Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
Seite 97
ges
n
∑
m=
0
m, 0 cos(
ωm ϕ m )
x = x ⋅ ⋅ t +
Fourier-Analyse:
Es lässt sich zeigen, dass sich jede periodisch wiederholende Schwingung durch die Fourier-Reihe
( ω ϕ )
ges
∞
∑
m=
0
m, 0 cos 0 m
x = x ⋅ m⋅ ⋅ t +
darstellen lässt.
f0 = ω 0 2π
wird dabei als Grundfrequenz bzw. Grundschwingung bezeichnet,
f 2f
= als erste Oberfrequenz bzw. Oberschwingung,
1 0
f 3f
= als zweite Oberfrequenz bzw. Oberschwingung usw.
1 0
Die Amplituden und Phasen der Einzelschwingungen bestimmen dabei eindeutig das Aussehen der Ge-
samtschwingung.
Der oben angegebene Phasenfaktor lässt sich darüber hinaus noch mit in die Koeffizienten integrieren:
cos α + β = cosα ⋅cosβ − sinα ⋅ sinβ
Es gilt: ( )
Damit lässt sich die obige Summation auch schreiben als:
( ) = 0, 0 ⋅ cos( ϕ 0 ) + ∑ , 0 ⋅ cos( ϕ ) cos( ⋅ ω 0 ⋅ ) + ∑ m, 0 ⋅ sin( − ϕ m ) sin(
⋅ ω 0 ⋅ )
x t x x m t x m t
ges m m
m=
1
∞
∞
a 0
= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
2
∑ a m cos( m ω 0 t) ∑ b m sin(
m ω 0 t)
m=
1
∞
m=
1
Dies ist eine übliche Darstellung der Fourier-Reihe.
Die Fourier-Koeffizienten lassen sich wiederum bei bekannter Gesamtschwingungen berechnen nach:
T
∫
( ) cos ( ω ) , ( 0, 1, 2,...
)
a = x t ⋅ m ⋅ ⋅ t m =
m ges
0
T
∫
( ) sin ( ω ) , ( 1, 2,...
)
b = x t ⋅ m ⋅ ⋅ t m =
m ges
0
0
0
Die Zerlegung in die einzelnen Frequenzanteile liefert somit das charakteristische Frequenzspektrum einer
Schwingung.
Eine Rechteckschwingung lässt sich z.B. darstellen durch:
x t
ges
4 ⋅ x ⎛ 1
1
⎞
⎜ sin ⋅ + sin ⋅ + sin ⋅ + .....
⎟
π ⎝ 3
5
⎠
0 ( ) = ( ω t) ( 3ω
t) ( 5ω
t)
∞
m=
1