Kapazität mit Dielektrikum und C0 die Kapazität ohne Dielektrikum sind. 

Der Faktor ε = ε0 ⋅ εr 

0 

wird Dielektrizitätskonstante der Materie oder Permittivität genannt.




Material 

Bakelit 

Glas 

Glimmer 

Luft 

Neopren 

Papier 

Paraffin 

Plexiglas 

Polystyrol 

Porzellan 

Transformatorenöl 

Wasser (20°C) 

Parallelschaltung von Kondensatoren 

Dielektrizitätszahl 

4,9 

5,6 

5,4 

1,00059 

6,9 

3,7 

2,1-2,5 

3,4 

2,55 

7 

2,24 

80 

Durchschlagfestigkeit 

[kV/mm] 

24 

14 

10-100 

3 

12 

16 

10 

40 

24 

5,7 

12 

(leitfähig) 

Bei parallelen Kondensatoren liegt an jedem Kondensator die Spannung U an. Die gesamte gespeicherte 

Ladung ist die Summe aller Ladungen auf allen Kondensatoren: 

( ) 

Qges = Q + Q = U⋅ C + U⋅ C = U⋅ C + C 

Und hieraus 

Q = ∑ C 

ges i 

i 

1 2 1 2 1 2 

Reihenschaltung von Kondensatoren 

U 

+Q1 +Q2 

-Q1 -Q2 

Durch Induktion wird in den Kondensatoren auf den jeweils gegenüberliegenden Platten eine gleich große 

aber entgegengesetzte Ladung erzeugt. 

Q C U C U 

= ⋅ = ⋅ 

1 1 2 2




U 

+Q -Q +Q -Q 

Die Gesamtspannung ist nach der Maschenregel gerade die Summe der Einzelspannungen über den Kon- 

densatoren. 

Q Q 

U = U1 + U2 

= + 

C C 

Entladevorgang 

1 2 

und hieraus 

1 1 

= ∑ Cges i Ci 

Ein geladener Kondensator befinde sich in einem RC-Kreis mit geöffnetem Schalter, so dass keine Ladung 

vom Kondensator abfließen kann 

Wird der Schalter geschlossen, so entlädt sich der Kondensator über dem Widerstand. Entsprechend der 

Mascheregel ist dabei die Spannung über dem Widerstand gleich der Spannung über dem Kondensator 

oder 

U − U = 0 

C R 

Q 

I R 

C 

Q dQ 

C dt R 

Q R C dQ 

⇒ − ⋅ = 0 

⇒ − ⋅ = 0 

⇒ − ⋅ = 0 

dt 

Die letzte Gleichung stellt eine Differentialgleichung für die Ladung Q dar. 

Lösung: ( ) 

Q t = Q ⋅ e 

0 

−t 

RC 

Durch Integration dieser Gleichung kann auf den fließenden Strom zurückgerechnet werden: 

I( t) 

dQ 

dt Q RC e 

U 

R e 

1 

0 

= − = 0 = 

−t RC −t 

RC 

wobei U0 die Spannung am Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 ist. Das negative Vorzeichen muss aufgrund 

der Stromrichtung beim Entladevorgang gewählt werden, da der Strom entgegen der Spannungsrichtung 

des Kondensators fließt. 

Ladevorgang eines Kondensators: 

Wird zu einem Zeitpunkt t =0 eine Spannungsquelle in einen RC-Kreis geschaltet, so fließt ein Ladestrom, 

der Ladungen auf die Kondensatorplatten treibt. Es gilt auch hier zu jedem Zeitpunkt die Maschenregel: 

UQ −UR − UC 

= 0 

oder

U I R Q 

Q − ⋅ − = 0 

C 

dQ Q 

UQ 

− ⋅R − = 0 

dt C 




Dies ist wiederum eine Dgl für Q mit der Lösung 

U I R Q 

Q − ⋅ − = 0 

C 

t RC 

( ) = ⋅ ( − ) − 

1 

Q t C U e 

Q 

und hieraus durch Differentiation 

( ) 

I t 

( ) 

dQ t 

U 

= = −C ⋅UQ ⋅ e − e I e 

dt 

RC R ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ = ⋅ = 0 ⋅ 

⎝ ⎠ 

−t RC Q −t RC −t 

RC 

Hier muss der positive Differentialquotient gewählt werden, da der Strom in Richtung der Spannungsquelle 

getrieben wird.

8 MAGNETISMUS 




8.1 Das magnetische Feld 

8.1.1 Allgemeines 

• Magnetismus wurde durch den „natürlichen“ Magnetismus entdeckt, da sich magnetisches Gestein nach 

dem Magnetfeld der Erde ausgerichtet hat. 

• Es existieren magnetische Pole, an denen das Magnetfeld ein- bzw. austritt. 

• Die Pole werden mit Nord und Süd bezeichnet. 

• Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige Pole ziehen sich an. 

• Die Ausrichtung von Magneten im Erdmagnetfeld geschieht derart, dass sich der Nordpol des Magneten 

nach Norden ausrichtet. Demnach muss am Nordpol der Erde der magnetische Südpol sein. 

• Ein elektrischer Strom übt eine Kraft auf eine Magnetnadel aus. 

• Elektrische Ströme üben aufeinander magnetische Kräfte aus. 

• Es existieren keine magnetischen Monopole. 

Allgemeine Aussage: 

Elektrische Ströme sind die alleinige Quelle der magnetischen Kräfte 

Diese Aussage trifft auch für Permanentmagneten zu. Hierbei werden zwar keine äußeren Ströme in das 

Material eingespeist, jedoch können die Elektronenbewegungen um den Atomkern herum als elektrischer 

Strom interpretiert werden (quantenmechanische Größen: Bahndrehimpuls oder magnetische Quantenzahl 

und Elektronenspin oder Spinquantenzahl). 

Die magnetische Wechselwirkung kann somit als Wechselwirkung bewegter Ladungsträger aufein- 

ander beschrieben werden (Mikroskopisch: Para-, Dia- und Ferromagnetismus, Makroskopisch: 

Magnetfelder von Spulen etc.) 

Definitionen: 

B: Magnetfeld, magnetischer Flussdichte, magnetische Induktion 

H: magnetische Feldstärke 

Zusammenhang: B = μ ⋅ H = μ ⋅μ ⋅H 

r 

0 

−7 

Hierbei sind μ = 4π ⋅10 

Vs / Am magnetische Feldkonstante oder Permeabilität des Vakuums, µ 

0 

magnetische Permeabilität, µr Permeabilitätszahl als materialabhängige Größe. 

8.1.2 Lorentzkraft




Eine Ladung, die sich in einem Magnetfeld bewegt, erfährt eine Kraft, wenn die Bewegung nicht parallel 

zum Feld erfolgt. Diese Kraft wird Lorentzkraft genannt. 

