Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 89
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
2
1/2*D*x0 E kin,
E pot, E kin, Epot, E ges,
0,0*T0 0,5*T 0 1,0*T0 1,5*T0 2,0*T0
x=0
x=0 x=0 x=0
x=0
x=0 x=0 x=0 x=0
5.3.3 Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung:
Bei der freien gedämpften Schwingung wird dem oszillierenden System ständig Energie entzogen, z.B.
durch Reibung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden:
1. geschwindigkeitstunabhängig FR = μ ⋅FN
2. viskose Reibung = b ⋅ v,
b = const
2
3. Strömungsreibung F = d⋅
v , d = const.
F R
R
Allgemein gilt, dass die Reibungskraft stets entgegengesetzt der Bewegungsrichtung wirkt. Am Beispiel des
Feder-Masse-Systems gilt demnach:
1. in Richtung +x: m ⋅& x&
= −μ
⋅FN
−D
⋅ x
in Richtung –x: m ⋅& x&
= + μ ⋅FN
−D
⋅ x
insgesamt: m ⋅& x&
± μ ⋅FN
+ D ⋅ x = 0
2. m ⋅ & x&
= −b
⋅ v − D⋅
x ⇒ m ⋅ &x
& + b ⋅ x&
+ D ⋅ x = 0
2
2
3. m ⋅&
x&
= −d⋅
v − D ⋅ x ⇒ m⋅
&x
& + d⋅
x&
+ D ⋅ x = 0
Gesucht sind nun die Lösungen zur Beschreibung der Zeitabhängigkeit der Bewegung, d.h. die Lösungen
der Dgl’n für die drei Fälle.
Eine analytische Lösung der Dgl’n ist bis auf die Dgl. der Strömungsreibung angebbar. Im Falle der Strö-
mungsreibung handelt es sich nicht mehr um eine lineare Differentialgleichung. Deren Behandlung soll hier
nicht mehr erfolgen, d.h. für die Strömungsreibung kann keine analytische Lösung angegeben werden. Auf
eine Herleitung der Lösungen wird im Rahmen der Lösungen verzichtet.
Lösung für Fall 1:
es gilt das Gleichungssystem