Laplace-Transformation

6 LÖSEN LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEME 26
METHODE: Lösen eines DGL-Systems
1. Alle Gleichungen inkl. der Anfangsbedingungen transformieren.
2. Entstehendes lineares Gleichungssysytem im s-Bereich lösen.
3. Lösungen des Gleichungssysytems in den t-Bereich zurücktransformieren.
6.1.1 Lösung des Doppelpendelsystems
Zur Illustration der Vorgehensweise kehren wir zurück zum Beispiel des Doppelpendels
aus Abschnitt 1.1.3.
Wir hatten dort ein lineares Dierentialgleichungssystem mit zwei Gleichungen erhalten:
m · l· α ..
= −ν · l· α .
−m · g · α − k · l · (α − β),
m · l· β ..
= −ν · l· β .
−m · g · β − k · l · (β − α).
(Es handelt sich dabei übrigens um ein Dierentialgleichungssystem zweiter Ordnung, da
die höchste aller überhaupt auftretenden Ableitung die zweite ist.)
Um das Beispiel zu vereinfachen, teilen wir beide Gleichungen durch (m · l):
..
α = −
m· ν α .
− g l · α − k m · α + k m · β,
..
β = − ν m· .
β − g l · β − k m · β + k m · α
und verwenden die konkreten Werte ν/m = 2, g/l = 10 und k/m = 8. Nach den Umbenennungen
x := α, y := β ergibt sich dann das folgende DGL-System, zu dem wir noch
die angegebenen (und vollkommen frei gewählten) Anfangsbedingungen hinzufügen:
..
x = −2 ẋ −18 x + 8 y,
..
y = −2 ẏ −18 y + 8 x,
AW: x(0) = 0,
.
x (0) = 1, y(0) = 0,
.
y (0) = 0.
(Die Anfangsbedingungen bedeuten, dass sich beide Pendel am Tiefpunkt benden. Eines
von beiden besitzt aber eine von Null verschiedene Anfangsgeschwindigkeit.)
1. Schritt: Transformation
x(t) ◦ • X(s)
.
x (t) ◦ • s · X(s) − x(0)
..
x (t) ◦ • s 2 · X(s) − s · x(0)− ẋ (0)
y(t) ◦ • Y (s)
.
y (t) ◦ • s · Y (s) − y(0)
..
y (t) ◦ • s 2 · Y (s) − s · y(0)− ẏ (0)