Lorentzkraft: F = q⋅ vxB 

Betrag von F: F = q⋅ v ⋅B ⋅sin ( p ( v, B) 

) 

Es ist nur derjenige Teil des Feldes wirksam, der senkrecht auf der Bewegungsrichtung der Ladung steht 

(rechte Hand Regel). 

NC N 

Einheit von B: 1 T = 1 = 1 

m / s Am 

Tesla 

Weit verbreitet ist noch die früher benutzte Einheit Gauß: 1 T = 10 4 G. Die Einheit Gauß ist historisch ge- 

wachsen, da 1 G gerade die mittlere Stärke des Erdmagnetfeldes angibt. 

Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter: 

A 

( d ) 

dF = q⋅ v xB ⋅n ⋅dl ⋅ A 

Gegeben sei ein Leiterstück der Länge dl . Innerhalb des 

Drahtes bewegen sich die Elektronen im Mittel mit der Drift- 

geschwindigkeit vd entgegen der anliegenden Spannung. Die 

Gesamtkraft ist dann gegeben durch die Summe der Einzel- 

kräfte auf die Elektronen: 

Nun ist aber I = q⋅n ⋅ vd ⋅ A der Strom, der durch den Leiter mit dem Querschnitt A fließt, d.h. die obige 

Gleichung kann geschrieben werden als: dF = I⋅ ( dl xB) 

2 

Die Kraft auf ein ausgedehntes Leiterstück lässt sich dann durch Integration berechnen: F = ∫I ⋅( 

dlxB) S 

v d 

dl 

N 

Magnetische Feldlinien: 

Analog zum elektrischen Feld lassen sich auch für das magnetische Feld 

Feldlinien zeichnen, die die Richtung des Feldes und deren Dichte die 

Stärke des Feldes repräsentieren. Vereinbarungsgemäß werden die Feld- 

linien stets geschlossen gezeichnet, da es keine Pole gibt, an denen Feld- 

linien beginnen bzw. enden. 

Beispiel Stabmagnet: 

8.1.3 Bewegung einer Punktladung im Magnetfeld 

Die Richtung des Feldes wird so festgelegt, dass die Feldlinien beim 

Stabmagneten am Nordpol austreten und am Südpol wieder eintreten. 

l 

l 

1

B 




Wenn eine Ladung genau senkrecht in ein konstantes magneti- 

sches Feld eingeschossen wird, so wirkt senkrecht zur Bewe- 

gungsrichtung und zum Magnetfeld eine Kraft, welche die La- 

dung auf eine Kreisbahn zwingt. 

Auf dieser Kreisbahn stehen stets Geschwindigkeit, Magnetfeld 

und Kraft senkrecht aufeinander. Es kann daher das Kreuzpro- 

dukt durch die Multiplikation mit den Betragsgrößen ersetzt 

werden. 

Die Kreisbahn ergibt sich aus der Bedingung, dass die Zentrifugalkraft gerade durch die Lorentzkraft kom- 

pensiert wird: 

Es gilt: 

q v B m v 

⋅ ⋅ = 

r 

m ⋅ v 

⇒ r = 

q⋅B 2 

Da die Geschwindigkeit des Teilchens ohne äußere Einflüsse konstant ist, kann die Umlaufzeit der Ladung 

2π ⋅r 

bestimmt werden durch: T = 

v 

v q B 

Hieraus folgt für die Umlauffrequenz: f = = 

T ⋅ r m 

= 

1 

⋅ 

2π 2π 

⋅ 

Diese Frequenz wird als Zyklotronfrequenz bezeichnet. 

8.1.4 Energiefilter und Massenspektrometer 

Unter Verwendung magnetischer und elektrischer Felder können geschwindigkeits- und massenselektive 

Filter aufgebaut werden. 

r 

F 

v 

Geschwindigkeitsfilter bzw. Energiefilter: 

Zwei sich senkrecht kreuzende elektrische und magnetische Felder können zur Separation von energetisch 

unterschiedlichen Teilchen gleicher Ladung verwendet werden.




q 

qvB 

v 

qE 

B 

Wenn Lorentzkraft und Coulombkraft entgegengesetzt gleich sind werden die geladenen Teilchen bei einer 

bestimmten Geschwindigkeit nicht abgelenkt und passieren den Austrittsspalt. 

Durch Variation mindestens einer der beiden Felder kann somit die Geschwindigkeit von Elektronen bzw. 

deren kinetische Energie bestimmt werden. (Photoemissionsspektren, Augerelektronen etc.) 

Massenfilter: 

B 

nen Massen vorgenommen werden. 

E 

Wird nur eines der Sektorfelder Verwendet, so kann eine massense- 

lektive Trennung verschiedener Teilchen, z.B. verschiedener gela- 

Austrittsspalt 

dener Atome oder Isotope, vorgenommen werden. 

In dem oben gezeigten Beispiel ist der Radius, der den Strahl gela- 

dener Teilchen auf den Austrittspalt lenkt, abhängig von der Eintritts- 

geschwindigkeit der geladenen Teilchen und dem Verhältnis aus 

Ladung und Masse. 

8.2 Die Quellen des magnetischen Feldes 

8.2.1 Bewegte Ladungen 

Durch Kombination aus beiden Verfahren kann zunächst aus einer 

beliebigen Verteilung zunächst ein Bereich konstanter Geschwindig- 

keit separiert werden und danach eine Separation nach verschiede- 

Wie bereits in der Einleitung erwähnt entstehen magnetische Felder durch die Bewegung von Ladungsträ- 

gern. 

q 

v 

q/m 1 

q/m 2 

Austrittsspalt 

Das Magnetfeld, welches durch eine bewegte Punktladung q erzeugt wird, lässt sich beschreiben als: 

q 

q vxr r 

B = 

r 

μ ⋅ 0 

2 

4π 

v 

r 

B 

P




Eine Ladung q, die sich mit v bewegt, erzeugt im Aufpunkt P das Magnetfeld B. 

I dl 

P2 

Wenn die Ladung innerhalb einer Leiterschleife fließt, so lässt 

sich das Magnetfeld durch den in der Schleife fließenden 

Strom berechnen. Der Zusammenhang zwischen Magnetfeld 

und Strom wird dann beschrieben durch das Gesetz von 

I d xr r 

Biot-Savart: dB = 

r 

μ ⋅ 0 l 

2 

4π 

Im Aufpunkt P1 wird durch den Leiterschleifenstrom in dl ein 

Magnetfeld erzeugt. Punkte, die in der Verbindungslinie des 

Vektors dl liegen, weisen dagegen kein Magnetfeld auf, welches durch den Strom in dl erzeugt wird. 

Durch die Anwendung des Biot-Savartschen Gesetzes können prinzipiell alle magnetischen Felder berech- 

net werden, die durch stromdurchflossene Leiterschleifen erzeugt werden. Die allgemeine Berechnung ist 

mathematisch jedoch sehr aufwendig. An dieser Stelle seien daher nur einige Beispiele genannt: 

Magnetfeld eines langen geraden Drahtes: 

R 

P 

r1 

r2 

I dl1 I dl2 B2 

B1 

Durch Aufsummation über alle Leiterstücke kann das Feld im Punkt P, der sich im Abstand R vom Draht 

I 

befindet berechnet werden durch B = 

R 

μ ⋅ 0 2 

4π 

Das Magnetfeld gleicher Größe verläuft in Form konzentrischer Kreise um den Mittelpunkt des Drahtes. Die 

Richtung des Feldes kann durch die „rechte Hand Regel“ bestimmt werden. 

Magnetfeld im Innern einer langen geraden Spule 

Eine Spule besteht aus einer Anzahl von Leiterschleifen, die in einer Helix gewickelt sind. In dieser Spule 

fließt ein Strom I, der ein Magnetfeld B erzeugt. 

r 

B 

P1 

R2 

R1




B 

I 

n Windungen 

Das Magnetfeld im Innern der Spule ist konstant und kann berechnet werden durch: B = μ 0 ⋅n ⋅I 

wobei n = N/l die Windungszahldichte und N die Anzahl der Windungen der Spule sind. 

Die Annahme eines homogenen Feldes im Innern der Spule ist bei langen Spulen mit großen Windungszah- 

len gut erfüllt. 

8.2.2 Magnetische Induktion 

Verallgemeinerung: Ψ m 

zen. 

B 

α 

dA 

B ⋅ dA = B ⋅dA ⋅cosα 

δA 

E 

B 

A 

Ähnlich wie in der Elektrostatik wird auch hier ein magnetischer Fluss defi- 

niert. Der magnetische Fluss ist ein Maß für die Anzahl an Feldlinien, die 

eine geschlossene Fläche durchsetzen. 

Konstantes Magnetfeld: 

magnetischer Fluss: Ψ m 

wobei B senkrecht auf der Fläche steht. 

= B ⋅ A [1 Wb = 1 Weber = 1 Tm 2 ] 

= ∫ B ⋅ dA für beliebige Magnetfelder, die eine geschlossene Fläche A durchset- 

Magnetische Induktion: 

Sich zeitlich verändernde Magnetfelder induzieren in elektrischen Leitern 

Spannungen bzw. Ströme (Versuche von Faraday und Henry). 

Befindet sich eine geschlossenen Leiterschleife in einem sich zeitlich verän- 

dernden Magnetfeld, so wird innerhalb der Schleife eine Spannung induziert, 

die sich über die gesamte Schleife erstreckt: 

Induktionsspannung: U = E⋅ ds 

∫ 

δA




Die Größe der induzierten Spannung hängt ab von der zeitlichen Änderung des magnetischen Feldes und 

kann beschrieben werden durch das 

dΨ 

Faradaysche Gesetz: U = ∫E 

⋅ ds = − 

dt 

δA 

m 

Je größer die Zeitliche Änderung des magnetischen Flusses, desto größer die in einer Leiterschleife indu- 

zierte Spannung. 

Lenzsche Regel: 

U 

1 

R1 

dΨ 

dt 

S 

Das Minuszeichen im Faradayschen 

Gesetz bedeutet, dass die Spannung 

(bzw. der Strom, den die Induktions- 

spannung hervorruft) stets der Ursa- 

che entgegenwirkt. 

Beispiel: 

Wird ein Stabmagnet auf einen Lei- 

terring zu bewegt, so wird aufgrund 

der Änderung des Magnetischen 

Flusses im Leiter eine Spannung 

induziert, die wiederum einen Strom erzeugt. Dieser Strom erzeugt seinerseits ein Magnetfeld, welches dem 

äußeren Magnetfeld entgegengerichtet ist. 

Die Änderung des äußeren Magnetfeldes induziert somit ein magnetisches Moment innerhalb der Leiter- 

schleife, welches die Kraftwirkung des äußeren Feldes gerade aufhebt. 

Physikalische Begründung durch Energieerhaltung: Würde das äußere Feld ein magnetisches Moment in- 

duzieren, welches gleichgerichtet zum äußeren Feld wäre, so würde der Magnet von der Leiterschleife 

angezogen werden und in Richtung der Schleife beschleunigt werden. Diese Beschleunigung bewirkt jedoch 

wiederum eine Änderung des magnetischen Flusses, wodurch das magnetische Moment der Schleife ver- 

stärkt würde. Ohne Zufuhr von äußerer Energie würde somit immer mehr Bewegungsenergie und Joulsche 

Wärme in der Leiterschleife entstehen, was eine Verletzung des Energiesatzes bedeuten würde. 

8.2.3 (Selbst)induktivität 

Wird ein Strom durch eine Spule geleitet, so wird in der Spule ein Magnetfeld erzeugt, das dem Strom pro- 

portional ist. Das bedeutet, dass auch der magnetische Fluss dem Spulenstrom proportional ist. Die Propor- 

tionalitätskonstante wird Selbstinduktivität L der Spule genannt. 

Selbstinduktivität L: Ψ m 

= L ⋅ I , [L] = H (1 Henry), 1 H = 1 Wb/A = 1 Tm 2 /A 

Im Falle einer langen geraden Spule war das Magnetfeld im Innern der Spule konstant und es gilt: 

B = μ 0 ⋅n ⋅I 

= 0 

2 

R2 

U 

Lenzsche Regel 

1 

dΨ 

dt 

S 

> 0 

B zunehmend B abnehmend 

R2 

R1 

R1 

I1 zunehmend I1 abnehmend 

2 

U 

1 

dΨ 

dt 

S 

< 0 

2 

R2 

I2 induziert I2 induziert




2 

somit Ψm = L ⋅ I = N⋅B ⋅ A = n⋅ l ⋅B ⋅ A = μ ⋅n ⋅ A ⋅l ⋅I 

(nicht verständlich!) 

Somit ist die Selbstinduktivität der Zylinderspule gegeben durch 

2 

L = μ ⋅n ⋅ A ⋅ l 

0 

0 

Wenn sich der Strom durch die Spule zeitlich ändert, so ändert sich auch das magnetische Feld und der 

magnetische Fluss. Die Selbstinduktivität der Spule hängt nur von den geometrischen Gegebenheiten ab. 

Somit gilt: 

dΨ 

m 

= 

dt 

( ) ( ) 

d L ⋅ I 

= 

dt 

L 

d I 

dt 

und unter Anwendung des Faradayschen Gesetzes folgt für die Spannung, die in der Spule durch Selbstin- 

duktion erzeugt wird: 

dΨm 

U = − = −L 

dt 

( ) 

d I 

dt 

In einer Spule wird durch Selbstinduktion eine Spannung und somit auch ein Strom erzeugt, der dem außen 

angelegten Strom entgegengesetzt gerichtet ist. D.h. wird eine Gleichspannung auf eine Spule geschaltet, 

so fließt im Moment des Einschaltens zunächst kein Strom, da dieser durch die Induktionsspannung kom- 

pensiert wird. Erst wenn das Magnetfeld aufgebaut und zeitlich konstant ist, beginnt ein Strom durch die 

Spule zu fließen. 

8.3 LR-Kreise 

Die Spannung eilt dem Strom in der Spule voraus 

Durch die Selbstinduktion wird verhindert, dass in einem Stromkreis sich der Strom sprunghaft ändern kann, 

da jedes Leiterstück, durch das ein Strom fließt, eine (geringe) Selbstinduktivität aufweist. In Schaltungen 

muss daher stets geprüft werden, wie stark der Einfluss der Selbstinduktivität ist. 

Schaltungstechnisch kann eine Selbstinduktivität durch Einbringen einer Spule berücksichtigt werden. Die 

Verbindungen zwischen Bauteilen weisen dann keine Induktivität mehr auf. 

Schaltzeichen: 

Reale Spulen weisen jedoch auch stets einen ohmschen Widerstand auf, d.h. im Ersatzschaltbild kann prin- 

zipiell immer eine Kombination aus Induktivität und ohmschen Widerstand angesetzt werden. Es sei hier 

noch darauf hingewiesen, dass prinzipiell jedes Bauteil und jeder Verbindungsleiter einen ohmschen Wider- 

stand, eine Kapazität und eine Induktivität besitzen. Insbesondere bei Hochfrequenzanwendungen machen 

sich diese Eigenschaften stärker bemerkbar. 

Die Kombination aus Induktivität L und ohmschen Widerstand R wird LR-Kreis genannt. LR-Kreise weisen 

ähnlich wie RC-Kreise in Schaltkreisen einige Eigenschaften bei Spannungs- bzw. Stromänderungen auf, 

die hier näher untersucht werden sollen.




Gegeben sei die folgende Schaltung: 

U 0 

Nach Schließen des Schalters ergibt die Anwendung der 

Maschenregel: 

U I R L dI 

0 − ⋅ − = 0 

dt 

Nach Einschalten ist die zeitliche Änderung des Stromes 

zunächst sehr groß, wodurch in der Spule eine Spannung 

induziert wird, die der Batteriespannung gerade entgegenwirkt. Der resultierende Strom ist somit zu Anfang 

Null 

Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung für I. Sie hat die Lösung: 

wobei τ = L 

R 

U 0 

I t U ⎛ 

R ⎝ 

⎛ 

⎝ 

R 

L t 

⎞⎞ 

⎠⎠ 

U 

R 

( ) 

0 0 

( ) = ⎜1− 

exp⎜ − ⎟⎟ 

= 1− 

exp( − t τ ) 

die Zeitkonstante des LR-Kreises ist 

liefert die Anwendung der Maschenregel: 

I R L dI 

⋅ + = 0 

dt 

Der umgekehrte Fall tritt auf, wenn der Strom ausge- 

schaltet wird, was mit der folgenden Schaltung erreicht 

werden kann. 

mit der Lösung für I: I( t) = I ⋅exp⎜ − t⎟ = I ⋅exp( − t τ ) 

wobei I 

0 

Allgemein 

S 1 

S 2 

I R 

I R 

⎛ 

⎝ 

R ⎞ 

L ⎠ 

L dI 

dt 

L dI 

dt 

0 0 

Durch gleichzeitiges Betätigen der Schalter wird die 

Spannungsquelle abgekoppelt und die Spule über den 

Widerstand kurzgeschlossen. Unter der Annahme, dass 

sich nach langer Zeit bereits der Endstrom eingestellt hat, 

U0 

= der maximale Strom ist, der durch den Widerstand R begrenzt wird. 

R 

• Im Einschaltvorgang wird der Strom durch die Selbstinduktion verzögert. 

• Im Ausschaltvorgang treibt das Magnetfeld der Spule durch Induktionsvorgänge den Strom weiter. 

• Die Zeitkonstante bei diesen Vorgängen ist gegeben durch τ = L 

R




8.4 Magnetismus in Materie 

• Ähnlich wie bei elektrischen Feldern haben auch magnetische Felder Einflüsse auf die Eigenschaf- 

ten von Materie. 

• Durch die Bewegung der Elektronen um den Kern sowie durch den Spin von Elektronen besitzen 

die Atome magnetische Momente, die in Wechselwirkung mit äußeren Magnetfeldern treten kön- 

nen. 

• Durch fließende Ströme werden in Spulen oder Atomen magnetische Momente erzeugt, die in Rich- 

tung des magnetischen Feldes zeigen (! Elektrische Dipole zeigen entgegen der Richtung des elekt- 

rischen Feldes) 

• vorhandene magnetische Momente richten sich entsprechend dem magnetischen Feld aus und ver- 

stärken dieses (Para- und Ferromagnetismus). Induzierte magnetische Momente zeigen entgegen 

dem äußeren Feld (Diamagnetismus). 

8.4.1 Magnetische Momente 

Leiterschleife: 

In einem Magnetfeld erfährt eine stromdurchflossene Leiterschleife ein Drehmoment, wobei das Feld der 

Leiterschleife nach dem äußeren Feld ausgerichtet wird. Dieses Drehmoment lässt sich durch das magneti- 

sche Moment beschreiben: 

Drehmoment auf ein magnetisches Moment: M = mxB 

Bei einer Leiterschleife lässt sich das magnetische Moment schreiben als: 

m = N⋅I ⋅ A 

wobei N die Anzahl der Windungen, I der Strom und A der Normalenvektor mit dem Flächeninhalt A sind. 

Atomare magnetische Momente: 

Als Modell sei eine Ladung q gegeben, die sich mit einer Geschwindigkeit v kreisförmig um einen Atomkern 

bewegt. Dann gilt 

Drehimpuls L = mel ⋅ v ⋅ r 

magnetisches Moment: m = I⋅ A = I⋅ π ⋅r 

2 

Für den Strom I kann auch geschrieben werden: I = 

2π ⋅r 

Für die Periodendauer gilt: T = 

v 

Somit ergibt sich: 

q 

T

q v r 

m = 

r 

⋅ ⋅ ⋅ π 

2π 

⋅ 

2 




q 

q v r 

m L 

1 

= ⋅ ⋅ = 

2 2 ⋅ el 

Das magnetische Moment eines Atoms ist bei klassischer Betrachtungsweise gegeben durch den Drehim- 

puls, den das Elektron besitzt: 

m 

q 

m L = 

2 ⋅ el 

Diese Beziehung gilt auch für die Quantentheorie, nur wird dort der Drehimpuls mit quantentheoretischen 

Verfahren berechnet. Darüber hinaus besitzt ein Elektron zusätzlich einen Spin, dessen magnetisches Mo- 

ment gerade doppelt so groß ist wie das Moment des Bahndrehimpulses (Nur quantentheoretisch erklärbar). 

