Laplace-Transformation

3 WICHTIGE SÄTZE ZUR LAPLACE-TRANSFORMATION 16
Beweis:
∫ ∞
∫ ∞
F (s − a) = f(t)e −(s−a) dt = e at f(t)e −st dt = L{e at f(t)}
Beispiel 5
0
0
a) e at · σ(t) ◦ • . . .
b) e −at sin (ωt)
c)
5s+1
s 2 +2s+5 • ◦ . . .
3.3 Verschiebung im t-Bereich, Dämpfung im s-Bereich
Satz 6 (t-Verschiebung, s-Dämpfung)
Aus der Transformation f ◦ • F folgt σ(t − a) · f(t − a) ◦ • e −as · F (s) für alle a ∈ C.
Beweis:
∫ ∞
σ(t − a) f(t − a)e −st dt =
∫ ∞
f(t − a)e −st dt
0
a
∫ ∞
Subst.: ˜t = t − a = f(˜t)e −s(˜t+a) d˜t
0
∫ ∞
= e −sa · f(˜t)e −s˜t d˜t = e −sa L{f}.
Beispiel 6
a) σ(t − a) ◦ • . . .
b) 1−e−3s
s+2
• ◦ . . .
0
3.4 Ähnlichkeitssatz
Satz 7 (Ähnlichkeitssatz)
Aus der Transformation f ◦ • F folgt f(at) ◦ • 1/a · F (s/a) für alle a > 0.