Laplace-Transformation

3 WICHTIGE SÄTZE ZUR LAPLACE-TRANSFORMATION 18
part. Int. mit u ′ = f ′ , v = e −st = [ f(t)e −st] ∞
∫
0 − ∞
= 0 − f(0) + s ·
0
∫ ∞
0
f(t)(−s)e −st dt
f(t)e −st dt.
Dieser Satz ist wichtig für die Transformation von Dierentialgleichungen und Dierentialgleichungssystemen,
da dort ja Ableitungen auftreten.
Beispiel 8
a) f(t) := sin (ωt) ◦ •
ω
s 2 +ω 2
=⇒ f ′ (t) ◦ • . . . =⇒ cos (ωt) ◦ • . . .
3.6 Dierentiation im s-Bereich
Satz 9 (s-Dierentiation)
Gegeben ist die Transformation f ◦ •F . Dann folgt die Transformation −t·f(t)◦ •F ′ (s).
Beweis: Dierenziert man die Transformationsgleichung F (s) = ∫ ∞
0
f(t)e −st dt auf beiden
Seiten nach s, so ergibt sich
F ′ (s) = d ds
∫ ∞
f(t)e −st dt
=
0
∫ ∞
∫ ∞
f(t) d ds e−st dt = −t · f(t)e −st dt
0
= L{−t · f(t)},
0
wobei wir nicht näher auf die (an dieser Stelle zulässige) Vertauschung von Dierentiation
und Integration (von der ersten zur zweiten Zeile) eingehen.
Beispiel 9
a) f(t) = 1 ◦ • 1, d.h. 1 • ◦ 1
s s
=⇒ dn 1
• ◦ . . .
ds n s
b) sin t ◦ • 1
1+s 2
=⇒ d 1
ds
1+s 2 • ◦ . . .