In der Quantentheorie ist der Drehimpuls eines Elektrons quantisiert. Das magnetische Moment lässt sich 

schreiben als: 

e⋅ 

h 

m = − 

2⋅ 

m 

el 

L L 

= −μB 

h h 

−24 

2 

wobei μ B = 9, 27 ⋅10 A ⋅m 

das Bohrsche Magneton, h = h 

2π 

sche Wirkungsquantum sind. 

− 

und h = 6 63 ⋅10 

Js 

34 

, das Planck- 

Wenn alle magnetischen Momente im Material durch das äußere Feld ausgerichtet sind, so weist das Mate- 

rial eine Sättigungsmagnetisierung MS auf. 

8.4.2 Magnetisierung und magnetische Suszeptibilität 

Wird ein Material in ein Magnetfeld gebracht, so werden die magnetischen Momente (sowohl die induzierten 

als auch die permanenten) ausgerichtet. Das Material ist magnetisch. Die Magnetisierung des Materials 

wird durch das resultierende magnetische Moment pro Volumeneinheit definiert. 

Magnetisierung: M dm 

= 

dV 

Je nach Art der Magnetisierung ist die Magnetisierung dem äußeren Feld gleichgerichtet und verstärkt die- 

ses (Ausrichtung vorhandenen magnetischer Momente) oder dem äußeren Feld entgegengerichtet und 

schwächt dieses (induzierte magnetische Momente). 

Das resultierende Feld ergibt sich somit zu B = B0 + μ 0 ⋅M 

wobei B0 das äußere originäre Magnetfeld ist. 

In diesem Zusammenhang wird eine weitere magnetische Größe eingeführt, die 

magnetische Feldstärke H: B = μ ⋅ ( H+ M) 

Unterscheidung von B und H 

0




• H wird allein durch freie Ströme, z.B. in Spulen, erzeugt und ist nicht von vorhandenen oder indu- 

zierten Strömen innerhalb der Materie abhängig. 

• B enthält dagegen sowohl Beiträge aus freien (äußeren) Strömen und magnetischen Momenten, die 

Beispiel: 

durch Materialeigenschaften resultieren. 

Zylinderspule: B = μ0 ⋅n ⋅I ⇒ H = n⋅I Das von außen eingespeiste Feld ist H, welches nur vom Spulen- 

strom abhängt. H ist unabhängig von dem Material, welches sich innerhalb der Spule befindet. Die Magneti- 

sierung des Materials ist somit abhängig von dem äußeren Feld H. Bei paramagnetischen und diamagneti- 

schen Materialien gilt ein linearer Zusammenhang zwischen H und M: 

Suszeptibilität χm : M = χ m ⋅H 

paramagnetisch: χ m >0 

diamagnetisch χ m >0 

Mit dem obigen Zusammenhang gilt: 

( ) ( ) 

B = B0 + μ 0 ⋅ M = μ 0 H + M = μ 0 1+ χ m ⋅H 

oder 

B = μ ⋅ μ ⋅ H = μ ⋅H 

0 

r 

Die materialabhängige Konstante µr wird Permeabilität genannt. 

8.4.3 Paramagnetismus 

Paramagnetische Materialien besitzen eine kleine positive magnetische Suszeptibilität χ m . 

Beispiele: Al, Mg, Ti, W, Sauerstoff 

Die potentielle Energie magnetischer Momente in einem Magnetfeld B lässt sich berechnen durch 

E m B 

pot = − ⋅ , d.h. die Momente besitzen die niedrigste potentielle Energie, wenn sie sich parallel zum 

Feld ausrichten. 

Paramagnetismus ist meist nur schwach ausgeprägt, da die thermische Bewegung der Atome die Ausrich- 

tung durch das Magnetfeld wieder zerstört. Der Zusammenhang zwischen Magnetisierung des Materials und 

dem äußeren Feld wird durch das Curiesche Gesetz beschrieben.

M 

M S 

8.4.4 Diamagnetismus 




Curiesches Gesetz: χ m 

C 

= , 

T 

C ist die materialabhängige Curiekonstante 

Diamagnetische Materialien besitzen eine kleine negative magnetische Suszeptibilität χ m . Durch Induktion 

werden in den Elektronenschalen magnetische Momente erzeugt, die aufgrund der Lenzschen Regel dem 

äußeren Feld entgegengesetzt sind. 

Diamagnetismus tritt bei allen Materialien auf, jedoch ist er meist um mehrere Größenordnungen kleiner 

und wird durch den Paramagnetismus überdeckt. Diamagnetische Materialien haben abgeschlossene Elekt- 

ronenschalen, in denen sich die magnetischen Momente aufgrund von Drehimpuls und Spin aufheben. 

8.4.5 Ferromagnetismus 

Bei ferromagnetischen Materialien nimmt die magnetische Suszeptibilität χ m große positive Werte an. 

Es lässt sich bereits durch schwache Magnetfelder eine hohe Ausrichtung der magnetischen Momente er- 

reichen. 

M = 1/3 m B M 

0 S 

kT 

Beispiele: Fe, Co, Ni, Legierungen, Gadolinium, Dysprosium, Erbium 

Die Ausrichtung der magnetischen Momente bleibt auch nach Abschalten des äußeren Feldes H erhalten. 

Die Wechselwirkung benachbarter Momente ist sehr stark, wodurch sich innerhalb des Materials bereits 

eine räumlich begrenzte Ausrichtung ergibt. Diese Raumbereiche werden Weißsche Bezirke, Weißsche 

Bereiche oder magnetische Domänen genannt. Die Ausrichtung aller Domänen geschieht normalerweise 

derart, dass das resultierende Magnetfeld zu Null wird. 

Oberhalb einer kritischen Temperatur, der Curie-Temperatur, geht die Ausrichtung der Momente in den 

Weißschen Bezirken aufgrund der thermischen Bewegung verloren. 

Wird ein ferromagnetisches Material durch ein äußeres Magnetfeld magnetisiert, so klappen die Weißen 

Bezirke in Magnetfeldrichtung um und es kommt zu einer permanenten Magnetisierung in einer Richtung, 

die auch nach Abschalten des äußeren Feldes erhalten bleibt. 

B 0 

Die Magnetisierung durch ein äußeres Magnetfeld verläuft typischerweise in Form einer Hysteresekurve.

H k 

Koerzitivfeld 




Hysteresekurve magnetisch 

harter Materialien 

Remanenzfeld 

B B 

B r 

8.5 Wechselstromkreise 

Neukurve 

Hysteresekurve magnetisch 

weicher Materialien 

H k 

H H 

Für die Versorgung von Haushalten und Industrieanlagen wird meist Wechselstrom verwendet. Der Vorteil 

liegt darin, dass dieser durch Transformatoren erhöht bzw. erniedrigt werden kann. Um über ein Stromkabel 

Leistung zu transportieren, werden hohe Spannungen erzeugt, wodurch der Strom und somit die Joulschen 

Verluste im Stromkabel niedriger werden. 

