Der elastisch aufgehaengte starre Koerper - eDiss

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Für das zweidimensionale Problem ist die allgemeine Last einer einzelnen
Kraft äquivalent. Sie kann beschrieben werden durch das Lot d vom
Widerstandszentrum zur Kraftwirkungslinie mit Länge d und Richtung
r sowie der Stärke F( der Kraft, ) vgl. Abb. 1.3. Liegt S in Normalform
r1
vor, können d, r = und der Drehpol p in Beziehung gesetzt
r 2
werden.
( )
❦
−r2
F = F
r 1
y
✻
☛ ✟
❄+
✲
x
✣
dr = d dr 2
W dr 1
✄
Die Last
Abbildung 1.3: Die allgemeine ebene Last.
f = F
⎛
⎜
⎝
−r 2
r 1
d
ruft die Lageänderung S N f mit den Komponenten
⎛ ⎞
−A 1 r 2
⎜ ⎟
q = F ⎝ A 2 r 1 ⎠
˜cd
⎞
⎟
⎠
hervor. Für den Pol p folgt der Ausdruck
p = − 1˜cd
( )
A2 r 1
A 1 r 2
welcher nicht mehr von der Stärke der Kraft abhängt. Weist r nun in
eine Eigenrichtung von A, so gilt entweder r 1 = 0 oder r 2 = 0, und
dann liegen sich d und p bezüglich W genau gegenüber. Die Lage des
Pols ist dann durch eine skalare Funktion p = |p| beschreibbar. Diese
Funktion p(d) ist dann eine Hyperbel mit der Gleichung
p 1,2 · d 1,2 = − A 2,1
.
˜c
Dieser Zusammenhang ist das Reziprozitätstheorem der Synarthrosen
[48]. Für eine allgemeine symmetrische Ausgangsmatrix A gilt es nur
für deren Eigenrichtungen, da nur für diese r 1 oder r 2 verschwindet.
Abseits der Eigenrichtungen muß wieder vektoriell gerechnet werden.
Man erhält das Skalarprodukt
d · p = ( ) ( ) ( )
−A
r 1 r 2 /˜c 0 r1
2 ,
0 −A 1 /˜c r 2
,