Laplace-Transformation

1 EINFÜHRUNG 8
was zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt passiert. Insofern ist es nur konsequent, dass
wir σ(t) für t = 0 gar nicht denieren.
Die HEAVISIDE-Funktion modelliert also den Wechsel vom Nullniveau auf ein bestimmtes
Nichtnullniveau. Und klar; wenn wir σ(t) mit einer Konstante multiplizieren, können
wir jeden Wert für t > 0 erzwingen.
Für a > 0 ist σ(t − a) natürlich die um a nach rechts verschobene Sprungfunktion; siehe
Abbildung 8 für einige einfache Beispiele.
Abbildung 8: Einige einfache Sprungfunktionen
Durch Kombination mehrerer Terme der Form a · σ(t − b) können wir beliebige Treppenfunktionen
zusammenbauen.
Beispiel 1
a) σ(t − a) − σ(t − b) für beliebige a, b ∈ R mit 0 < a < b
b) 3σ(t) + 2σ(t − 2) − 4σ(t − 3)
c) (1 − t) · (σ(t + 1) − σ(t)) + t · (σ(t) − σ(t − 1))
1.2.2 Die Einheitsimpulsfunktion
Wir betrachten die Funktionenschar
r a (t) := 1 (σ(t) − σ(t − a)) ,
a
für a > 0.
Abbildung 9 zeigt einen typischen Vertreter mit Nichtnullniveau 1/a und einer Intervalllänge
a, auf der die Nichtnullwerte angenommen werden. Es folgt also direkt für die Fläche
unter dem Rechtecksignal r a :
∫ ∞
−∞
r a (t) dt = 1.