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12 SPEZIFISCHE WÄRME
c [ J / molK ]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
250
200
150
100
50
Temperatur [ K ]
200
400
600
800
100012001400
Θ E
[ K ]
c [ J / molK ]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
250
200
150
100
50
Temperatur [ K ]
200
400
600
800
100012001400
Θ D
[ K ]
(a)
(b)
Abbildung 2.1: Gittermodellbeiträge zur spezifische Wärme für 2 K< T < 300 K und charakteristische Temperaturen
Θ E,D = (100...1400) K. (a): spezifische Wärme des EINSTEIN-Modells. (b): spezifische Wärme des DEBYE-Modells.
Θ Di
= ω Di ¯h/k B ist eine Abschneide-(„cut-off “)-Temperatur, die üblicherweise als DEBYE-Temperatur bezeichnet
wird. Der temperaturabhängige Beitrag der beiden Modell ist in Abbildung 2.1 für charakteristische Temperaturen
Θ E,D = (100...1400) K aufgetragen. Für hohe Temperaturen (hier nur bis Raumtemperatur dargestellt)
gehen beide Modelle in den DULONG-PETIT-Grenzwert c = N A k B = 8,314 J/molK über. Schwingungen
im EINSTEIN-Modell zeigen keine Dispersion im ⃗q-Raum und die Form des Frequenzspektrums entspricht
einer δ -Distribution, die hier und im Folgenden als GAUSS-Glocke dargestellt wird. Aus der linearen Dispersionsbeziehung
im DEBYE-Modell ergibt sich eine quadratische Abhängigkeit im Frequenzspektrum. Damit
folgt:
F ph (ω) = 3Rω 2 ∑
2 θ ( ω Di − ω ) [
N exp − ( ) 2
ω − ω Ei / ( ) ]
2σi
2
i=0
ωD 3 + ∑
√ . (2.7)
i i=1 σ i 2π
θ (x 0 − x) ist die durch
{ 0 ∀ x > x0
θ (x 0 − x) =
1 ∀ x ≤ x 0
definierte Stufenfunktion.
Abbildung 2.2 zeigt das Frequenzspektrum einer EINSTEIN- und einer DEBYE-Schwingung. Trotz dieser Einschränkungen
auf die Form des Gesamtpektrums F (ω) ist die Datenanpassung immer noch nicht trivial und
wird umso komplexer, je mehr Atome pro Einheitszelle sich im zu untersuchenden Material befinden. Aufgrund
der großen Anzahl der auftretenden lokalen Minima für die Parametersätze, die zu einer Konvergenz
der Anpassungsprozedur führen können müssen die Parameter (und damit die charakteristischen Temperaturen)
von Hand gesteuert werden. Das ist ein zeitaufwendiges und ungenaues Verfahren. Mit Hilfe einiger
mathematischer Optimierungen wurde ein Computeralgorithmus entwickelt, mit dem Datensätze mit hoher
Geschwindigkeit und Genauigkeit ohne Startvorgaben für die Parameter angepasst werden können. Der Algorithmus
beruht auf zwei wesentlichen Optimierungen. Zunächst werden zur Anpassung nicht die Messdaten
direkt, sondern die über Temperaturintervalle integrierten Daten angepasst. Dabei werden einige in ∆T = 1 K-
Intervallen ermittelte Integrale zusammen mit dem Integral über den gesamten Messbereich kombiniert. So
ist es möglich, bestimmte unrealistische Parameterkombinationen und negative Parameterwerte sofort auszuschließen.
Außerdem werden prinzipiell weniger Datenpunkte zur Anpassung benötigt. Der zweite Optimierungsschritt
besteht im Zugriff auf gespeicherte Modelldaten der spezifischen Wärme, die in Form der in Abbildung
2.1 gezeigten zwei-dimensionalen Funktionen (Texturen) vorliegen. So wird die in jedem Iterationsschritt