Typische Wechselspannungen: 

• 50 Hz oder 60 Hz: Netzfrequenz in Haushalten 

• 20 Hz bis 20 kHz: Musikwidergabe, Ansteuerung von Lautsprechern 

• 16 2/3 Hz: Spannungsversorgung der Bahn 

• bis zu 400 MHz bei Rechnern 

Eine sinusförmige Wechselspannung lässt sich einfach durch Induktion in einem Generator erzeugen. 

Wechselspannung: U = U( t) = U ⋅sin( ωt − δ ) 

0 

Wenn in einem Stromkreis Wechselspannungen anliegen, wird auch der Strom durch die zeitliche Änderung 

beeinflusst. 

8.5.1 Wechselspannung an einem Widerstand 

U(t) R 

An dem Widerstand R liege die Spannung 

( ) = ⋅ cos( ω ) 

U t U t 

0 

Zu jedem Zeitpunkt t treibt die Spannung einen Strom durch den Wider- 

stand R: I = 

Ferner gilt zu jedem Zeitpunkt die Maschenregel 

( ) 

U t 

R 

B r

( ) 

U t −I ⋅ R = 0 

⇒ U ⋅cosωt −I ⋅ R = 0 

0 

I( t) U 




0 

⇒ = ⋅ cosωt = I0 ⋅cosωt 

R 

Der durch den Widerstand fließende Strom ist in Phase mit der anliegenden Spannung! 

Hierbei sind U0 und I0 die Scheitelwerte von Spannung und Strom. 

Mittlere Leistung: 

Im Widerstand wird zu jedem Zeitpunkt die Leistung P=UI in Wärme umgesetzt. Es ist jedoch wichtig zu 

wissen, welche Leistung im Mittel, d.h. innerhalb einer Periode insgesamt umgesetzt wird. 

T 

1 

1 

2 1 1 

P = U cos t I cos tdt 

U I cos tdt 

U I T 

T ∫ 0 ⋅ ω ⋅ 0 ⋅ ω = 0 ⋅ 0 ω = 0 ⋅ 0 ⋅ ⋅ 

T ∫ T 2 

0 

T 

0 

Der zeitliche Mittelwert der Leistung ist somit nur die Hälfte des Maximalwertes der Leistung. Der Faktor ½ 

kann somit auf die mittleren Spannungen bzw. Ströme verteilt werden, d.h. die Werte von Strom und Span- 

nung, die effektiv zur Leistung beitragen. 

Auf diese Weise werden die Effektivwerte von Strom und Spannung definiert: 

I 

eff 


I 

eff 

2 1 2 

= I = I dt = 

T ∫ 

T 

2 1 2 U0 

= U = U dt = 

T ∫ 2 

T 

0 

0 

I 

0 

2 

Diese Zusammenhänge gelten jedoch nur für sinusförmige Wechselspannungen! 

8.5.2 Wechselströme in Spulen 

U(t) 

L 

An der Spule liege die Spannung U( t) = U ⋅ ( t) 

Die Anwendung der Maschenregel ergibt 

U( t) U U ( t) L dI 

− L = 0 ⇒ 0 ⋅ cos ω = 

dt 

0 

cos ω . 

Durch Integration lässt sich diese Gleichung umformen zu

∫ 

U 

0 

⇒ L ⋅I 

= U 

⇒ I 

⋅ cos 

( ωt) 

0 

U 

ω ⋅L 




dt = 

cos 

∫L 

( ωt) 

0 ( t) 

= sin( 

ωt) 

Hierbei ist I 

0 

⋅ 

∫ 

dI 

dt 

dt 

dt 

U0 

= der Scheitelwert des Spulenstromes. Verglichen mit einem ohmschen Widerstand 

ω⋅ 

L 

⎛ U0 

⎞ 

⎜I0 

= ⎟ kann der Term XL = ⋅L 

⎝ R ⎠ 

induktiver Widerstand oder Blindwiderstand. X = ⋅L 

ω 

Es gilt: Ueff = XL ⋅ Ieff 

ω formal als Widerstand bezeichnet werden. Die Größe XL heißt 

L 

Der Begriff Blindwiderstand wird verwendet, da in einer Spule keine Leistung in Joulsche Wärme umgesetzt 

wird. Zu jedem Zeitpunkt gilt: P( t) = U( t) ⋅ I( t) = U ⋅cos( ωt) ⋅I ⋅sin( 

ω t) 

0 0 

Der zeitliche Mittelwert der Leistung wird wiederum durch Integration über eine Periode bestimmt. Diese 

ergibt: P( t) U I cos( ωt) sin( 

ω t) 

= ⋅ ⋅ ⋅ = 

0 0 0 

Die Integration des Produktes aus sin und cos über eine Periode liefert den Mittelwert Null, da das Produkt 

eine ungerade Funktion ist. 

Die Leistung, die sich zu jedem Zeitpunkt aus Strom und Spannung ergibt wird zum Aufbau des magneti- 

schen Feldes innerhalb der Spule verwendet. 

8.5.3 Wechselströme in Kondensatoren 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 

-0,2 

0,5 1 1,5 2 

Am Kondensator liege die Spannung U( t) = U ⋅ ( t) 

y 

-0,4 

-0,6 

-0,8 

Die Anwendung der Maschenregel ergibt 

-1 

0 

x 

cos ω .

1 

U ( t) 

I( t) 0 ⋅ cos ω = dt 

C ∫ 




( ) ( ) 

U t − U = ⇒ U ⋅ cos ω t = 

C 

0 0 

( ) 

Q t 

C 

Der Strom, der beim Lade-/ Entladevorgang durch den Kondensator 

I t 

fließt, lässt sich berechnen durch: ( ) 

Damit wird die obige Gleichung zu 

Die formale Differentiation der Gleichung liefert dann einen Ausdruck für den Strom I: 

1 

U ( ( t) 

) I( t) 

0 ⋅ω ⋅ − sin ω = 

C 

⇒ I t = −ω ⋅C ⋅U ⋅ sin ωt 

( ) ( ) 

⇒ I t = − 

U 

1 

ω ⋅C 

⋅sin 

ωt 

0 ( ) ( ) 

Formal ist der Ausdruck 1 

ω ⋅C 

X 

C = 

U(t) C 

0 

1 

genannt. 

