Der elastisch aufgehaengte starre Koerper - eDiss

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Die Blöcke der Steifheitsmatrix möchte ich wie folgt bezeichnen
( )
A B2
S =
. (2.13)
C
B 1
Sie haben die Dimensionen
[S] = M ( )
1 L
T 2 L L 2
,
und transformieren sich mit (2.12) gemäß
S A ′ B ′ = T A ′ AS AB TB T ′ B
( ) ( ) ( )
I 0 A B2 I ΩBB ′
=
Ω A ′ A I B 1 C 0 I
( ) ( )
I 0 A B2 + AΩ
=
BB ′
Ω A ′ A I B 1 C + B 1 Ω BB ′
(
)
A B
=
2 + AΩ BB ′
. (2.14)
B 1 + Ω A ′ AA C + B 1 Ω BB ′ + Ω A ′ AB 2 + Ω A ′ AAΩ BB ′
Daraus ist die Transformationsinvarianz der Teilmatrix A sofort ersichtlich. Da
kein einfacher Zusammenhang zwischen den Blöcken von S und F besteht, muß es
auch für die Flexibilitätsmatrix neben der Transformationsinvarianz von M weitere
transformationsinvariante Terme geben. Diese sollen jetzt untersucht werden,
wodurch sich die innere Struktur der elastischen Matrizen weiter klärt.
Aus den Gleichungen q = Ff und f = Sq folgt
FS = I = SF ,
wobei I die 6 × 6–Einheitsmatrix ist, also daß S und F zueinander rechts- und
linksinvers sind. Das hat Konsequenzen für die einzelnen Blöcke der elastischen
Matrizen. Mit den Zerlegungen
( )
A B2
S =
B 1 C
( )
D S2
und F =
S 1 M
folgen daraus acht matrixwertige Gleichungen, und zwar vier für die verschwindenden
Nebendiagonalen
0 = AS 2 + B 2 M (2.15)
0 = S 1 A + MB 1 (2.16)
0 = DB 2 + S 2 C (2.17)
0 = B 1 D + CS 1 (2.18)