Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

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dN/dv [s/m] , N = 6 10
N( v)
dv
Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 62
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
2
⎛ mM
⎞ 2 ⎛ mM ⋅ v ⎞
2
= 4 ⋅ π ⋅N⋅ ⎜ ⎟ ⋅ v ⋅ exp ⎜−
⎟
⎝ 2⋅ π ⋅k ⋅ T⎠
⎝ 2⋅
k ⋅ T ⎠
3
Mit Hilfe dieser Berechnungen lässt sich in
einem Gas die Geschwindigkeitsverteilung der
Moleküle berechnen. Auch hier spielt der Boltz-
mannfaktor eine Rolle. Er gibt die Wahrschein-
lichkeit an, dass ein Molekül die kinetische
Energie 1/2mv 2 besitzt.
Es gilt (ohne Herleitung) für die Anzahl der
Moleküle die im Geschwindigkeitsintervall
[ v, v + dv]
liegen:
Das Integral über die gesamte Kurve liefert gerade die Gesamtteilchenzahl N
Aus der obigen Beziehung lassen sich einige Größen ableiten:
1. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit aller Teilchen ergibt sich aus dem Maximum der Kurve:
v
w
=
2⋅
k ⋅ T
m
M
2. Im Mittel gibt es jedoch mehr Moleküle mit größeren Geschwindigkeiten als v w . Das arithmetische Mit-
tel über die Geschwindigkeiten ist
4
v = ⋅ v ≈ 113 , ⋅ v
π
w w
3. Das in der kinetischen Gastheorie eingeführte mittlere Geschwindigkeitsquadrat hat den Wert:
2 3
v = v = ⋅ v ≈ 122 , ⋅ v
2
m w w
4. Mittlere freie Weglänge: Aus den Betrachtungen der Stoßwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der mittle-
ren Geschwindigkeit der Moleküle und ihrem Durchmesser lässt sich die mittlere freie Weglänge berechnen.
Sie gibt den Weg an, den ein Molekül im Mittel frei, d.h. ohne Stoßvorgang fliegen kann.
l =
1,20E+021
1,00E+021
8,00E+020
6,00E+020
4,00E+020
2,00E+020
0,00E+000
1 1
=
2 ⋅n ⋅ π ⋅d
2 ⋅ π ⋅d
n N p
= = N
V N⋅ k ⋅ T
2 2
M M
k ⋅ T
p
d M ist der Durchmesser des Moleküls.
Beispiel:
T=300K
v w
v
v 2
2
N( v)
m 2
M 2 m M v
= 4 π N
v exp
-
dv
2 π k T
2 k T
Geschwindigkeitsverteilung von
Stickstoffmolekülen bei versch. Temperaturen
v w
v
v 2
0 500 1000 1500 2000
Geschwindigkeit [m/s]
3
T=900K
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit von Stickstoff ist unter Normalbedingungen (1013 hPa, T=0°C):