Laplace-Transformation

4 DIE FALTUNG 20
3.8 Anfangs- und Endwerte
Satz 11 (Anfangs- und Endwerte)
Aus der Transformation f(t)◦ •F (s) folgen nachstehende Formeln für f(0 + ) und f(∞):
lim f(t) = lim
t→0 +
lim
t→∞
s · F (s)
s→∞
f(t) = lim s→0 +
und
Der Grenzübergang s → ∞ bedeutet dabei genauer Re(s) → ∞, d.h. es ist egal wie sich
der Imaginärteil von s während des Grenzübergangs verhält.
Achtung! Die zweiten Ausage gilt im Allgemeinen nur, wenn F (s) in der rechten Halbebene
{s ∈ C | Re(s) ≥ 0} höchstens einen einfachen Pol an der Stelle s = 0 besitzt.
Wir verzichten an dieser Stelle auf den Beweis des Satzes.
Beispiel 11
a) σ(t) ◦ • 1 und 1/s besitzt nur einen Pol erster Ordnung bei s = 0. Demnach gelten
s
beide Formeln, nämlich:
. . .
b) F (s) = s • ◦ t sin t = f(t)
(s 2 +1) 2 2
lim t→0 + f(t) = . . . ...
lim t→∞ f(t) = . . . ???
c) Wir suchen die Rücktransformation f(t) von 1 • ◦ f(t).
F (s) = 1 hat keine Pole, d.h. beide Formeln gelten:
=⇒ . . . =⇒ f(t) = δ(t)
4 Die Faltung
Wir haben nun zahlreiche Hilfsmittel beisammen, um aus gegebenen, z.B. tabellierten
oder bereits berechneten Transformationspaaren weitere korrekte Transformationspaaare
zu berechnen.
Nun soll uns die Frage beschäftigen, wie wir aus den gegebenen Transformierten von f(t)
und g(t) die Transformierte von f(t)·g(t) erzeugen können. Dies erönet uns dann weitere
Rechenwege, um Transformationen zu bewerkstelligen.
Zudem wird uns die Antwort auf diese Frage sehr weiterhelfen beim Verständnis der Ein-
Ausgabe-Relation eines linearen Systems, das wir weiter unten behandeln.