Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 144
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
Die Spannung, die zwischen den Platten eines Kondensators abfällt, ist proportional dem Abstand der Plat-
ten.
7.2.3 Feld und Potential, Poissongleichung
Äquipotentiallinien:
Aus der Definitionsgleichung des Potentials dΦ = −E
⋅ ds folgt, dass die Änderung des Potentials Null ist,
wenn die Verschiebung senkrecht zum elektrischen Feld erfolgt. Andererseits ist sie am größten, wenn sie
in Richtung des elektrischen Feldes erfolgt. Das Potential weist dort den größten Gradienten auf.
Beispiel Punktladung:
Gardienten des Potentials beschreiben:
E = −gradΦ
= −∇Φ
Entlang den Äquipotentiallinien ist das elektrische Feld vom
Betrage her gleich groß. Im Falle der Punktladung ist dies
gegeben in gleichen Abständen vom Mittelpunkt der Punktla-
dungen. Da in diesem Falle zum Verschieben einer Probela-
dung keine Arbeit benötigt wird, steht wegen
d Φ = E ⋅ ds
= 0 das elektrische Feld stets senkrecht auf
den Potentiallinien.
In vektorieller Schreibweise lässt sich die Gleichung wie folgt darstellen:
⎛E
⎜
E = ⎜E
⎜
⎝E
x
y
z
Q
Äquipotentiallinien
⎛ δΦ
⎞ ⎛ d ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎞
⎜ ⎟ ⎜ dx ⎟
⎟
⎜ dΦ ⎟
=
⎜ d ⎟
⎟ = − Φ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Φ = −∇Φ
⎟
dy dy
⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
dΦ
⎟ ⎜
d
⎟
⎝ dz ⎠ ⎝ dz ⎠
dx
grad
⎛ δ ⎞
⎜ ⎟
⎜ δx
⎟
⎜ δ ⎟
Hierbei wird ∇ = der Nabla-Operator genannt
⎜ δy
⎟
⎜ ⎟
⎜
δ
⎟
⎝ δz
⎠
Diese Eigenschaften lassen sich mathematisch durch den
Durch die Gradientenoperation wird aus dem skalaren Potential Φ einen Vektor erzeugt, der in die Richtung
der Abnahme von Φ zeigt. Aus Symmetriegründen kann auch eine Operation eingeführt werden, die eine
vektorielle Größe zu einer skalaren Größe umwandelt. Diese Rechenoperation wird Divergenz genannt. Es
kann gezeigt werden, dass im Falle kontinuierlicher Landungsverteilungen gilt: