Laplace-Transformation

4 DIE FALTUNG 22
4.1.3 Faltung bei endlichen Träger
Ist eine Funktion nur auf einem endlichen Intervall ungleich Null, so sagt man sie besitzt
einen endlichen Träger; genauer:
Denition 4 (Träger einer Funktion)
Zu einer Funktion f(x), x ∈ R heiÿt die Menge
Träger von f.
f(t) = σ(t + 1) − σ(t − 2) besitzt den Träger [−1, 2]; also endlichen Trä-
Beispiel 13
ger.
T f := {x ∈ D f | f(x) ≠ 0}
Falls f und g beide endlichen Träger haben, so hat auch f ∗ g wieder endlichen Träger,
denn mit T f = [a, b] und T g = [c, d] folgt:
∫ ∞
f(u) · g(x − u) du =
∫ b
f(u) · g(x − u) du = 0,
−∞
a
falls x − b > d ist oder x − a < c. (Man mache sich klar, dass x − u ∈ [x − b, x − a].)
Damit muss der Träger von f ∗ g enthalten sein in [a + c, b + d].
4.2 Der Zusammenhang von Multiplikation und Faltung
Satz 13 (Faltungssatz)
Multiplikation im Zeitbereich ist Faltung im Frequenzbereich;
Multiplikation im Frequenzbereich ist Faltung im Zeitbereich.
D.h. aus f(t) ◦ • F (s) und g(t) ◦ • G(s) folgen die Transformationspaare
Beispiel 14
f(t) · g(t) ◦ • F (s) ∗ G(s), und f(t) ∗ g(t) ◦ • F (s) · G(s)
a) f(t) = g(t) = σ(t) =⇒ F (s) = G(s) = 1 s
−→ 1 s 2 ◦ • . . .
b) H(s) =
1
s 2 +7s+6 = 1
s+1 · 1
s+6 • ◦ . . .