Laplace-Transformation

2 DIE LAPLACE-TRANSFORMATION 14
also eine aus zwei herkömmlichen Integralen gebildete komplexe Zahl.
Man sieht auch, dass der Faktor e −xt = e −Re(s)t für Re(s) > 0 für die Konvergenz des
uneigentlichen Integrals sorgt (, falls nicht f(t) zu stark wächst für t → ∞).
2.1.2 Die Rücktransformationsformel
Satz 3 (Laplace-Rücktransformation)
Sei f(t) ◦ • F (s) eine Laplace-Transformation. Dann gilt
f(t) = 1
2πj ·
∫
s=x+j∞
s=x−j∞
F (s) e st ds,
wobei x beliebig gewählt werden kann, allerdings groÿ genug, so dass F (x + jy) für alle
y ∈ R deniert ist.
Für die Rückrichtung der Transformation schreiben wir F (s) • ◦ f(t).
Die Schreibweise ist also nur die gespiegelte Version der in Denition 2 eingeführten
Schreibweise.
Die Integration verläuft entlang eines Integrationspfads in C, genauer entlang einer Geraden
mit konstantem Realteil x, so dass F (s) für jedes s auf dieser Geraden deniert
(sprich: das Integral aus Denition 2 konvergent) ist.
Glücklicherweise brauchen wir an dieser Stelle nicht näher auf die Integration in C einzugehen;
damit beschäftigt sich die mathematische Disziplin der Funktionentheorie. Stattdessen
werden wir einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln übernehmen und damit
ausreichend gut rechnen können. Zudem gibt es umfangreiche Transformationstabellen, in
denen die wichtigsten Transformationspaare f(t)◦ •F (s) nachgeschlagen werden können.
2.1.3 Beispiele
Zur Übung wollen wir trotzdem einige einfache Transformationspaare manuell berechnen;
nicht zuletzt, um das Rechnen mit komplexen Integralen zu üben bzw. um zu sehen, dass
man dazu nur reell integrieren können muss.
Beispiel 3 Man berechne die Laplace-Transformierten der folgenden Funktionen
unter alleiniger Verwendung von Denition 2:
a) f(t) = σ(t),
b) f(t) = σ(t − a) , a > 0,
c) f(t) = A · (σ(t − t 1 ) − σ(t − t 2 )) , 0 < t 1 < t 2 ; A ∈ R
d) f(t) = σ(t) · cos (ωt),
e) f(t) = e at , a ∈ C