Laplace-Transformation

5 LÖSEN LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 24
die wir nach Y auösen:
Y (s) =
R(s) − Q n−1 (s)
a n · s n + . . . a 1 · s 1 + a 0
.
MERKE: Nenner von Y (s)
1. Als Nenner der Transformierten von y(t) ergibt sich automatisch das charakteristische
Polynom der DGL (an der Stelle s).
Die rechte Seite ist dann noch zurückzutransformieren, um schlieÿlich die gesuchte Lösung
des AWPs, y(t), zu erhalten.
5.1.1 Beispiele
Beispiel 15
a) y ′′ − 5y ′ − 14y = 18e t , y(0) = −2, y ′ (0) = 19
b) y ′′ + 2y ′ + 5y = e −t sin (2t)
Gesucht ist diejenige Lösung, die mit Tangente y = x durch den Ursprung verläuft.
5.2 Anfangswerte für t ≠ 0
Wir wollen uns kurz davon überzeugen, dass die Annahme, dass alle Anfangswerte immer
für den Zeitpuntk t = 0 gegeben sind, keine Einschränkung bedeutet.
Nehmen wir dazu an, die Anfangswerte wären zu einem Zeitpunkt t = t 0 ≠ 0 gegeben.
METHODE: Anfangswerte für t 0 ≠ 0 gegeben
1. Lösen des AWPS als wäre t 0 = 0; dies liefert ein ỹ(t)
2. y(t) := ỹ(t − t 0 ), d.h. in ỹ(t) einfach alle t konsequent durch t − t 0 ersetzen
(Letztendlich verschieben wir also einfach den Zeitpunkt t 0 in den Ursprung des Zeitstrahls.)
5.3 Spezielle Anregungssignale
Wir betrachten wieder AWPs wie oben, d.h. mit t 0 = 0.Allerdings seien alle Anfangswerte
gleich Null, d.h. das betrachtete System sei zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe.
Mit Hilfe unserer Einheitsfunktionen σ(t) und δ(t) lassen sich stückweise stetige Anregungsimpulse
mit endlichem Träger modellieren. Solche rechten Seiten von DGLen
hatten wir bisher noch nicht betrachtet, können dies nun aber mit Leichtigkeit tun, da
wir die Transformierten dieser rechten Seiten berechnen können.
Beispiel 16