Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 21
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Momentanwertes der Bahngeschwindigkeit
2 2
konstant: v = v + v = const.
Die Bahngeschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegter Kreisbahn
x y
und der dazu benötigten Zeit.
Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich jedoch laufend. Aus der allgemeinen Definition der Beschleu-
nigung folgt dann:
a dv d ⎛ v x⎞
= = ⎜ ⎟ . Da sich v
dt dt ⎝ v
x und vy mit der Zeit ständig ändern, gilt a ≠ 0 !
⎠
y
Berechnung der Radialbeschleunigung:
Die gesamte Geschwindigkeitsänderung kann unterteilt werden in eine Änderung der Bahngeschwindigkeit
und eine Komponente, die nicht in der Bahnrichtung liegt:
Da die Bahngeschwindigkeit des Körpers konstant ist (gleichförmige Drehbewegung) ist entsprechend die
Bahnbeschleunigung Null. Unter der Bahnbeschleunigung wird die Beschleunigung in Richtung der Ge-
schwindigkeit bezeichnet.
Wie aus der Abbildung ersichtlich wird ist der Betrag der
Geschwindigkeit konstant, es ändert sich jedoch die Rich-
tung. Dies bewirkt, dass eine Geschwindigkeitskomponente
zwischen den beiden Geschwindigkeitsvektoren entsteht. Deren zeitliche Änderung entspricht gerade der
Beschleunigung, die ein Körper erfahren muss, damit er sich mit gleichmäßiger Bahngeschwindigkeit auf
der Kreisbahn bewegt. Diese Beschleunigung wird Radialbeschleunigung genannt, da sie immer in Richtung
des Kreismittelpunktes wirkt.
Berechnung der Radialbeschleunigung:
Annahme: Der Körper bewege sich in einem genügend kleinen Zeitintervall dt auf der Kreisbahn um die
Strecke ds und schließe dabei den Winkel dϕ ein. Aus geometrischen Überlegungen (Strahlensatz der Ma-
thematik) ergibt sich dann
ds
r
dv
dv v
v
ds
≈ ⇒ = ⋅
r
Die Differentiation nach der Zeit zur Berechnung der Beschleunigung ergibt:
dv
dt
v ds
≈ =
r dt
2
v
r
Andererseits benötigt der Körper wegen seiner konstanten Bahngeschwindigkeit stets dieselbe Umlaufzeit T.
Der Umfang des Kreises berechnet sich durch U=2πr. Das bedeutet
2πr
v = = ω ⋅ r [ 1rad / s = 1/
s]
,
T