Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 38
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
Die Schwerpunktkoordinate eines starren Körpers kann berechnet werden durch
r
s
∑r ⋅ Δm
=
i
m
i i
ges
bzw. bei kontinuierlicher Verteilung der Masse durch
r
s
=
m
∫
ges
m
r dm
ges
Die Schwerpunktkoordinaten (nicht jedoch der Schwerpunkt des Körpers) hängen nach obiger Definition von
der Wahl des Bezugsystems ab.
• Wenn eine Drehachse durch den Schwerpunkt verläuft, so heben sich alle inneren Drehmomente ge-
genseitig auf. Ein ruhender Körper befindet sich somit in jeder Stellung im Gleichgewicht.
• Bei beliebigen Aufhängungspunkten dreht sich der Körper solange um die Drehachse, bis sich der
Schwerpunkt senkrecht unter den Aufhängungspunkt gedreht hat.
2.8.5 Trägheitsmoment
Bei der Berechnung der Energie eines rotierenden Körpers müssen zusätzlich die Abstände der Massen-
punkte vom Drehpunkt berücksichtigt werden. Für das obige Beispiel gilt daher:
1 1
, = ⋅ = ⋅ ⋅
2 2
2
Kinetische Energie eines Massenpunktes um den Drehpunkt: E Δm v Δm ( ω r )
i kin i i i i
Jeder Massenpunkt beschreibt eine Kreisbahn um den Rotationsmittelpunkt. Die Geschwindigkeit der ein-
zelnen Massenpunkte ist nicht mehr konstant!
Die gesamte Bewegungsenergie errechnet sich somit aus:
1 2 1
Ekin = ∑Ei, kin = ∑ Δmi ⋅ vi = ∑ Δmi ⋅ ω ⋅ri
2
2
i
1
bzw. Ekin = ω ∑ Δ mi ⋅ri
2
i
2 2
i
i
( )
Die Summe ist eine charakteristische Konstante des starren Körpers und bestimmt den Energieinhalt des
Körpers bei seiner Rotation um eine Achse. Diese Konstante ist das sogenannte Trägheitsmoment des
Körpers:
∑ Δ
2 2
Trägheitsmoment: J = mi ⋅ri [ kg⋅ m ]
i
2 2
2
Kontinuierliche Massenverteilung: J = Δm
⋅ r = r dm = ρ
r dV
2
m V
lim∑
Δmi
→o
i
i i ∫
0
∫
0
ges ges
2