Skript zur Vorlesung Physik Teil 1 (Sommersemester) und Teil 2 ...

Skript zur Vorlesung Physik 1 und Physik 2 Seite 22
Prof. Dr. P. Kaul, Fachbereich Biologie Chemie und Werkstofftechnik,
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
wobei ω als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet wird. Auch hier gilt die allgemeine Definition der Winkelge-
schwindigkeit durch:
dϕ
ω = [ 1rad / s = 1/
s]
(momentane Winkelgeschwindigkeit)
dt
Damit ergibt sich für die Radialbeschleunigung: a
r
2
v
2
= = ω ⋅ v = ω ⋅r
r
Die Richtung der Radialbeschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
Vektorielle Herleitung
Es wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem in den Ursprung des Kreises gelegt. Zum Zeitpunkt Null liege
der Richtungsvektor zum Massenpunkt auf de x-Achse. Der Massenpunkt rotiert gleichförmig um den Mit-
telpunkt, d.h. seine Winkelgeschwindigkeit ist konstant.
senpunktes
dr ⎛ sinω
⋅ t ⎞
v = = r ⋅ ω⎜
⎟
dt ⎝−
cos ω ⋅ t⎠
und für die Beschleunigung
Wegen der konstanten Drehbewegung wird der Winkel gleichmäßig größer
wobei
α = ω ⋅ t gilt
Der Vektor r kann beschrieben werden durch:
( ω )
( )
( ω ⋅ t)
( )
⎛r
⋅cosα⎞
⎛r
⋅cos ⋅ t ⎞ ⎛cos
⎞
r = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = r⎜
⎟
⎝ r ⋅sinα
⎠ ⎝ r ⋅sin ω ⋅ t ⎠ ⎝ sin ω ⋅ t ⎠
Wenn r = const und ω = const dann gilt für die Geschwindigkeit des Mas-
und v = v = r ⋅ ω = const
dv ⎛−
cos ω ⋅ t⎞
2
v
a = = r ⋅ ω ⎜ ⎟ und a = ar = r ⋅ ω = = const
dt ⎝ − sinω
⋅ t ⎠
r
2
2
Werden die Richtungen der Vektoren v und a betrachtet, so zeigt sich, dass a entgegengesetzt zu r gerich-
tet ist und dass v senkrecht auf r und a steht, wie durch Bildung des Skalarproduktes leicht zu zeigen ist
(r ⋅ v = 0 ).
y
α
r
v
2.3.2 Ungleichförmige Drehbewegung
x
Wenn ein Körper aus dem Stillstand auf eine bestimmte Enddrehzahl gebracht wird, so bedeutet dies, dass
sich seine Drehzahl bzw. seine Winkelgeschwindigkeit ändert. Analog zur geradlinigen Bewegung handelt
es sich hierbei um eine ungleichförmige Drehbewegung. Mit der Änderung der Winkelgeschwindigkeit än-
dern sich damit auch die Bahngeschwindigkeit und die Radialbeschleunigung: