Der elastisch aufgehaengte starre Koerper - eDiss

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die Beträge der beiden beteiligten Vektoren sein oder etwa der Betrag des linienflüchtigen
Vektors und die Schraubsteigung τ
τ K =
τ D =
1
(F · T )
|F |
2
(2.6)
1
(δθ · δd)
|δθ|
2
. (2.7)
Für Drehschrauben etwa entspricht sie der Ganghöhe einer materiellen Schraube,
was den Vorteil der Anschaulichkeit hat. In beiden Fällen hat die Schraubsteigung
die Dimension einer Länge. Die Verbalisierung lautet diesmal
τ = 1 (l · f)
|l|
2
1
Schraubsteigung =
· (linienflüchtig · frei) .
|linienflüchtig|
2
Die Formeln (2.4), (2.5), (2.6) und (2.7) lassen sich mit dem Operator ◦, welcher
wahlweise das Vektor- oder das Skalarprodukt beschreibt, symbolisch zusammenfassen
zu
1
(l ◦ f) . (2.8)
|l|
2
Das ist der allgemeine Ausdruck für die Schraubparameter.
Damit ist die Analogie zwischen Kraft- und Drehschrauben noch nicht erschöpft.
Es kann außerdem gezeigt werden, daß die sich durch Superposition zweier Kraftschrauben
ergebende dritte Kraftschraube mit den beiden Ausgangsschrauben ein
Gemeinlot, das ist eine gemeinsame Senkrechte, hat. Die entsprechende Aussage
der Kinematik ist, daß die zu drei gegeneinander bewegten räumlichen Systemen
gehörenden drei momentanen Schraubachsen ein Gemeinlot haben 7 . Die Schraubung
vom ersten aufs dritte Bezugssystem ist dabei die Ausführung der ersten
beiden nacheinander.
Wie auch bei den Formeln für den Schraubachsaufpunkt entstehen numerische
Schwierigkeiten für einen reinen freien Vektor, da der Nenner quadratisch gegen
Null geht und dann die Ausdrücke divergieren. Für diese Fälle könnte man analytisch
den Durchgang durchs Unendliche zulassen, was aber für numerische Zwecke
unangemessen ist. Für infinitesimale Bewegungen oder Lasten kann man auf eine
andere Beschreibungsform ausweichen. Dann nämlich geht auch der Zähler gegen
Null, so daß sich mit dem Satz von de l’Hôpital endliche Ausdrücke für Aufpunkt
und Steigung der Schraube ergeben. Für die Drehschraube etwa ergibt sich
mit θ = θα für θ → 0 und d → 0 die Beziehung
1
|θ| (θ ◦ d) = α ◦ d 2 θ = α ◦ ḋ
˙θ
7 Vgl. etwa das auch weitere interessante Beschreibungsmöglichkeiten für Lagen enthaltende
Buch [30], Abschnitt 2.2.11.