Laplace-Transformation

7 DIE EIN-AUSGABE-RELATION EINES LINEAREN SYSTEMS 28
7 Die Ein-Ausgabe-Relation eines linearen Systems
7.1 Problemstellung
Die wohl interessantestes Anwendung der LAPLACE-Transformation ist die Untersuchung
der Ein-Ausgabe-Relation eines linearen Systems.
Als lineares System bezeichnen wir dabei eine wie in Abbildung 13 dargestellte black box,
die folgende Eigenschaften hat:
• Verstärkung: Ersetzt man den Input-Signal x(t) durch λ · x(t) (mit λ ∈ R), so
ergibt sich als Output-Signal λ · y(t).
• Überlagerung: Werden x 1 (t) und x 2 (t) in y 1 (t) bzw. y 2 (t) übersetzt, so wird
x 1 (t) + x 2 (t) in y 1 (t) + y 2 (t) übersetzt.
Abbildung 13: Lineares System mit Ein- und Ausgangssignal
Die Frage ist nun, wie x(t) und y(t) miteinander zusammenhängen. Wie sich herausstellen
wird, hat man diesen Zusammenhang interessanterweise vollständig verstanden, sobald
man die Antwort des Systems auf den DIRAC-Impuls kennt. Wir führen also folgende
Begrie ein:
Denition 5 (Impuls- und Sprungantwort)
Für x(t) = δ(t) nennt man die zugehörige Antwort eines gegebenen linearen System
die Impulsantwort; y δ (t).
Analog bezeichnet y σ (t) die Sprungantwort, d.h. die Antwort auf den Input x(t) = σ(t).
Um dies zu erarbeiten machen wir einige...
7.2 Allgemeine Betrachtungen
Da unser Eingangssignal x(t) die Rolle der Störfunktion, d.h. der rechten Seite spielt,
ergibt sich eine Dierentialgleichung der Form
a n · y (n) (t) + . . . a 2 · y ′′ (t) + a 1 · y ′ (t) + a 0 · y(t) = x(t),
wobei wir also annehmen wollen, dass die Koezienten a k konstant sind und nicht von t
abhängen.