Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

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Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 144 Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik, Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg Die Spannung, die zwischen den Platten eines Kondensators abfällt, ist proportional dem Abstand der Plat- ten. 7.2.3 Feld und Potential, Poissongleichung Äquipotentiallinien: Aus der Definitionsgleichung des Potentials dΦ = −E ⋅ ds folgt, dass die Änderung des Potentials Null ist, wenn die Verschiebung senkrecht zum elektrischen Feld erfolgt. Andererseits ist sie am größten, wenn sie in Richtung des elektrischen Feldes erfolgt. Das Potential weist dort den größten Gradienten auf. Beispiel Punktladung: Gardienten des Potentials beschreiben: E = −gradΦ = −∇Φ Entlang den Äquipotentiallinien ist das elektrische Feld vom Betrage her gleich groß. Im Falle der Punktladung ist dies gegeben in gleichen Abständen vom Mittelpunkt der Punktla- dungen. Da in diesem Falle zum Verschieben einer Probela- dung keine Arbeit benötigt wird, steht wegen d Φ = E ⋅ ds = 0 das elektrische Feld stets senkrecht auf den Potentiallinien. In vektorieller Schreibweise lässt sich die Gleichung wie folgt darstellen: ⎛E ⎜ E = ⎜E ⎜ ⎝E x y z Q Äquipotentiallinien ⎛ δΦ ⎞ ⎛ d ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dx ⎟ ⎟ ⎜ dΦ ⎟ = ⎜ d ⎟ ⎟ = − Φ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Φ = −∇Φ ⎟ dy dy ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dΦ ⎟ ⎜ d ⎟ ⎝ dz ⎠ ⎝ dz ⎠ dx grad ⎛ δ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ δx ⎟ ⎜ δ ⎟ Hierbei wird ∇ = der Nabla-Operator genannt ⎜ δy ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ δ ⎟ ⎝ δz ⎠ Diese Eigenschaften lassen sich mathematisch durch den Durch die Gradientenoperation wird aus dem skalaren Potential Φ einen Vektor erzeugt, der in die Richtung der Abnahme von Φ zeigt. Aus Symmetriegründen kann auch eine Operation eingeführt werden, die eine vektorielle Größe zu einer skalaren Größe umwandelt. Diese Rechenoperation wird Divergenz genannt. Es kann gezeigt werden, dass im Falle kontinuierlicher Landungsverteilungen gilt:
Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 145 Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik, Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg dQ Mit der Raumladungsdichte: ρ = kann gezeigt werden, dass dV ⎛ δ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ δx ⎟ ⎛E x ⎞ ⎜ δ ⎟ ⎜ ⎟ δ δ δ 1 div E = ∇ ⋅E = ⎜ ⎟ ⋅⎜E y ⎟ = E x + E y + Ez = ρ Poissongleichung δy ⎜ ⎟ δx δy δz ε0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ δ Ez ⎟ ⎝ δz ⎠ Wird hier der funktionale Zusammenhang zwischen E und Φ eingesetzt, so ergibt sich: div E ⎛ δ ⎞ ⎛⎛ δ ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ δx ⎟ ⎜⎜ δx ⎟ ⎟ 2 2 2 ⎜ δ ⎜⎜ δ ⎟ ⎟ δ δ δ = −divgradΦ = ∇ ⋅ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ δ ⎟ ⎟ 2 2 2 δy y δx δy δz ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ δ ⎟ ⎜ ⎜⎜ δ ⎟ ⎟ ⎝ δz ⎠ ⎝⎝ δz ⎠ ⎠ Der Operator ( ∇ ⋅ Φ) = ⋅ ⋅Φ = Φ + Φ + Φ = ΔΦ 2 2 2 ⎛ δ δ δ ⎞ = div grad = ⎜ + + ⎟ wird Laplace-Operator genannt. 2 2 ⎝ δx δy δz ⎠ Δ 2 Hieraus ergibt sich die Laplacegleichung 1 ΔΦ = − ε ρ 0 Anschauliche Deutung: Die Divergenz eines Feldes ist die Quelle, von der das elektrische Feld ausgeht, ist die Raumladungsdichte • positiv: Das Feld beginnt an dieser Raumladungsdichte, die Feldlinien verlaufen aus dem Volumen von der Raumladungsdichte weg. • negativ: Das Feld endet in der Raumladungsdichte, die Feldlinien laufen in das Volumen mit der Raumladungsdichte hinein. • Null: Das Feld besitzt keine Quelle. Bezogen auf ein festes Volumen enden keine Feldlinien in diesem Volumen, vielmehr laufen genauso viele Feldlinien hinein wie heraus. Wird die Poissongleichung über das Volumen, welches die gesamte Ladung der Raumladungsdichte ent- hält, integriert, so folgt ∫ V 1 1 divE dV = ρ dV = Q ε ∫ ε 0 V 0 innen Andererseits gilt aber auch der Gaußsche Integralsatz, wonach ∫ V div E dV = ∫ S EdA = ∫ S E n dA
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∫ ∫ und s = v dt = dt adt + s 2
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Beispiele: 2.6 Gravitation Skript z
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