Laplace-Transformation

7 DIE EIN-AUSGABE-RELATION EINES LINEAREN SYSTEMS 30
Satz 14 (Berechnung des Ausgangssignals)
Ist g(t) die Tranferfunktion eines linearen Systems, so berechnet sich das zum Eingangssignal
x(t) gehörende Ausgangssignal y(t) gemäÿ der Formel
y(t) = x ∗ g (t) .
Wir hatten einerseits gesehen, dass wir die Tranferfunktion g(t) als Rücktransformierte
von G(s) = 1/p char (s) berechnen können. Andererseits gilt aber wegen δ(t) ◦ • 1 auch
y δ ◦ • Y δ (s) = 1 · G(s) = G(s) • ◦ g(t), bzw. kurz:
Satz 15 (Tranferfunktion = Impulsantwort)
Für ein lineares System gilt g(t) = y δ (t).
Die Tranferfunktion stimmt also mit der Impulsantwort überein. Man könnte also sagen,
dass man alles über das System herausbekommt, indem man sich die Antwort auf den
Einheitsimpuls besorgt.
Man kommt aber auch von der Sprungantwort auf die Transferfunktion, da ja y ′ σ(t) = y δ (t)
gilt. D.h. man kann auch einfach die Sprungantwort berechnen und diese dann dierenzieren.
Wir schauen uns der Vollständigkeit halber noch die Transformierte der Sprungantwort
an. Wegen σ(t) ◦ • 1/s ist das einfach; und zwar
y σ (t) ◦ • Y σ (s) = 1 s
· G(s) =
G(s)
s
=
1
s · p char (s) .
Abbildung 14 fasst noch einmal die wichtigsten Erkenntnisse aus den zurückliegenden
Sätzen und Betrachtungen zusammen.
7.3 Beispiele
7.3.1 Das R − c − Glied
Wir kehren noch einmal zum R − c − Glied aus Abbildung 4 zurück. Dabei betrachten
wir nun u in als Eingangssignal x(t) und u out als gesuchtes Ausgangssignal y(t).
Das OHMsche Gesetz liefert:
R = u R
i(t) = u in − u out
i(t)
=
x(t) − y(t)
,
i(t)
d.h. x(t) − y(t) = R · i(t). Der Strom i(t) ist proportional zur zeitlichen Änderung der
Spannung über dem Kondensator, d.h.
i(t) = c · d
dt u c(t) = c· ẏ (t),