Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...
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dx<br />
= −x<br />
0 ⋅ω<br />
0 ⋅ sin<br />
dt<br />
2<br />
d x<br />
2<br />
= −x<br />
2 0 ⋅⋅ω<br />
0 ⋅cos<br />
dt<br />
<strong>Skript</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>Physik</strong> 1 <strong>und</strong> <strong>Physik</strong> 2 Seite 86<br />
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie <strong>und</strong> Werkstofftechnik,<br />
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg<br />
( ω ⋅ t + ϕ )<br />
0<br />
( ω ⋅ t + ϕ )<br />
0<br />
2<br />
D<br />
⇒ −x<br />
0 ⋅⋅ω<br />
0 ⋅<br />
t<br />
m<br />
0<br />
0<br />
( ω ⋅ t + ϕ ) + ⋅ x ⋅cos(<br />
ω ⋅ + ϕ ) = 0<br />
cos 0 0<br />
0<br />
0 0<br />
Die Gleichung hat eine allgemeine Lösung für beliebige Zeiten t, wenn<br />
2 D D<br />
ω0 = ⇒ ω0<br />
= <strong>und</strong> f0<br />
= 2π<br />
⋅<br />
m m<br />
D<br />
m<br />
Das bedeutet, dass die Eigenfrequenz des Systems nur von den charakteristischen Größen m <strong>und</strong> D des<br />
Oszillators abhängen.<br />
Die Größen x0 <strong>und</strong> ϕ0 sind bei dieser Berechnung noch unbestimmt geblieben. Sie können jedoch durch die<br />
sogenannten Anfangsbedingungen festgelegt werden. Diese können z.B. gegeben sein durch:<br />
x<br />
( t = 0)<br />
= x ⋅cos(<br />
ϕ )<br />
dx<br />
dt<br />
0<br />
( t = 0)<br />
= −x<br />
⋅ ω ⋅sin(<br />
ϕ )<br />
Eulersche Formel:<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
Wie leicht zu prüfen ist, kann auch die Sinusfunktion als Lösung der Dgl. angesetzt werden. Ein allgemeine-<br />
rer Ansatz kann über die Verwendung der Eulerschen Formel geschehen:<br />
j(<br />
ωt+<br />
ϕ ) ( t)<br />
= x ⋅e<br />
= x ( cos(<br />
ωt<br />
+ ϕ ) + j⋅<br />
sin(<br />
ωt<br />
+ ) )<br />
x 0 ϕ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
Der Ansatz kann in die Dgl eingesetzt werden <strong>und</strong> getrennt nach Real- <strong>und</strong> Imaginärteil gelöst werden.<br />
Mathematisches Pendel:<br />
Energiesatz:<br />
Eges =<br />
Ekin<br />
+ Epot<br />
=<br />
const.<br />
l<br />
α<br />
0<br />
h<br />
α<br />
m mg