Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

dx
= −x
0 ⋅ω
0 ⋅ sin
dt
2
d x
2
= −x
2 0 ⋅⋅ω
0 ⋅cos
dt
Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 86
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
( ω ⋅ t + ϕ )
0
( ω ⋅ t + ϕ )
0
2
D
⇒ −x
0 ⋅⋅ω
0 ⋅
t
m
0
0
( ω ⋅ t + ϕ ) + ⋅ x ⋅cos(
ω ⋅ + ϕ ) = 0
cos 0 0
0
0 0
Die Gleichung hat eine allgemeine Lösung für beliebige Zeiten t, wenn
2 D D
ω0 = ⇒ ω0
= und f0
= 2π
⋅
m m
D
m
Das bedeutet, dass die Eigenfrequenz des Systems nur von den charakteristischen Größen m und D des
Oszillators abhängen.
Die Größen x0 und ϕ0 sind bei dieser Berechnung noch unbestimmt geblieben. Sie können jedoch durch die
sogenannten Anfangsbedingungen festgelegt werden. Diese können z.B. gegeben sein durch:
x
( t = 0)
= x ⋅cos(
ϕ )
dx
dt
0
( t = 0)
= −x
⋅ ω ⋅sin(
ϕ )
Eulersche Formel:
0
0
0
0
Wie leicht zu prüfen ist, kann auch die Sinusfunktion als Lösung der Dgl. angesetzt werden. Ein allgemeine-
rer Ansatz kann über die Verwendung der Eulerschen Formel geschehen:
j(
ωt+
ϕ ) ( t)
= x ⋅e
= x ( cos(
ωt
+ ϕ ) + j⋅
sin(
ωt
+ ) )
x 0 ϕ
0
0
0
Der Ansatz kann in die Dgl eingesetzt werden und getrennt nach Real- und Imaginärteil gelöst werden.
Mathematisches Pendel:
Energiesatz:
Eges =
Ekin
+ Epot
=
const.
l
α
0
h
α
m mg