Der elastisch aufgehaengte starre Koerper - eDiss

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Ortsfest: Ein ortsfester Vektor o ist eine Zuordnung von einem Punkt P bezüglich
des Ursprungs O zu einem Vektor OP −→
. Dabei nennt man O auch den Anfangspunkt,
und P den Endpunkt des Vektors. Ein Wechsel des Koordinatenursprungs
O nach O ′ ändert die Koordinaten eines Aufpunktes P dann
von −→
OA nach
−→
O ′ P = O −→
′ O + OP −→
,
er transformiert sich additiv mit der Differenz der Koordinatenursprünge.
Linienflüchtig: Längs einer Geraden im Raum kann der linienflüchtige Vektor l
aktiv verschoben werden, ohne daß sich an der Gleichgewichtssituation etwas
ändert. Beispielsweise beschreiben Drehvektoren θ, die auf einer gemeinsamen
Geraden im Raum liegen und denselben Betrag und Richtung haben,
dieselbe Drehung. Kräfte F dürfen längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden.
3 Hierauf basiert die bekannte graphische Methode der Addition von
ebenen Kraftsystemen, bei der erst die Kräfte in den gemeinsamen Schnittpunkt
der Kraftwirkungslinien verschoben werden, um dann mit der Parallelogrammkonstruktion
zur Gesamtkraft mit entsprechender Wirkungslinie
addiert zu werden. Unter einer passiven Verschiebung des Koordinatenursprunges
hängen die Komponenten eines linienflüchtigen Vektors nicht von
der Wahl des Bezugspunktes ab; etwa lautet die Bedingung für das Gleichgewicht
von Kräften in allen Bezugssystemen ∑ F = 0. Eine Drehung um
den Ursprung, beschrieben durch die Drehmatrix R mit OQ −→
= ROP −→
, ändert
bei einem Wechsel von O nach O ′ wegen −→
OO ′ + −→
O ′ Q = R
( −→
OO ′ + −→
O ′ P
nicht den Drehanteil, denn es kommt nur eine zusätzliche Translation hinzu:
−→
O ′ Q = RO −→
′ P + (R − I) OO −→
′ ; I ist hierbei die Einheitsmatrix. Die Transformationsgleichung
l(O) = l(O ′ )
” linienflüchtig(O) = linienflüchtig(O′ )“ ,
bei der die Koordinaten Funktionen der Koordinatenursprünge sind, faßt
also F O = F O ′ und θ O = θ O ′ zusammen. Die Indizes können demnach bei
linienflüchtigen Vektoren weggelassen werden. Die Änderung der Situation
unter aktiver Transformation der zugehörigen Linie, also einer Geraden im
Raum, kann daher nicht an den linienflüchtigen Vektoren selber liegen. Die
3 Die Verschiebung einer Kraft längs ihrer Wirkungslinie kann bei einem zwangsgeführten
starren Körper die Stabilität verändern, und zwar, etwa bei einer ebenen Bewegung, abhängig
von der Lage des Kraftangriffspunktes zum momentanen Drehpol und zum Krümmkreismittelpunkt
der Polbahn. Selbst bei einem freien starren Körper im Raum macht es einen Unterschied,
ob die Kraft vor oder hinter dem Schwerpunkt (gemessen in Richtung der Bewegung) angreift.
Denkt man sich diesen Angriffspunkt am Körper befestigt, so erzeugt beim Kraftangriff vor dem
Schwerpunkt eine Störung zusammen mit den Trägheitskräften im Schwerpunkt ein rücktreibendes
Drehmoment. Erfolgt der Kraftangriff hinter dem Schwerpunkt, verstärkt das Drehmoment
die Störung, und das Gleichgewicht wird instabil.
)