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2. Anwendung der Normalverteilung 607
Übung 3
In einem Spiel wird eine Münze 80-mal geworfen. Erzielt man höchstens 40-mal Kopf, so hat
man gewonnen. Berechnen Sie zunächst die Gewinnwahrscheinlichkeit mithilfe der Formel von
Laplace näherungsweise. Wie groß ist der exakte Wert?
a) Die Münze ist fair. b) Die Münze ist gefälscht mit P(Kopf) ¼ 0,6.
Die inhaltlichen Konsequenzen des folgenden Beispiels sind von großer Praxisrelevanz. Es
zeigt, in welchem Maße eine entschlossene Minderheit Entscheidungsfindungen in ihrem Sinn
beeinflussen kann.
c
..................................................................................................................
c
Beispiel: Die Dominanz einer Minderheit über eine Mehrheit
Die 200 Mitglieder des Tennis-Clubs möchten einen Pressesprecher wählen. Es melden sich
nur zwei Bewerber, Hein und Johann. Es handelt sich um einfache Mehrheitswahl ohne die
Möglichkeit der Enthaltung. Die beiden Kandidaten haben bisher kein Profil erworben, sodass
die Wahlchancen ausgeglichen erscheinen.
Kurz vor der Wahl gewinnt Hein die Clubmeisterschaft. Das beeindruckt 20 Clubmitglieder
so sehr, dass diese spontan beschließen, ihre Stimmen geschlossen für Hein abzugeben. Wie
verändern sich dadurch die Wahlchancen der beiden Kandidaten?
Lösung:
Hein wird gewählt, wenn er insgesamt 101
Stimmen auf sich vereint. Da ihm 20 Stimmen
ohnehin sicher sind, reichen ihm 81
Stimmen der verbleibenden 180 Stimmberechtigten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass
er diese Stimmen erhält oder übertrifft,
ist gegeben durch
PðX 81Þ¼1 PðX 80Þ
¼ 1 Fð180; 0,5; 80Þ
1 Fð 1,42Þ
¼ Fð1,42Þ0,9222.
Johann hat nur noch eine Restchance von
7,78 % (exakte Rechnung: 7,83%).
X: Anzahl der Stimmen für Hein aus dem
Kreis der Unentschlossenen
Binomialverteilung: n ¼ 180; p ¼ 0,5
Berechnung der Hilfsgröße z:
z ¼ k m þ 0,5 ¼
s
Tabellenwert:
80 90 þ 0,5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
180 1 2 1 2
q 1,42
Fð1,42Þ¼0,9222
Der kleinen 10%-Minderheit von 20 Personen ist es also gelungen, die zunächst ausgeglichenen
Wahlchancen auf ca.12:1 zu Gunsten von Hein zu steigern.
Übung 4
Eine Volksabstimmung soll mit einfacher Mehrheit über eine Gesetzesänderung entscheiden,
der die rund 4 Millionen Stimmberechtigten recht gleichgültig gegenüberstehen. Allerdings ist
eine relativ kleine Interessengruppe von ca. 3000 Personen wild entschlossen, gegen die Gesetzesänderung
zu stimmen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit setzt die Minderheit ihren Willen
durch?