ω ⋅C 

Es gilt: Ueff = X C ⋅ Ieff 

Aus I( t) = −ω ⋅C ⋅U ⋅ ( ωt) = −I ⋅ ( ωt) 

⎛ ⎞ 

− sin( ω ) = cos⎜ω 

+ ⎟ 

⎝ ⎠ 

π 

t t 

2 

⎛ ⎞ 

I( t) = I0 ⋅ cos⎜ωt + ⎟ 

⎝ 2⎠ 

π 

0 0 

( ) 

dQ t 

= ⇒ Q( t) = I( t) dt 

dt ∫ 

wieder ein Widerstand. Dieser Ausdruck wird kapazitiver Widerstand 

sin sin folgt durch Umformung der Sinusfunktion nach 

y 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

-0,2 

0 0,5 1 1,5 2 

-0,4 

-0,6 

-0,8 

-1 

Beim Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90° voraus 

x




Ähnlich wie bei der Spule ist die mittlere Leistung der Wechselspannung beim Kondensator Null. Die Leis- 

tung wird vielmehr dazu verwendet, das elektrische Feld im Kondensator aufzubauen. 

8.5.4 LC-Kreise 

Die Eigenschaften von Kondensatoren und Spulen, elektrische Energie in Form von elektrischen und mag- 

netischen Feldern zu speichern, kann dazu genutzt werden, Schwingungen zu erzeugen. 

Mechanische Analogie: Die potentielle Energie einer Feder kann in kinetische Energie gewandelt werden 

und umgekehrt. Das Federsystem führt Schwingungen aus. 

Gegeben sei der folgende Schwingkreis: 

• Der Kondensator sei zum Zeitpunkt t=0 gerade voll geladen. 

• Nach Schließen des Schalters S fließt ein Entladestrom des Kondensa- 

tors. 

• Durch den Strom wird in der Spule eine Spannung induziert und ein 

Magnetfeld aufgebaut. 

• Wenn sich das Magnetfeld wieder abbaut, wird erneut ein Strom indu- 

ziert, der den Kondensator wieder auflädt und der Vorgang setzt sich weiter fort. 

Die Anwendung der Mascheregel gibt diesen Zusammenhang ebenfalls wieder: 

L dI Q 

mit I 

dt C 

d Q Q 

L 

dt C 

d Q 

dt L C Q 

+ = 0 = 

2 

⇒ 2 + = 0 

2 

1 

⇒ 2 + = 0 

⋅ 

dQ 

dT 

Dies ist eine Dgl., die das zeitabhängige Verhalten der durch Kondensator und Spule fließenden Ladung 

beschreibt. 

Die Lösung der Dgl. lautet: Q( t) = Q ⋅cos( ωt − δ ) 

wobei ω = 

1 

L ⋅ C ist. 

0 

Die Ladung oszilliert somit periodisch zwischen Spule und Kondensator hin und her. Der im Schwingkreis 

fließende Strom lässt sich somit leicht berechnen zu 

( ) 

I t 

C 

( ) 

S 

L 

dQ t 

= = −Q 0 ⋅ω ⋅ sin ωt − δ = −I0 ⋅sin ωt − δ 

dt 

( ) ( ) 

Dieses Verhalten beschreibt eine ungedämpfte harmonische elektrische Schwingung.




Analog zum mechanischen Schwinger, bei dem die Oszillation gedämpft wird bei Auftreten von Reibung, 

wird auch die elektrische Oszillation gedämpft bei Vorhandensein von elektrischen Widerständen. In den 

Widerständen wird ein Teil der Schwingungsenergie in Joulsche Wärme gewandelt, die dem Schwingungs- 

system dann nicht mehr zur Verfügung steht. 

Auf die gleiche Weise können auch von außen erregte Schwingkreise mit verschiedenen Kombinationen 

aus Spule, Kondensator und Widerstand behandelt werden. Auch hier treten Phänomene wie Resonanzen 

in Abhängigkeit der Dämpfung auf. Für eine genauere Behandlung dieser Phänomene sein an dieser Stelle 

jedoch auf die Literatur verwiesen. 

8.5.5 Transformator 

Wechselspannungen können nahezu verlustfrei in ihrer Größe geändert werden. Hierzu werden meist 

Transformatoren verwendet. Die zu ändernde Spannung wird über einer Spule angelegt, die mit einer zwei- 

ten Spule über einen Ringkern verbunden ist. 

U(t) 

Primärspannung: U N d m 

L1 

= 1 ⋅ 

dt 

Ψ , 

Die Spannung U1(t) induziert in der Primärspule mit 

der Windungszahl N1 aufgrund des Magnetisie- 

rungsstromes einen magnetischen Fluss Ψ m,ges , 

der durch den Ringkern gebündelt wird und entspre- 

chend in gleicher Größe die Spule mit der Win- 

dungszahl N2 durchsetzt. Verluste durch Wirbel- 

ströme etc. Seien an dieser Stelle vernachlässigt. 

Induzierte Spannung in der ersten Spule: 

wobei Ψ m der magnetische Fluss ist, der durch eine Leiterschleife erzeugt wird. 

Aufgrund der Maschenregel ist die induzierte Spannung UL1 gerade gleich der äußeren anliegenden Span- 

nung. 

N1 

In der zweiten Spule wird aufgrund des magnetischen Flusses ebenfalls eine Spannung entsprechend dem 

Induktionsgesetz induziert: 

Sekundärspannung: U N d 

L2 

= − 2 ⋅ 

dt 

Ψ 

m 

Diese Spannung erleidet auf der Sekundärseite aufgrund der Lenzschen Regel (gleicher Wicklungssinn der 

Spulen vorausgesetzt) einen Phasensprung um 180°. 

Zusammengefasst lassen sich die beiden Gleichungen schreiben als U 

Der Quotient aus N2 und N1 wird Übersetzungsfaktor genannt. 

N2 

2 

N 

N U 

2 

= − 

1 

1




Weiterhin kann gezeigt werden, dass für einen belasteten Transformator gilt: 

N1 ⋅ I1 = N2 ⋅ I2 

(die Ströme verhalten sich wie die Windungszahlen) 

U ⋅ I = U ⋅ I (die Leistung wird übertragen) 

1, eff 1, eff 2, eff 2, 

eff 

8.6 Elektromagnetische Wellen 

Wie in den letzten Kapiteln gezeigt wurde haben elektrische Felder ihre Quellen in elektrischen Ladungen 

und magnetische Felder werden durch bewegte Ladungen erzeugt. Darüber hinaus werden durch zeitlich 

veränderliche magnetische Felder in Leiterschleifen elektrische Felder erzeugt und umgekehrt. 

Dies legt den Schluss nahe, dass elektrische Felder aus magnetischen Feldern entstehen können und um- 

gekehrt. Die funktionalen Zusammenhänge wurden erstmals von Maxwell in den Maxwellschen Gleichun- 

gen zusammengefasst. 

8.6.1 Die Maxwellschen Gleichungen 

Zusammengefasst lauten die Maxwellschen Gleichungen in Integralschreibweise: 

( ) 

1 

( ) 

( ) 

( ) 

1 

En ⋅ dA = Q 

ε 

2 B ⋅ dA = 0 

3 

4 

∫∫ 

δV 

∫∫ 

δV 

δA 

n 

d 

E⋅ ds = − Bn ⋅dA 

dt 

∫B ds 0 I 0 ε0 

dt ∫ 

δA 

A 

0 

∫ ∫ 

A 

innen 

d 

⋅ = μ ⋅ + μ ⋅ E ⋅dA 

Anschaulich bedeuten hier die Integrale die folgenden Vorschriften: 

∫∫ 

δV 

∫ 

δA 

E ⋅dA 

n 

E⋅ ds 

n 

Integration über die geschlossene Oberfläche eines Volumens derjenigen Komponente des 

elektrischen Feldes, welches senkrecht auf der Oberfläche steht. 

Integration über eine geschlossene Linie einer Fläche A derjenigen Komponente des elektri- 

schen Feldes, welches parallel zur Tangenten der Begrenzungslinie liegt. 

∫ En ⋅dA 

Integration über eine offene Fläche A derjenigen Komponente des elektrischen Feldes, welches 

A 

Gleichung (1): 

senkrecht auf der Oberfläche steht. 

Diese Gleichung entspricht dem Coulombschen Gesetz der Elektrostatik. Sie besagt, dass das elektrische 

Feld seine Quellen bzw. Senken in elektrischen Ladungen hat. Das Feld, welches aus einem Volumen „her-




ausfließt“ (bzw. in ein Volumen hineinfließt), wird durch die Ladung erzeugt, die sich innerhalb des Volu- 

mens befindet. Das elektrische Feld entsteht durch elektrische Monopole. 


Diese Gleichung sagt aus, dass ein magnetisches Feld keine Monopole besitzt. Feldlinien sind stets in sich 

geschlossen, d.h. diejenigen Feldlinien, die durch eine geschlossene Oberfläche eines Volumens hineinflie- 

ßen, müssen auch wieder aus diesem Volumen herausfließen. 


Diese Gleichung besagt, dass durch ein zeitlich sich änderndes Magnetfeld, welches eine Fläche A durch- 

setzt, auf dem Rand δA der Fläche eine Spannung induziert wird. Das Minuszeichen in dieser Gleichung 

beschreibt die Lenzsche Regel, d.h. die induzierte Spannung wirkt ihrer Ursache entgegen. 

Gleichung (4) 

Diese Gleichung besagt ohne Berücksichtigung der zeitlichen Änderung des elektrischen Feldes zunächst, 

dass Magnetfelder, gemessen auf dem Rand einer Fläche, durch diejenigen Ströme erzeugt werden, die 

durch diese Fläche hindurchfließen. Das Amperesche Gesetz gilt in dieser Form nur für durchgehende Strö- 

me. Unterbrochene Ströme, wie z.B. in Kondensatoren, werden nicht berücksichtigt. Zusätzlich werden aber 

auch magnetische Felder dadurch erzeugt, dass zeitlich veränderliche elektrische Felder einen Verschie- 

bungsstrom bewirken. 

Maxwellscher Verschiebungsstrom: 

Der von Maxwell eingeführte Verschiebungsstrom kann anschaulich gemacht werden z.B. an einem Kon- 

densator. Wird ein Kondensator aufgeladen, so fließt in dem Zuleitungsdraht der Ladestrom, In gleicher 

Größe fließt dieser Ladestrom am anderen Anschluss des Kondensators wieder ab. Zwischen den Konden- 

satorplatten ließt aber kein „echter“ Strom, da dort kein leitendes Material vorhanden ist. 

Da der Strom, der in den Kondensator hinein fließt jedoch auch wieder herausfließt, kann formal zwischen 

beiden Platten ebenfalls ein Strom eingeführt werden, der sogenannte Verschiebungsstrom. Da der Strom- 

fluss auf beiden Platten durch die Influenz der Ladungen auf den Kondensatorplatten , d.h. durch das elekt- 

rische Feld zwischen ihnen, zustande kommt, und sich ein Strom nur bei sich ändernder Ladungsdichte 

fließt, kann formal die Änderung des elektrischen Flusses als Strom bezeichnet werden: 

Verschiebungsstrom: I 

V 

= ε 0 ⋅ 

dΨ 

dt 

e 

wobei Ψ e der elektrische Fluss zwischen beiden Kondensatorplatten ist. 

Eine weiter Notwendigkeit zur Einführung des Verschiebungsstromes lässt sich folgendermaßen verdeutli- 

chen:




8.6.2 Elektromagnetische Wellen 

Das reine Amperesche Gesetz sagt aus, dass ein magne- 

tisches Feld auf dem Rand einer Fläche entsteht, wenn 

ein Strom durch diese Fläche fließt. Beim Kondensator 

ist dies bei der Fläche S1 der Fall, wenn ein Ladestrom in 

den Kondensator fließt. 

Es kann jedoch auch die Fläche S2 zur Berechnung he- 

rangezogen werden, da S2 den gleichen Rand wie S1 

aufweist. Durch S2 fließt aber kein „echter“ Strom, wes- 

wegen das Feld auf dem Rand der Fläche Null sein 

müsste. Dies ist aber ein Widerspruch, da zwei verschie- 

dene Ergebnisse auftreten. Die Einführung des Verschie- 

bungsstromes bereinigt diesen Sachverhalt wieder. 

Die Maxwellschen Gleichungen ohne Vorhandensein von Materie lauten wie folgt: 

( ) 

1 E ⋅ dA = 0 

( ) 

2 B ⋅ dA = 0 

( 3) 

( ) 

∫∫ 

δV 

∫∫ 

δV 

δA 

n 

n 

d 

E⋅ ds = − Bn ⋅dA 

dt 

∫ ∫ 

d 

⋅ = μ ⋅ En ⋅dA 

dt 

∫ ∫ 

4 B ds 

δA 

0 ε 0 

A 

A 

Die Gleichungen (3) und (4) zeigen, dass auch ohne Vorhandensein von Ladungen oder Strömen in Materie 

elektrische und magnetische Felder sich gegenseitig erzeugen können, wenn sie sich zeitlich ändern. Durch 

die Maxwellschen Gleichungen war es erstmals möglich, das Wesen und die Ausbreitung elektromagneti- 

scher Wellen zu beschreiben. Auf eine detaillierte Ausführung der Herleitung von em-Wellen sei an dieser 

Stelle verzichtet. 

dE/dt 0 aber konstant dB/dt 0 aber konstant dB/dt 0 und nicht konstant 

B E B 

E 

dE/dt 0 

und nicht konstant




Über die Lösung der Maxwellschen Gleichungen lassen sich alle klassischen elektromagnetischen Phäno- 

mene beschreiben. Unter anderem folgt für den materiefreien Raum eine Beschreibung der elektromagneti- 

schen Wellen, z.B. die Wellengleichungen harmonischer elektromagnetischer Wellen.

Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

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