Laplace-Transformation

1 EINFÜHRUNG 6
Abbildung 6: Ohmscher Widerstand und Kondensator parallel geschaltet
Die komplexen Zahlen C spielen hier also die Rolle der Spiegelwelt. (Dies ist aber nicht
die Spiegelwelt, in der wir uns bei der Laplace-Transformation bewegen werden.) Dann
gelten die Rücktransformationsregeln
u(t) = Re (u C (t)) und i(t) = Re (i C (t)) .
2. Schritt: Nun müssen wir die realen Wiederstände in komplexe Widerstände, die sogenannten
Impendanzen übertragen: Statt R und c haben wir nun z R und z c mit folgenden
Formeln:
z R = R, z c = 1
jcω .
3. Schritt: Wir berechnen nun die Gesamtimpedanz. Dabei verwenden wir das Gesetz für
die Parallelschaltung von Wiederständen, die auch für Impedanzen gilt, d.h.
1
= 1 + 1 = 1 z ges z R z c R + jcω
4. Schritt: Jetzt können wir mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes für Impedanzen
den Strom berechnen:
i C = u C
z ges
=
z = u C
i C
( )
( )
1 A
R + jcω · A · e jωt =
R + j · cωA · e jωt .
Es fällt auf, dass die Klammer gar nicht von der Zeit t, sondern nur von unseren Ausgangsparametern
A, R, c und ω abhängt. Somit ist auch der Strom i C (t) eine Kreisschwingung
mit der gleichen Kreisfrequenz ω also analog zu u C (t). Lediglich die Anfangszeiger
sind unterschiedlich, nämlich für die Spannung gleich A und für den Strom gleich
( A
R + j · cωA) ; siehe Abbildung 7.